Методы нахождения оптимального решения в условиях неопределенности и риска
В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда решение одного из участников зависит от того, какие решения приняли другие участники. Теория игр занимается изучением т.н. конфликтных ситуаций, где сталкиваются интересы индивидов, предприятий, фирм и т. п.
Интересы участников игры (игроков) могут оказаться несовпадающими и даже противоположными. В последнем случае игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой.
Игроки могут в игре выступать каждый за себя или объединяться в группы. В последнем случае игра называется коалиционной.
Игры, в которых игроки осведомлены о состоянии своем и партнеров, а также о прошлом поведении участников игры, относятся к категории игр с полной информацией. Большинство же игр протекает в условиях неполной информации, где сведения о состоянии партнеров исчерпываются лишь вероятностными характеристиками.
Система правил, однозначно определяющая выбор хода игрока в зависимости от сложившейся ситуации, называется стратегией.
Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, то есть определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.
Каждая фиксированная стратегия игрока, где любой ситуации сопоставлен конкретный выбор, называется чистой. В реальности чаще используются т.н. смешанные стратегии.
|
|
|
3.1. Антагонистические игры
В общем случае парную игру с нулевой суммой можно записать платежной матрицей
Задача каждого из игроков — найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.
Найдем наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число 
в каждой строке обозначим 
: 
.
Зная , то есть минимальные выигрыши при различных стратегиях 
, первый игрок выберет ту стратегию, для которой 
максимально. Обозначим это максимальное значение через 
, тогда
.
Величина — гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, — называется нижней ценой игры (максимином).
Аналогично для определения наилучшей стратегии второго игрока найдем максимальные значения выигрыша по столбцам и, выбрав из них минимальное значение, получим
,
где 
— верхняя цена игры (минимакс).
Если 
, то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий ( 
) — седловой точкой матрицы. В этом случае элемент 
называется ценой игры и является одновременно минимальным в i -йстроке и j-м столбце. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.
|
|
|
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 275; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!