Необходимый признак сходимости ряда.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
1. Необходимый признак сходимости ряда.
Ряд 
может сходиться только при условии, что его общий член un при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю : 
,
Если 
, то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости:
Решение. Находим 
. Необходимый признак сходимости ряда выполняется.
2. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.
а) Признак сравнения рядов с положительными членами.
Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда. При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд
,
Который сходится при 
и расходится при 
, и гармонический ряд
Являющийся расходящимся.
При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд
Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.
Если p<1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором : он является сходящимся. Итак, обобщённый гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при 
.
|
|
|
Пример. Исследуйте сходимость ряда, применяя признак сравнения:
Решение.
Находим 
. Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом.
,
Который сходится, так как q= 
< 1.
Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получаем неравенства
; 
; …. ; 
; ….,
Т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.
б) Признак Даламбера.
Если для ряда с положительными членами 
Выполняется условие 
, то ряд сходится при L < 1 и расходится при L > 1.
Признак Даламбера не даёт ответа, если L=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие сравнения.
Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
Решение. Подставив в общий член ряда 
вместо n число n+1, получим 
. Найдём предел отношения (n+1)-ого члена к n-му члену при 
:
.
Следовательно, данный ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
|
|
|
Решение.
Имеем 
; 
;
;
,
т.е. ряд расходится.
Задание. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
Решение:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ: расходится.
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 293; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!