Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Практическое занятие №2

Применение законов Ома и Кирхгофа к расчету линейных электрических цепей постоянного тока

Основные теоретические сведения

Закон Ома

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС (рис. 1)

Рис.1. Участок электрической цепи без источника ЭДС

позволяет найти ток участка по известной разности потенциалов (напряжению) на зажимах участка

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС (активная ветвь) (рисунок 2) позволяет найти ток участка цепи с источником

Рис.2. Участок электрической цепи с источником ЭДС

Если положительные направления напряжения и ЭДС совпадают с произвольно выбранным положительным

направлением тока ветви, то в приведенной формуле они учитываются со знаком плюс, и со знаком минус, если их направления не совпадают с направлением тока.

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать, и формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю: ΣI_k = 0.

При этом токи, направленные к узлу, берут с одним произвольно выбранным знаком, а токи, направленные от узла – с противоположным.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю.

При обходе замкнутого контура по отдельным участкам потенциал конечного узла этого участка повышается относительно потенциала его начального узла на величину напряжения, если направление обхода противоположно направлению напряжения, и понижается, когда направление обхода контура и направление напряжения совпадают. Поэтому изменения потенциала в замкнутом контуре можно определить суммированием напряжений с учетом их знаков.

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений участков замкнутого контура равна нулю: ΣU_k = 0. При этом напряжения, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура, берутся с положительными знаками, а напряжения, положительные направления которых противоположны направлению обхода – с отрицательными знаками.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура abcda (рисунок 3):

Рис. 3. Замкнутый контур электрической цепи

U_ba +U_bc +U_cd−U_ad = 0

Существует другое определение второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре

ΣI_k⋅R_k =ΣE_k.

Падения напряжения входят в сумму со знаком «плюс», если направления тока и обхода контура совпадают, и со знаком «минус» – если не совпадают. Аналогично учитывают знаки, суммируя величины электродвижущих сил источников ЭДС:

Примеры решения задач

Закон Ома

Задача 1. Найти токи ветвей, приведенных на рисунке, если: U = 10 В, E = 20 В, R = 5 Ом.

а б в г

Решение. Так как все схемы рисунка представляют собой активные ветви, то для определения токов в них используем обобщенный закон Ома. Рассмотрим рисунок а. Направление ЭДС здесь совпадает с произвольно выбранным условно положительным направлением тока, следовательно, в формуле обобщенного закона Ома величина ЭДС учитывается со знаком «плюс».

Аналогично определяется ток в схеме:

Теперь рассмотрим рисунок в. Здесь направление напряжения не совпадает с направлением тока, следовательно, в формуле обобщенного закона Ома величина напряжения учитывается со знаком «минус»:

Аналогично определяется ток в схеме:

Задача 2. Найти напряжение между зажимами a - b ветвей, изображенных на рисунке.

а б в

Решение. Участок цепи, изображенный на рисунке а, содержит источник ЭДС, т.е. является активным, поэтому воспользуемся обобщенным законом Ома:

откуда выразим напряжение на зажимах:

U_ba= E – I · R = 150-2∙50 = 50 В.

Аналогично определяются напряжения на зажимах участков, изображенных на рисунках б и в.

б)

или

U_ab = I ∙ R + E₁ – E₂ = 1 50 + 150 – 50 = 150 B;

в)

или

U_ab = I ×(R₁ + R₂) + E = 2 (10 + 40) + 100 = 200 В;

Задача 3. Определить неизвестные потенциалы точек участка цепи, приведенного на рисунке.

а б

Решение. Для схемы а цепи запишем обобщенный закон Ома:

откуда выразим напряжение на зажимах ветви:

U_ab = I⋅R – E₁+ E₂.

Если представить напряжение U_ab как разность потенциалов

U_ab = j _a – j _b,

то при известных параметрах цепи, токе и потенциале j _b потенциал j _a будет равен

Эту же задачу можно решить другим способом. Напряжение на зажимах источника ЭДС, без учета внутреннего сопротивления источника, по величине равно E₂ и направлено от точки с большим потенциалом (точка c) к точке с меньшим потенциалом (точка b):

U_bс = Е₂ = j _с - j _b,

и тогда, зная потенциал j _b, определим потенциал точки c:

j _с = j _b + Е₂.

Потенциал точки d больше потенциала точки c на величину падения напряжения на сопротивлении R:

U_cd = φ _c – φ_b = I ∙ R,

тогда

φ _d = φ _c + I ∙ R = φ_b + E₂ + I ∙ R

Потенциал точки a определяем с учетом направления напряжения на зажимах источника ЭДС E₁. Напряжение U _da направлено от точки с большим потенциалом (точка d) к точке с меньшим потенциалом (точка a)

откуда следует, что

или

φ _a = φ_b + E₂ + I ∙ R – E₁.

Рассмотрим решение задачи для схемы рисунка б. При известном потенциале точки c параметрах элементов и токе, определим потенциалы крайних точек участка цепи j _a и j _b. Напряжение на участке b − c, выраженное через разность потенциалов, определим по закону Ома:

откуда следует

Напряжение на участке c−a, равное по величине E, направлено от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом:

;

Задача 4. В цепи, приведенной на рисунке известны величины сопротивлений резистивных элементов: R₁ = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, входное напряжение U = 100 В и мощность, выделяемая на резистивном элементе с сопротивлением R₁ Р₁= 40 Вт.

Определить величину сопротивления резистора R₃

Решение. Согласно закону Джоуля-Ленца, мощность на резистивном элементе определяется как

P = U⋅I

или, согласно закону Ома

P = I²⋅R.

По известному значению мощности на резистивном элементе и величине сопротивления этого элемента

определим ток в ветви:

По закону Ома напряжение на зажимах определится:

тогда величина сопротивления резистивного элемента:

Задача 5. Определить показания вольтметров цепи, показанной на рисунке, если R₁ = 50 Ом, R₂ = 150 Ом, U = 150 В, E = 50 В.

Решение. Ток в цепи определим по закону Ома:

Вольтметр V₁ показывает напряжение на источнике ЭДС E:

V₁ = U_E = E = 50 В.

Вольтметры V₂ и V₄ показывают величину падения напряжения на резистивных элементах R₁ и R₂:

;

Вольтметр V₃, показывает напряжение на участке 2-1 U₂₁, которое определим как алгебраическую сумму напряжений U_Eи U_R₁

Задача 6. Ток симметричной цепи, приведенной на рисунке I = 2,5 А, R₁ = 2,4 Ом, R ₂ = 4,8 Ом, R₃ = 7,2 Ом, внутреннее сопротивление R₀ источника ЭДС E = 0,6 Ом.

Определить ЭДС E и мощность источника энергии.

Решение. Напряжение на зажимах 1-2 определим по закону Ома для пассивной ветви:

Величину ЭДС источника энергии определим из выражения закона Ома для активной ветви

или

Мощность, развиваемая источником энергии, определится как

Законы Кирхгофа

Задача 7. В цепи, приведенной на рисунке, известны значения токов I₆ = 2 А, I₂= 1,25 А, I₅ = 0,8 А; величины сопротивлений R₁= 2 Ом, R₂ = 3 Ом, R₃= 2 Ом, R₄= 2 Ом, R₅= 5 Ом.

Определить напряжение U на входных зажимах цепи, сопротивление R₆ и величину E источника ЭДС.

Решение. По закону Ома определим напряжение между узлами 3-2

U₃₂ = I₅⋅R₅ = 0,8⋅5 = 4 В.

Из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 3

I₂ – I₄– I₅ = 0,

определим ток I₄

Тогда, по закону Ома для ветви с сопротивлением R₄

откуда выражаем величину E источника ЭДС

Напряжение U₁₂можно выразить из уравнения, записанного по второму закону Кирхгофа для контура 1-3-2-1

U₁₃+U₂₃–U₁₂= 0

U₁₂ +U₃₂ = I₂×(R₂ + R₃) + U₃₂ =1,25×(3 + 2) + 4 = 10,25 В.

Зная величины напряжения U₁₂и тока I₆, определим величину сопротивления R₆:

Напряжение на входных зажимах цепи определится:

Ток I₁ определим из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для узла 1

или

тогда

U =2,75⋅2 + 10,25 = 15,75 В.

Задача 8. Для приведенной ниже цепи известны величины сопротивлений резистивных элементов R₁ = 1 Ом, R₂ = 12 Ом, R₃ = 5 Ом, R₄ = 1 Ом, мощность, изменяемая ваттметром P = 320 Вт.

Определить токи ветвей и напряжение на зажимах цепи.

Решение. Из формулы для расчета мощности выражаем ток I₃:

Затем определяем напряжение на зажимах параллельных ветвей

По закону Ома определяем ток в ветви с сопротивлением R₂:

Значение тока в неразветвленной части цепи определим из уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа для узла 1

откуда

Напряжение на входных зажимах цепи можно представить как сумму падений напряжений на сопротивлениях R₁ и R₂:

где

тогда

U = 12 + 48 = 60 В.

Задача 9. На рисунке показана часть сложной цепи. Задано: I₁ = 3 А, I₂= 2,4 А, E₁= 70 В, E₂= 20 В, R₁= 3 Ом, R₂= 5 Ом.

Найти напряжение U_ab.

Решение. Уравнение по второму закону Кирхгофа для данного контура, при выбранном направлении обхода контура, запишется следующим образом:

откуда выражаем напряжение U_ab:

Задача 10. В схеме, приведенной на рисунке, известны: E₁ = 10 В, E₂ = 20 В, E₃ = 30 В, R = 1 Ом, I₁ = 1 А, I₂ = 2 А. Определить напряжения U₁₂, U₃₄, U₁₃, U₂₄. U₁₄. U₂₃.

Решение. Считаем направления обходов контуров совпадающими с направлениями искомых напряжений. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура и выразим напряжения:

– контур 1-2-6-5-1

откуда

;

– контур 3-4-6-5-3

откуда

;

– контур 1-3-5-1

откуда

;

– контур 2-4-6-2

откуда

;

– контур 1-4-6-5-1

откуда

;

– контур 2-3-5-6-2

Откуда

Задача 11. В схеме электрической цепи, приведенной на следующем рисунке, определить токи в ветвях, пользуясь законами Кирхгофа. Параметры элементов цепи: R₁ = 50 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 50 Ом, R₄ = 80 Ом, E₁ = 50 В, E₂ = 400 В.

Решение. Выбираем произвольно положительные направления искомых токов ветвей и обозначаем их на схеме. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Получаем систему из трех уравнений

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей

Находим значения токов

Для проверки правильности расчета составим уравнение баланса мощностей:

P_ист = P_потр.

Мощность источников

Мощность потребителей

Задача 12. Заменить схему с источником ЭДС Е = 10 В и R₀= 1 Ом схемой с эквивалентным источником тока.

Убедиться, что при такой замене ток I, напряжение и мощность внешней цепи с резистором R = 9 Ом остаются неизменными.

Решение. В исходной схеме

– ток

– напряжение

мощность

В преобразованной схеме

Таким образом, режим внешней цепи не изменился. Однако мощности источников в исходной и преобразованной схемах различны:

Различны также и мощности потерь в источниках:

При этом

Задача 13. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рисунке при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R₁= 20 Ом, R₂= 30 Ом, R₃= 5 Ом, R₄= 20 Ом, R₅= 50 Ом.

Решение преобразованием треугольника в звезду. После преобразования треугольника, образованного сопротивлениями R₁, R₂ и R₅, в звезду, получаем схему, показанную на следующем рисунке

Обратим внимание на то, что токи в непреобразованной части схемы (I, I₃ и I₄) остались теми же.

Сопротивления звезды определяем по сформулированному выше правилу:

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен

Токи в параллельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа:

I₅= I₁– I₃= 26 – 28 = –2 A.

Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I₅ противоположно указанному на схеме.

Решение преобразованием звезды в треугольник. Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. а сопротивлениями R₁, R₅ и R₃, в эквивалентный треугольник (рис. в)

Определяем сопротивления треугольника

;

Теперь рассчитываем преобразованную цепь.

Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

; .

Затем определяем общее сопротивление и токи:

;

Возвращаемся к исходной схеме:

; ; .

Рекомендуется подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными при преобразовании треугольника в звезду.

Задачи для самостоятельного решения в аудитории

Определить токи во всех ветвях электрической цепи постоянного тока, для проверки полученных значений токов составить баланс мощностей.

Рис.1 Рис. 2 Рис. 3

Таблица вариантов

№ вар.	№ схемы	J
1	Рис. 1	10
2	Рис. 1	5
3	Рис. 1	20
4	Рис. 2	10
5	Рис. 2	10
6	Рис. 2	5
7	Рис. 3	20
8	Рис. 3	20
9	Рис. 3	5
10	Рис. 3	10

Домашнее задание

Из приведенной схемы электрической цепи и данных таблицы 1 в соответствии с вариантом домашнего задания выполнить следующие действия.

1. Составить расчетную схему электрической цепи.

2. Записать систему уравнений Кирхгофа, необходимую для определения токов во всех ветвях схемы.

3. Выполнить анализ схемы и найти токи во всех ветвях.

4. Выделить в схеме три резистора, соединенные треугольником и заменить их эквивалентными резисторами, соединенными звездой.

5. Выполнить анализ измененной схемы и сравнить полученные результаты с результатами предыдущего анализа.

6. Составить баланс мощностей для исходной схемы

Схема электрической цепи

Выполнение домашнего задания необходимо оформить в виде отчета, защитить и сдать преподавателю, ведущему практические занятия по дисциплине.

Таблица 1

Упражнения

Задача 1

В неразветвленной цепи (рисунок 18) E₁ = 120 В, E₂ = 40 В, R₁ = 12 Ом, R₂ = 8 Ом. Определить напряжение между точками b и h.

Задача 2

Определить внутреннее сопротивление R₀ источника энергии с ЭДС E = 70 В, если U = 30 В, R₁ = 10 Ом, R₂ = 38 Ом, U = 20 В.

Задача 3

Для цепи (рисунок 20) определить токи I₁ и I₂, рассчитать мощность, развиваемую источниками энергии, если R₁ = R₂ = 5 Ом, E₁ = 20 В, E₂ = 40 В, J = 2 А.

Задача 4

Найти токи в ветвях схемы (рисунок 21), если U = 30 В, R₁

= R₂ = R₃ = 20 Ом, E= 60 В.

Задача 5

Определить токи I₁ и I₂ (рисунок 22), если U = 20 В, E₁ = 50 В, E₂ = 10 В, J = 2 А, R₁= R₂= R₃= 10 Ом, R₄= 2 Ом.

Задача 6

В цепи (рисунок 23) R₁ = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, E₁ = 60 В, E₂ = 20 В, E3 = 10 В, U = 40 В. Определить показание вольтметра.

Задача 7

Определить ток в сопротивлении нагрузки и напряжения на зажимах источников тока (рисунок 24), если J₁ = 3 А, J₂ = 6 А, R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 1 Ом.

Задача 8

Параметры источников энергии электрической цепи : E₁ = 10 В, E₂ = 6 В, E₆ = 4 В, J₃ = 3 А, J₄ = 4 А, J₅ = 2 А. Определить токи источников ЭДС: I₁, I₂, I₆ и напряжения источников тока: U₃, U₄, U₅.

Задача 9

В цепи R₁ = 10 Ом, R₂ = R₃ = R₅ = 25 Ом, R₄ = 50 Ом, R₄ = 50 Ом, U = 120 В определить токи в ветвях цепи и показание вольтметра, включенного между точками c и d.

Задача 10

В цепи E = 20 В, J = 2 А, R = 15 Ом, R₁ = 85 Ом. Определить

токи, проверить баланс мощностей.

Задача 11

Определить показания ваттметров и амперметра при включенном и выключенном ключе K, если: R = 20 Ом, E = 40 В, J= 4 А, U = 120 В.

Задача 12

Определить показание вольтметра, сопротивление которого весьма велико по сравнению с величинами резисторов.

Задача 13

Задача 14

Определить отношение выходного напряжения U₂ ко входному U₁ при заданных значениях элементов схемы

Задача 15

Определить отношение выходного напряжения U₂ ко входному U₁ при заданных значениях элементов схемы.

Задача 16

В заданной схеме определить величину сопротивления резистора r_x и ЭДС батареи, если I₁ = 2,6 А, I₃ = 0,6 А, r₁ = 0?5 Ом, r₂ = 1,4 Ом, r₃ = 3 Ом, r₄ = 2,5 Ом, а внутреннее сопротивление батареи r₀ = 0,1 Ом.

Задача 17

В заданной схеме определить величину сопротивления резистора r_x и ЭДС батареи, если E2 = 3 В, r1 = r2 = 1 кОм, r3 = 4 кОм, r4 = 2 кОм, r5 = 1 кОм, амперметр А1 показывает 4 мА, а амперметр А4 – 3 мА. Внутренними сопротивлениями приборов можно пренебречь.

Задача 18

Для заданной схемы найти токи и проверить баланс мощностей при E₁ = 15 В, E₂ = 70 В, E₃ = 5 В, r₁₀ = r₂₀ = r₃₀ = 1 Ом, r₁ = 5 Ом, r₂ = 4 Ом, r₃ = 8 Ом, r₄ = 2,5 Ом, r₅ = 15 Ом.

Задача 19

Для заданной цепи рассчитать токи и определить показание вольтметра при E₁ = 40 В, E₂ = 5 В, E₃ = 25 В, r₁ = 5 Ом, r₂ = r₃ = 10 Ом.

Задача 20

Полагая, что на входе цепи действует источник напряжения величиной U, определить выражение, определяющее показание амперметра и определить его значение при U = 25 В и значениях всех резисторов, равных 25 Ом.

Задача 21

Задача 22

Задача 23

Задача 24

Задача 25

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 1181; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!