Первый и второй замечательные пределы.

Рис. 1

Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции

при

. Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ через х, при этом

Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадь DСОА (см. рис. 1).

S _D_МОА =

S _МОА= = S _DC_ОА=

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

sin x < x < tg x.

После почленного деления на sin x:

или

Поскольку , то переменная заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е. , на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

- первый замечательный предел.

Пример. Вычислите пределы функций, используя первый замечательный предел:

1) ; 2) ; 3)

Решение.

1) Разложим как отношение и объединим множители по вышеуказанной схеме:

2) Применяя формулу , произведем подстановку и получим:

3) Разделим числитель и знаменатель дроби на х, затем выровняем сложные аргументы, компенсируя преобразование добавочным коэффициентом и получим:

Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)

Задание: Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:

Решение:

Второй замечательный предел.

Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е:

Определение. Предел переменной величины при называется числом е:

- второй замечательный предел

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:

e = 2,7182818284…» 2,7.

Теорема. Функция при х, стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е:

Пример. Вычислите пределы функций:

1) 2) ; 3)

Решение.

Согласно свойствам пределов, предел степени равен степени предела, т. е.:

2) Введем новую переменную с целью свести предел ко второму замечательному пределу: , отсюда . При имеем , т. е. .

Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что

3) Разложив числитель данной дроби на слагаемые, добьемся выделения 1, а затем примем и используем упомянутое выше утверждение:

Ответ. 1) е³ , 2) е², 3) е⁴.

Задание. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: е^-5

Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f( x), x Î ( a; b) называется непрерывной в точке x_о Î ( a; b), если предел функции f( x) в точке х_о существует и равен значению функции в этой точке:

Согласно данному определению, непрерывность функции f( x) в точке х_о означает выполнимость следующих условий:

1) функция f( x) должна быть определена в точке х_о;

2) у функции f( x) должен существовать предел в точке х_о;

3) предел функции f( x) в точке х_о должен совпадать со значением функции в этой точке.

Пример.

Функция f( x) = x² определена на всей числовой прямой и непрерывна в точке х = 1 поскольку f(1) = 1 и

Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке а.

Пример.

1) Функция f( x) = x^п, где n Î N, непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функции f( x) = x.

2) Функция f( x) = с x^п (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.

Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.

Теорема 2. Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Пример.

1) Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

Функция

непрерывна всюду на R, т.к. знаменатель нигде не обращается в нуль.

Определение Функция f( x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке ее приращение стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если

Односторонние пределы функции^*

Левосторонний предел функции.Если отыскивается предел функции f( x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х) (или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется запись: , а левосторонний предел функции обозначается символом: .

Правосторонний предел функции.Если отыскивается предел функции f( x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f( x) (или правым пределом функции).

То, что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается так: , а правосторонний предел функции обозначается символом: .

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда .

Определение Функция f( x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f( a). То есть:

Точки разрыва и их классификация^*

Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точке говорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Рис. 2

Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если

то точка а называется точкой разрыва первого рода (см. рис. 2).

Точка разрыва второго рода

а) б)

Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода.

На рис. 3, а отсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3, б – нет правостороннего предела функции.

Рис. 3

Рис. 4

На рис. 4 представлен график функции, которая не имеет в точке х = а ни левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва второго рода).

Устранимый разрыв

Определение. Если в точке х = а функция f( x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f( a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.

Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают , т. е. принимают, что .

Пример. Пользуясь определением непрерывности функции через предел , докажем, что функция непрерывна в произвольной точке.

Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента в некоторой точке х:

Подставим полученные выражения в формулу приращения функции, и после упрощения получим:

Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:

В итоге получаем, что при любом значении х предел приращения функции равен нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значении х.

Пример. Исследуем на непрерывность при х = 1 следующую функцию:

Решение. Так как знаменатель дроби равен нулю при , то функция разрывна при . Установим характер этой точки разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции:

Если , то можно представить , и считать, что , оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяя х на , получим:

так как при величина бесконечно большая, также бесконечно велика, – бесконечно большая величина, обратная ей величина бесконечно мала: , а потому

Теперь определим правосторонний предел функции. Если х →1 + 0, можно положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.

Тогда, заменяя х на 1 + α, получим:

так как при

величина

бесконечно большая,

также бесконечно велика,

– величина бесконечно малая, т.е. ее предел будет равен 0.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода.

Пример. Построим графики и определим, какого рода разрыв имеет функция в данной точке (если точка не указана, определим точки разрыва самостоятельно):

1) , 2) 3) .

Решение.

1) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, а).

2) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, в).

3) функция имеет точки разрыва и . В обеих точках функция имеет разрыв второго рода (см. рис. 5, б).


а)	б)	в)
Рис. 5

Вопросы для самоконтроля

Дайте определение предела последовательности.
Дайте определение предела функции.
Сформулируйте теоремы о пределе функции.
Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Назовите основные неопределенности при вычислении пределов функции.
Объясните основные методы раскрытия неопределенностей.
Дайте определение непрерывной функции.
Дайте определение точек разрыва функции 1 и 2 рода^*.

Контрольные задания

Вычислить пределы функции:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 576; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!