ЗАДАНИЕ 2. Измерить ускорение свободного падения при помощи физического маятника.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Электротехнический факультет
Кафедра физики
З.Г. Морозова
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО
ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ
Учебно-методическое пособие
к лабораторной работе по дисциплине «Физика»
Киров 2015
УДК 513(07)
О 62
Рекомендовано к изданию методическим советом
электротехнического факультета ФГБОУ ВПО «ВятГУ»
Рецензент:
кандидат педагогических наук, доцент, кафедры «Прикладной математики и информатики» ФГБОУ ВПО «ВятГУ» Хохлова М. В.
Морозова З.Г.
Определение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников: учебно-методическое пособие к лабораторной работе по дисциплине «Физика» для студентов всех технических профилей подготовки, всех форм обучения / З.Г. Морозова. – Киров: Изд–во ВятГУ, 2015. –19с. |
© Морозова З.Г., 2015
© ФГБОУ ВПО «ВятГУ», 2015
Цель работы: изучение свойств гармонических колебаний на примере движения математического и физического маятников.
1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
|
|
Периодически повторяющиеся процессы или движения называются колебаниями. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии и отсутствия внешних воздействий на колебательную систему в дальнейшем.
Простейшим типом свободных колебаний являются гармонические колебания. При гармонических колебаниях, независимо от природы возбуждения, изменение характерной величины S, происходит по закону косинуса или синуса:
S = A sin ,
S = A cos , (1)
где А – амплитуда колебаний – максимальное значение величины S; – круговая (циклическая) частота; – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний.
Амплитуда колебаний А является энергетической характеристикой процесса. Полная энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды. Амплитуда гармонических колебаний не меняется со временем, т. е. и полная энергия колебательной системы в процессе гармонических колебаний меняться не будет.
Циклическая частота зависит от периода колебаний Т – . Период Т определяется конструктивными особенностями устройства колебательной системы.
|
|
Фаза колебаний – определяет смещение колеблющейся вели-
чины S(t) относительно положения равновесия в любой произвольный момент времени t.
Начальная фаза колебаний – величина, определяющая смещение колеблющейся величины относительно положения равновесия в начальный момент времени S = S ( t 0 =0)= S 0 = A sin .
Колебательные системы, совершающие механическое движение, называются маятниками. Для них величина S определяет X координату смещения маятника относительно положения равновесия.
Т.е уравнения (1) перепишутся:
X = X m cos или
X = X m sin , (2)
где X m – максимальное смещение от положения равновесия – амплитуда колебания.
Зависимость координаты от времени X ( t ) – формулы (2) можно рассматривать как уравнения движения маятника.
Если уравнение движения маятника X = X m cos ; тогда по определению мгновенная скорость и мгновенное ускорение маятника запишутся:
(3)
(4)
Из сравнения уравнений (3) и (4) с уравнением X ( t ) (2) следует, что и скоростьV ( t ) и ускорение a ( t), подобно координате X ( t ), со временем изменяются по гармоническому закону, но имеют смещения по фазе относительно X . Скорость опережает X по фазе на p /2(в те моменты времени, когда X ( t) = 0, скорость V( t)= Vm -приобретает максимальное значение). Ускорение опережает X по фазе на p (в те моменты времени, когда
|
|
X (t) = Xm – принимает максимальное положительное значение , ускорение
a ( t )= - a m приобретает максимальное отрицательное значение ).
Из уравнения (3) амплитудное (максимальное) значение скорости равно , из уравнения (4) – амплитудное значение ускорения .
Из сравнения уравнений для координаты –(2) и для ускорения – (4) следует:
(5)
Сила, действующая на колебательную систему, определяется по второму
закону Ньютона с учетом (5) выражением:
, (6)
где m- масса колебательной системы, k = m -постоянный для этой системы коэффициент.
Данная сила F подобна силе упругости, пропорциональна смещению X и направлена в противоположную сторону смещению. В общем случае эта сила F называется квазиупругой силой, а коэффициент k- коэффициентом квазиупругой силы.
Из уравнения (6) после определенных математических преобразований следует:
|
|
,
где = собственная частота колебаний маятника).
Полученное дифференциальное уравнение (8) называется дифференциальным уравнением механических гармонических колебаний:
(8)
Решением этого дифференциального уравнения являются функции вида (2).
В общем виде при X = S уравнение (8) принимает вид (9)
(9)
Решением уравнения (9), является функции вида (1), а будет собственной частотой соответствующей колебательной системы.
Для гармонических механических колебаний характерно постоянство величины полной механической энергии системы (отсутствие затухания) и переход энергии в процессе движения из одного вида в другой и обратно без потерь
Для случая механического движения кинетическая энергия K определяется выражением:
. (10)
Потенциальная энергия П по определению с учетом (7) запишется:
Рис.1
Полная энергия механическая энергия W равнасумме кинетической и потенциальной энергии и с учетом уравнений (10) и (11) определяется выражением и не меняется в процессе колебаний:
. (12)
На рис. 1 представлены зависимости координаты X( t ), кинетической энергии К( t ), потенциально энергии П( t ) и полной энергии W ( t ) от времени. гии П( t ) и полной энергии W ( t ) от времени.
Из формул (10) и (11) и рис.1 следует, что и кинетическая и потенциальная энергия маятника изменяются с частотой, в два раза превышающей частоту соответствующего гармонического колебания X(t).
Кинетическая и потенциальная энергия имеют сдвиг по фазе на p , т.е. в момент, когда кинетическая энергия достигает максимума потенциальная энергия имеет минимум.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити , и колеблющаяся под действием веса материальной точки. В положении рав
новесия, если точка О – точка подвеса маятника, Рис.2
неподвижна или движется с постоянной скоростью, вес тела численно равен силе тяжести.
На рис. 2 представлен математический маятник, для которого отклонение от положения равновесия a - мало. Основной закон динамики поступательного движения для маятника запишется:
, (13)
в проекциях на Х и У уравнение (13) будет иметь вид:
(14)
Ускорение маятнику создает результирующая сила , направленная к положению равновесия (возвращающая сила). Из треугольника сил (Рис.2) следует, что величина силы , причем для малых - .
Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний запишется:
. (15)
Сравнивая его с (8), получим, что собственная циклическая частота определится , а период колебаний математического маятника запишется:
. (16)
3. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси О, не проходящей через центр масс С (рис. 3).
Пусть маятник, отклоненный от положения равновесия на некоторый угол ( -мало), совершает вращательное движение под действием возвращающей
силы Fx. В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент возвращающей силы М определится:
, (17) где I – момент инерции тела; e – угловое ус Рис.3 корение; d – плечо силы F х.
Учитывая рис. 3, d = – расстоянию от
Рис.3 оси вращения О до центра масс тела С,
- возвращающаяся сила для данного маятника.
Таким образом уравнение (13) перепишется
или (18)
С учетом малых
или . (19)
Из сравнения уравнения (19) с уравнением (8) циклическая частота физического маятника определится:
,
тогда период колебаний физического маятника равен:
. (20)
Величина – называется приведенной длиной физического маятника.
Эта величина зависит от формы, размеров тела, положения оси вращения О относительно центра масс тела С.
Момент инерции маятника относительно оси вращения О определяется по теореме Штейнера , следовательно, приведенная длина физического маятника запишется:
,
т.е. L больше расстояния ОС = и равна расстоянию между двумя точками тела О и . Точка – называется центром качания тела для оси О. Если ось подвеса перенести из точки О в соответствующий ей центр качания , то период колебаний тела не изменится, т.е. О и обладают свойством взаимозаменяемости.
Также приведенную длину физического маятника L можно определить как длину математического маятника , колеблющегося синхронно с данным физическим маятником.
ТЕХНИКА БЕЗОПАСТНОСТИ
1. К проведению работ допускаются лица, прошедшие инструктаж по технике безопасности.
2. При выполнении работы необходимо соблюдать меры предосторожности при работе с физическим маятником и математическим маятниками.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Используя математический и физический маятники, необходимо определить ускорение свободного падения для данной местности.
ЗАДАНИЕ 1. Измерить ускорение свободного падения при помощи математического маятника.
Описание установки
Из формулы (16) получим:
. (21)
Из определения периода колебаний:
, (22)
где t – время, за которое совершается n колебаний.
1). Задавшись определенным значением точности расчета g - , вычислить количество колебаний n, которое необходимо провести для получения результата с заданной точностью.
Измерение g является косвенным измерением. Для получения формулы для расчета ошибки косвенного измерения надо проделать следующие преобразования формулы (19):
1) прологарифмировать формулу по основанию натурального логарифма:
;
2) полученную формулу продифференцировать:
;
3) перейти к конечным изменениям величин, входящих в формулу:
. (23)
Обычно погрешность в лабораторных измерениях берется . Ошибка измерения длины математического маятника равна точности измерения применяемого для этого прибора.
Из формулы (23) следует, что точность измерения ускорения свободного падения зависит от точности измерения периода колебаний математического маятника .
Тогда из формулы (23)следует
. (24)
Из определения периода колебаний (22) и предположения, что Т также является косвенным измерением, получим:
. (25)
Пренебрегая и с учетом (24) и (25), получим:
, (26)
где – ошибка секундомера, равная цене деления секундомера. Из формулы (26) можно рассчитать время t, необходимое для получения заданной точности измерения ускорения свободного падения g . Однако, при проведении экспе
римента, лучше измерять не время колебаний t, а число колебаний n, происходящих за это время. Для нахождения n используют формулу (22), в которую вместо Т подставляют предварительно найденный период колебаний маятника Тпр и рассчитанное из формулы (26) время t.
Необходимо, однако, привести некоторые соображения по поводу оценки погрешности и точности определения величины ускорения свободного падения с помощью данного маятника.
Считая, что период колебаний маятника определяется формулой (22), мы пренебрегаем зависимостью периода от амплитуды и неизбежным нарушением требований, вытекающих из определения математического маятника. Это влечет за собой следующие неточности:
I. Строго говоря, период колебаний зависит от амплитуды колебаний:
. (27)
Такое выражение для периода колебаний следует из решения уравнения (16).
В нашей работе мы пренебрегаем членами, содержащими амплитуду колебаний, следствием чего является погрешность в определении g. Из формулы (23) найдем ускорение свободного падения:
. (28)
Погрешность найдем как разность между более точным значением, которое дается формулой (26) и приближенным, которое дается формулой (19):
;
, (29)
где А выражено в радианах.
II. Конечность размеров шарика, наличие в нем отверстия, весомость нити и наличие узелка на ее конце приводят к тому, что данный маятник не является строго математическим, поэтому для расчета ускорения свободного падения нужно пользоваться формулой (18), а не формулой (15). Использование формулы (19) для расчета g без учета отличия параметров нашего маятника от идеального математического маятника приводит к появлению погрешности . Значение рассчитывается из формулы (20), а – из формулы (16):
.
. (30)
III. В результате растяжимости нити допускается погрешность
, (31)
где – удлинение нити, вызванное действием максимальной центробежной силы в момент прохождения положения равновесия.
Однако в нашей установке погрешности (29), (30), (31) невелики. Например, для = 100 см, то есть на порядок меньше погрешностей величин, входящих в формулу (22). При малых колебаниях величина еще меньше. Поэтому погрешностям (29), (30), (31) можно пренебречь, если амплитуда
колебаний будет порядка .
Порядок выполнения задания 1
1. Рассчитать из соотношения (26) время t опыта.
2. Привести маятник в колебательное движение и замерить время пяти полных колебаний t 5, рассчитать по формуле (22) предварительный период T пр.
3. Рассчитать число колебаний n, которые произойдут за время t , рассчитанное из формулы(26). Для этого в формулу (22) подставить рассчитанное из формулы (26) время t и период Тпр, рассчитанный в пункте 2. Результат расчета n округлить в большую сторону.
4. Привести маятник в колебательное движение измерить время n колебаний, рассчитанных в пункте 3.
5. Точно рассчитать период Т колебаний математического маятника по формуле(16), используя результаты, полученные в пункте 3.
6. Вычислить ускорение свободного падения g по формуле (21), подставляя в нее период, рассчитанный в пункте 5.
7. Определить погрешность измерения g по формуле (23).
8. Сравнить полученную точность измерения g с заданной точностью.
9. Записать окончательный результат и сравнить его с табличным значением g .
ЗАДАНИЕ 2. Измерить ускорение свободного падения при помощи физического маятника.
Описание установки
Исходя из формулы (20), ускорение свободного падения
запишется.
(32)
Определение ускорения свободного падения в этом задании производится с помощью оборотного физического маятника (рис. 4). Оборотный маятник представляет собой металлический стержень с двумя параллельными друг другу опорными Рис.4
призмами П1 и П2, за которые он может поочередно подвеши-
ваться на кронштейне, а также с двумя грузами Г1 и Г2 в виде чечевицы. В нашей установке опорные призмы П1, П2 и груз Г2 жестко закреплены на стержне, второй груз Г1 может перемещаться. Конец стержня, по которому перемещается груз Г1 имеет шкалу с миллиметровыми делениями. При перемещении груза Г1 по стержню меняется конфигурация физического маятника. При определенном положении груза Г1, соответствующем некоторому определенному отсчету его координаты по шкале, заданное расстояние между призмами П1 и П2 будет равно приведенной длине данного физического маятника.
Тогда периоды колебаний Т1 и Т2 маятника при укреплении его в кронштейне на призмах П1 и П2 , соответственно, будут одинаковы.
Порядок выполнения задания 2
1. Закрепить подвижный груз Г1 на шкале в некотором положении (по указанию преподавателя).
2. Измерить время, за которое совершается 20 полных колебаний относительно оси, проходящей через призму П1.
3. Перевернув маятник, измерить время t 2, 20 полных колебаний относительно оси, проходящей через призмуП2.
4. Перемещая груз Г1 по шкале с некоторым шагом (согласно указанию преподавателя), повторить указанные во 2 и 3 пунктах измерения для 10-12 положений груза на шкале.
5. Результаты измерений (положение груза на шкале, время t 1 и t 2, число колебаний n) занести в таблицу.
(см) | t 1 (с) | t 2 (с) | Т1 (с) | Т2 (с) |
6. Рассчитать периоды Т1 и Т2 колебаний маятника относительно осей П1 и П2 для всех положений груза.
7. На одном графике построить зависимости периодов и
. от положения груза Г1 на шкале.
8. Найти точку пересечения кривых. Она соответствует тому положению
груза Г1, при котором периоды колебаний Т1 и Т2 совпадают, т.е. расстояние
между призмами равно приведенной длине физического маятника.
9. Укрепить груз Г1 в положении и определить наиболее точно периоды
колебаний Т1 и Т2 в прямом и перевернутом положениях маятника. Найти
среднее значение периода Т.
10. Измерить расстояние между опорными призмами, равное приведенной дли-
не физического маятника.
11. Рассчитать ускорение свободного падения по формуле (32).
12. Определить погрешность измерения ускорения свободного падения по фор-
муле (23), приняв .
13. Записать окончательный результат g и сравнить его с табличным значени-
ем ускорения свободного падения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое колебание называется гармоническим? Запишите уравнение механических гармонических колебаний.
2. Получите уравнения для скорости и ускорения гармонических механических колебаний.
3. Выведите дифференциальное уравнение механических гармонических колебаний физического маятника..
4. Объясните характер изменения энергии колебательной системы при совершении гармонических колебаний.
5. Дайте определение физического и математического маятников. Как рассчитывается их период колебаний?
6. Что называется приведенной длиной физического маятника?
7. В чем состоит свойство обратимости физического маятника? Как оно используется в данной работе?
8. Обоснуйте точность определения величины ускорения свободного падения.
9. Почему не следует определять период колебаний математического маятника на основе измерения времени 3-5 колебаний.
10. Математический маятник длиной =40см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной =60см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние d центра масс стержня от оси колебаний.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова, Т. И. Курс физики [Текст] : учеб. пособие / Т. И. Трофимова. - М. : Академия, 2007. – 560 с.
2. Детлаф, А. А. Курс физики [Текст ] : учеб. пособие / А. А. Детлаф, В. М. Яворский. - М. : Академия, 2007. - 720 с.
3. Савельев, И. В. Курс физики [Текст] / И. В. Савельев; под ред. И. В. Савельева. - М. : КноРус 2009. – В 4 т. Т. 2. Электричество и магнетизм. - 2009. - 570 с.
Дата добавления: 2018-10-25; просмотров: 534; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!