Производная логарифмической функции.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Первичная обработка статистических данных состоит в упорядочении данных по возрастанию или убыванию, подсчёте некоторых показателей, характеризующих эти значения, в группировании данных. Обычно полученные в результате наблюдений данные представляют собой пары чисел. Рассматривая этот набор, трудно выявить закономерность, поэтому данные подвергают первичной обработке, целью которой является упрощение дальнейшего анализа.

Репрезентативная выборка – это такая выборка, в которой все основные признаки генеральной совокупности, из которой извлечена данная выборка, представлены приблизительно в той же пропорции или с той же частотой, с которой данный признак выступает в этой генеральной совокупности. Таким образом, если 50% всех законодательных органов штатов собираются лишь раз в два года, приблизительно половина состава репрезентативной выборки законодательных органов штатов должна быть такого типа. Если 30% избирателей Пенсильвании принадлежат к “синим воротничкам”, около 30% репрезентативной выборки для этих избирателей (а не 100%, как в приведенном выше примере) должны быть из числа “синих воротничков”. И если 2% всех студентов колледжей являются спортсменами, приблизительно та же самая часть репрезентативной выборки студентов колледжей должна приходиться на спортсменов. Иными словами, репрезентативная выборка представляет собой микрокосм, меньшую по размеру, но точную модель генеральной совокупности, которую она должна отражать. В той степени, в какой выборка является репрезентативной, выводы, основанные на изучении этой выборки, можно без всяких опасений считать применимыми к исходной совокупности.

2)Гистогра́мма (от др.-греч. ἱστός — столб + γράμμα — черта, буква, написание) — способ графического представления табличных данных.

Гистограмма – инструмент, который позволяет наглядно изобразить и легко выявить структуру и характер изменения полученных данных (оценить распределение), которые трудно заметить при их табличном представлении.

Проведя анализ формы полученной гистограммы и ее местоположения относительно интервала допуска можно сделать заключение о качестве рассматриваемой продукции или состоянии изучаемого процесса. На основе заключения вырабатываются меры по устранению отклонений качества продукции или состояния процесса от нормы.

Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны. Чаще всего для удобства восприятия ширину прямоугольников берут одинаковую, при этом их высота определяет соотношения отображаемого параметра.

Таким образом, гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.

Столбиковая диаграмма (СтД) используется для изображения качественных и порядковых данных и вообще в тех случаях, когда одна из осей не является шкалой.

Столбиковые диаграммы изображаются в виде прямоугольников (столбиков), вытянутых по вертикали, высота которых соответствует значению показателя

Количество столбиков определяется числом изучаемых показателей (данных).

3) Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

замеч. пределы-

4) Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

5) Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой сколь угодно малые изменения аргумента приводят к сколь угодно малым изменениям значения функции.

Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т. е.

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению Δ х аргумента х в точке соответствует бесконечно малое приращение функции Δ y, т. е. .

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. эта точка принадлежит области определении функции;

2. приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда стремится к нулю приращение аргумента .

Функция

называется непрерывной на некотором множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва. Разрыв функции в точке может произойти в результате невыполнения одного из двух условий:

1. функция определена в точке , но при приращении аргумента , стремящемся к нулю, приращение функции не стремится к нулю;

2. функция не определена при и говорить о приращении функции не имеет смысла. В этом случае может быть точкой разрыва, если она является граничной точкой определения функции.

6)Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Производной функцией в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δx, стремящемся к нулю.

7)ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.оОперациянтегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой a

Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой b

Отрезок называется отрезком интегрирования. [a b}

Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция кторая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1.

8)?

Неопределённый интегра ́ л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

где С — произвольная постоянная.

Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Производная степенной функции.

y=xμ,μ∈R. [xμ]/=μ·xμ−1.

Производная логарифмической функции.

y=loga x, [loga x]/=1xlna.

Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 279; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!