Геометрический смысл производной
Рис. 7
| Пусть непрерывная функция  , где  , дифференцируема в некоторой точке  , а кривая L – график этой функции, содержащий точку  . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис. 7). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться.
|
Касательной к кривой L в точке М0 Î L называется прямая М0Т, занимающая предельное положение секущей М0М (М Î L) при М ® М0 (если такое положение существует).
Геометрический смысл производной: производная функции 
в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х0: 
.
Уравнение касательной к кривой L в точке (х0; f (х0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х0; f (х0)) и имеющей угловой коэффициент 
имеет вид:
или
.
Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:
,
то есть 
или 
.
Пример. Составим уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
1) 
2) 
Решение.
1)
Согласно определению производной, имеем: 
Тогда уравнение касательной примет вид: 
или 
Уравнение нормали запишем в виде: 
2) 
Согласно определению производной, имеем: 
.|
|
|
Уравнение нормали запишем в виде: 
Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону 
тогда ее средняя скорость за промежуток времени 
вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при 
, т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Пример. Найдем скорость движения материальной точки в момент времени t = 4, если закон движения задан формулой:
Решение. Найдем по определению: 
, тогда 
Правила дифференцирования
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b) , то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1. 
2. 
3. 
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Формулы дифференцирования
| № п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
| C | х | хп | 
| 
| 
| 
| 
| ex | ax |
| 0 | 1 | nxn-1 | 
| cosx | -sin x | 
| 
| ex | ax 
|
| № п/п | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|
| 
| 
| arcsinx | arccosx | arctgx | arcctgx |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Пример. Вычислим производные следующих функций, используя правила и формулы дифференцирования:
|
|
|
1. 
2. 
3. 
Решение.
Для решения первого примера используем правило вычисления производной алгебраической суммы функций и следствие:
Для решения второго и третьего примеров используем правила вычисления производных произведения и отношения функций и следствие:
Задания. Вычислите производную функции:
1) 
Решение. _________________________________________________
Ответ: 
2) 
Решение. _________________________________________________
Ответ: 
3) 
Решение. _________________________________________________
Ответ: 
Производная сложной функции
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции 
и 
, причем область определения функции содержит область значений функции .
Функция, заданная формулой 
, называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Пример. Для функций 
и 
составим 
и 
.
Решение.
;
Вышеуказанный пример наглядно демонстрирует тот факт, что результат суперпозиции двух различных функций зависит от порядка, в котором эти функции следуют. Рассмотрим теорему о производной сложной функции:
|
|
|
Теорема. Пусть функция , х Î ( a; b), имеет производную в точке х0 Î ( a; b), а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции g, и имеет производную в точке 
. Тогда сложная функция 
имеет производную в точке х0,, которая вычисляется по формуле:
Пример. Найдем производные следующих функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) Полагаем, что 
, тогда 
. Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
2) Полагаем, что 
, тогда 
. Отсюда, согласно формуле для расчета производной сложной функции, имеем:
.
3) Имеем, что
Задание. Найдите производные следующих функций:
1) 
Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: 
2) 
Решение.____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: 
Дифференциал
Дифференциал 
функции 
– это главная часть приращения функции 
в точке х, так что 
, где 
– бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
,
где 
– дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
Рис. 8
| Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение  (см. рис. 8).
Приближенное равенство  используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения  заменяют приближением: 
|
|
|
|
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 245; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!