Временные параметры сетевых графиков.

В табл. 1 приведены основные временные параметры сетевых графиков.

       Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.

Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок  свершения 1-го собы­тия определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

                                                    (1)

 где — любой путь, предшествующий i - му событию, т.е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшест­вующих событий i, то ранний срок свершения события у удобно находить по формуле

                                        (2)

Таблица 1.

 

Элемент сети, харак­теризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозна­чение пара­метра
Событие i	Ранний срок свершения события Позд­ний срок свершения события Резерв вре­мени события
Работа ( i, j)	Продолжительность работы Ранний срок начала работы Ранний срок окончания работы Поздний срок начала работы Поздний срок окончания работы Полный резерв времени работы Частный резерв времени работы первого вида Частный резерв времени работы второго вида или свободный резерв времени работы Неза­висимый резерв времени работы
Путь L	Продолжительность пути Продолжитель­ность критического пути Резерв времени пути

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

Поэтому поздний (или предельный) срок свершения 1-го события равен

,                                              (3)

где  — любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующий путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле

                                            (4)

Резерв времени  i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

                                                        (5)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задер­жать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения ком­плекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении со­бытия, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершаю­щего события.

Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым опреде­ляем длину критического пути, а, выявив события с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.

Пример 1. Определить временные параметры событий и критический путь для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

Решение. Найденные параметры сведем в табл. 2.

При определении ранних сроков свершения событий  двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1) и (2).

Для = 0 (нулевого события), очевидно, что =0. Для  = 1  = 0+8 = 8 (суток), так как для события 1 существует только один предшествующий путь . Для = 2 = 8+9 = 17 (суток), так как для события 2 существует только один предшествующий путь . Для =3 = = 13 (суток), так как для события 3 существуют два предшествующих пути  и  и два предшествующих события 0 и 1.

 

Таблица 2.

 

 

Номер события	Сроки свершения события, сутки		Резерв времени , сутки
	ранний	поздний
0	0	0	0
1	8	9	1
2	17	40	23
3	13	13	0
4	23	26	3
5	20	20	0
6	29	29	0
7	33	43	10
8	37	38	1
9	42	42	0
10	48	48	0
11	61	61	0

Аналогично:

= = 23 (суткам);

= = 20 (суткам);

 = 29 (суткам) и т.д.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11 (см. табл. 2):

 (суткам).

При определении поздних сроков свершения событий  двигаемся по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы (3) и (4).

Для =11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути):  (сутки).

Для = 10    (суток), так как для события 10 существует только один последующий путь .

Для = 9    (суткам), так как для события 9 существуют два последующих пути и  и  два последующих события 10 и 11.

Аналогично:

 (суток);

 (суткам);

 (суткам) и т.д.

По формуле (5) определяем резервы времени -го события:

 = 0; = 9 - 8 = 1;  = 40 - 17 = 23 и т.д.

Резерв времени, например, события 2 —  = 23 — означает, что время свершения события 2 может быть задержано на 23 суток без увеличения общего срока выполнения проекта. Анализируя табл. 2, видим, что не имеют резервов времени события 0, 3, 5, 6, 9, 11. Эти события и образуют критический путь.

Примечание. Если сетевой график имеет единственный критический путь, то этот путь проходит через все критические события, т.е. события с нулевыми резервами времени. Если критических пу­тей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднено, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определения критических путей рекомендуется использовать крити­ческие раб оты.

Теперь перейдем к параметрам работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежу­точные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок начала работы  совпадает с ранним сроком наступле­ния начального (предшествующего) события i, т.е.

                                                           (6)

Тогда ранний срок  окончания работы  определяется по формуле

                                                                   (7)                                                             

Ни одна работа не может окончиться позже позднего допустимого срока своего конечного события i. Поэтому поздний срок  окончания работы  определяется соотношением

                                                       (8)      

а поздний срок  начала этой работы — соотношением      

                                              (9)         

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала и
окончания работы тесно связаны с соседними событиями ограничениями (6) - (9).    ;

Прежде чем рассматривать резервы времени работ, обратимся к резерву времени пути. Такие резервы имеют все некритические пути. Резерв времени пути определяется как разность ме­жду длиной критического и рассматриваемого пути

                                                         (10)

Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем , то критический путь переместится на путь L.

Отсюда можно сделать вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с кри­тическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени  работы  показывает, на сколько можно увеличить время выполне­ния данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв  определяется по формуле

.                    (11)

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение ко­нечного события в его самый поздний срок (рис. 8 д).

Важным свойством полного резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на макси­мальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, ле­жащих на других (не максимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва.

       Остальные резервы времени работы являются частями ее полного резерва.

Частный резерв времени первого вида  работы  есть часть полного резерва времени, на кото­рую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположе­нии, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см. рис. 8 б).

Рис. 8.

 

находится по формуле

                   (12)

                                                               (13)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени  работы  представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см. рис. 8 в). Д. находится по формуле

                                (14)
                                                                         (15)

Свободным резервом времени можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени  работы  — часть полного резерва времени, получаемая для слу­чая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начи­наются в ранние сроки (см. рис. 8 г)

                                                        (16)

или

                  (17)                                            

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (16) или (17), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина  отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение  не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.

Следует отметить, что резервы времени работы , показанные на рис. 8, могут состоять из двух временных отрезков, если интервал продолжительности работы занимает промежуточную позицию между двумя его крайними положениями, изображенными на графиках.

Таким образом, если частный резерв времени первого вида может быть использован на увеличение про­должительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, а сво­бодный резерв времени — на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нару­шения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Если на критическом пути лежит начальное событие i, то

                                                                                (18)

Если на критическом пути лежит конечное событие j, то

                                                                              (19)

Если на критическом пути лежат начальное и конечное события i и j, но сама работа не при­надлежит этому пути, то

                                 (20)

Соотношения (18) - (20) можно использовать при проверке правильности расчетов резервов времени отдельных работ.

С помощью критических работ, т.е. работ, не имеющих резервов времени, может быть определен критический путь сетевого графика. Этот способ определения критического пути целесообразно использо­вать тогда, когда сеть содержит несколько критических путей.

Пример 2. Вычислить временные параметры работ для сетевого графика, изображенного на рис. 6.

         Результаты расчетов сведем в табл. 2.

Вычисление временных параметров работы  покажем на примере работы (1,4):

ранний срок начала работы (по формуле (6)): (суток),

ранний срок окончания работы (по формуле (7)): (суток);

поздний срок начала работы (по формуле (9)):  (суток), где ;

поздний срок окончания работы (по формуле (8)):  (суток).

Таким образом, работа (1, 4) должна начаться в интервале [8; 20] (суток) и окончиться в интер­вале [14; 26] (суток) от начала выполнения проекта.

Полный резерв работы (7,4) (по формуле (11)):  (суток), т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на 12 суток, при этом срок выполнения комплекса работ не изменится.

Таблица 3.

№ п/п	Работа	Продолжительность работы	Сроки начала и оконча­ния работы				Резервы времени работы
1	(0, 1 )	8	0 8	1	1	9	1	1	0	0
2	(0,3)	13	0	13	0	13	0	0	0	0
3	(0,5)	9	0	9	11	20	11	11	11	11
4	(1,2)	9	8	17	31	40	23	22	0	-
5	(1,4)	6	8	14	20	26	12	11	9	8
6	(1,3)	4	8	12	9	13	1	0	1	0
7	(2,7)	3	17	20	40	43	23	0	13	-
8	(3,4)	10	13	23	16	26	3	3	0	0
9	(3,5)	7	13	20	13	20	0	0	0	0
10	(3,6)	6	13	19	23	29	10	10	10	10
11	(4,7)	8	23	31	35	43	12	9	2	-
12	(4,6)	3	23	26	26	29	3	0	3	0
13	(5,6)	9	20	29	20	29	0	0	0	0
14	(5,8)	10	20	30	28	38	8	8	7	7

 

 

№ п/п	Работа	Продолжительность работы	Сроки начала и окончания работы				Резервы времени работы
15	(5,9)	6	20	26	36	42	16	16	16	16
16	(6,7)	4	29	33	39	43	10	10	0	0
17	(6,10)	5	29	34	43	48	14	14	14	14
18	(6,9)	13	29	42	29	42	0	0	0	0
19	(6,8)	8	29	37	30	38	1	1	0	0
20	(7,10)	5	33	38	43	48	10	0	10	0
21	(8,9)	4	37	41	38	42	1	0	1	0
22	(9,10)	6	42	48	42	48	0	0	0	0
23	(9,11)	17	42	59	44	61	2	2	2	2
24	(10,11)	13	48	61	48	61	0	0	0	0

Покажем на примере работы (1, 4), что полный резерв времени работы равен продолжительно­сти максимального из путей, проходящих через данную работу.

Через работу (1, 4) проходят семь полных путей (см. рис. 6):

Путь	Продолжительность, сутки
	39
	48
	46
	49
	47
	35
	40

 

Отсюда максимальным из путей, проходящих через работу (1, 4), является путь  продолжитель­ностью 49 (суток), резерв времени которого (по формуле (9)) =61-49=12 (суток).

Как видим, полный резерв времени работы (1, 4) оказался равным резерву пути — максималь­ного из путей, проходящих через эту работу. Если увеличить продолжительность выполнения работы t(1, 4) на 12 суток, т.е. с 6 до 18 суток, то полностью будет: исчерпан резерв времени пути , т.е. этот путь станет также критическим, а резервы времени других путей уменьшатся соответственно на 12 су­ток.

Частный резерв времени работы (1, 4) первого вида определим по формуле (10) (или по фор­муле 12): (суток) или  12—1 = 11 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 11 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и последующих работ (по любому из путей ) без затрат резерва времени предшествующих ей работ (в данном случае без затрат резерва времени од­ной предшествующей работы (0,1)).

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени, работы (7, 4) найдем по формуле (12) (или 13)): = 23 – 8 - 6 = 9 (суток) или = 12 - 3 = 9 (суток), т.е. при сохранении общего срока выполнения проекта на 9 суток может быть задержано выполнение работы (1, 4) и предшествующих ей работ (в данном случае работы (0,1)) без нарушения резерва времени последующих работ.

Независимый резерв времени работы (1, 4) определим по формуле (16) (или (17)): = 23-9-6 = 8 (суток) или = 12-1-3 = 8 (суток), т.е. на 8 суток может быть уве­личена продолжительность работы (/, 4) без изменения резервов времени всех остальных работ.

Обратим внимание на то, что независимые резервы работ (1, 2), (2, 7) и (4, 7) отрицательны ( в табл. 14.3 они обозначены прочерком). Например, = 33 – 40 - 3 =  -10. Это означает, что работа (2, 7) продолжительностью 3 (суток) должна закончиться на 33-и сутки после начала комплекса работ, а начаться на 40-е сутки, что, естественно, невозможно.

Подчеркнем, что резервы критических работ (0, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, II), так же как и резервы критических событий, равны нулю.

Рис. 9.

Следует отметить, что в случае достаточно простых сетевых графиков результаты расчета их временных параметров можно фиксировать прямо на графике. Параметры событий записываются в кружках, разделенных на четыре части, а параметры работ — над соответствующими стрелками (рис. 9). При этом отпадает необходимость составления таблиц.

5. Сетевое планирование в условиях неопределен­ности.

При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Такое предположение в действительности выполняется редко: напомним, система СПУ обычно применяется для планирования сложных разработок, не имевших в прошлом никаких аналогов. Чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из ряда возможных значений. Другими словами, продолжительность работы  является случайной величиной, характеризующейся своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками — средним значением, или математическим ожиданием,  и дисперсией .

Практически во всех системах СПУ априори принимается, что распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодальностью, т.е. наличием единственного максимума у кривой распределения; в) двумя точками пересечения кривой распределения с осью Ох, имеющими неотрицательные абсциссы.

Кроме того, установлено, что распределение продолжительности работ обладает положительной асимметрией, т.е. максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, более круто поднимается при удалении от минимального значения t и полого опускается при приближении к максимальному значению t (рис. 10).

Простейшим распределением с подобными свойствами является известное в математической статистике  - распределение. Анализ большого количества статистических данных (хронометражи времени реализации отдельных работ, нормативные данные и т.д.)

Рис. 10

показывает, что  - распределение можно использовать в качестве априорного для всех работ.

Для определения числовых характеристик , и  этого распределения для работы  на основании опроса ответственных исполнителей проекта и экспертов определяют три временные оценки (рис. 10):

а) оптимистическую оценку , т.е. продолжительность работы  при самых благоприятных условиях;

б) пессимистическую оценку , т.е. продолжительность работы  при самых неблагоприятных условиях;

в) наиболее вероятную оценку , т.е. продолжительность работы  при нормальных условиях.

Предположение о  - распределении продолжительности работы  позволяет получить следующие оценки ее числовых характеристик:

                                       (21)

 

                                                   (22)

Следует отметить, что обычно специалистам сложно оценить наиболее вероятное время выполнения работы . Поэтому в реальных проектах используется упрощенная (и менее точная) оценка средней продолжительности работы  на основании лишь двух задаваемых временных оценок  и :

                                                            (23)

Зная  и , можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность.

Так, при достаточно большом количестве работ, принадлежащих пути L и выполнении некоторых весьма общих условий можно применить центральную предельную теорему Ляпунова, на основании которой можно утверждать, что общая продолжительность пути L имеет нормальный закон распределения со средним значением , равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ  и дисперсией , равной сумме соответствующих дисперсий :

                                                                                     (24)

                                                                             (25)

Предположим, что сетевой график на рис. 6 представляет сеть не с детерминированными (фиксированными), а со случайными продолжительностями работ и цифры над работами-стрелками указывают средние значения  продолжительности соответствующих операций, найденные по формуле (21) или (23), и известны все дисперсии , вычисленные по формуле (22).

Следует отметить, что и в этом случае временные параметры сетевого графика — длина критического пути, ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени событий и работ и т.д. — будут такие же, как и найденные в разд. 5. Но при этом необходимо учесть, что эти параметры, представленные в табл. 3, теперь будут являться средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события , средним значением полного резерва времени работы  и т.п.

Так, =б1 будет означать, что длина критического пути лишь в среднем составляет 61 сутки, а в каждом конкретном проекте возможны заметные отклонения длины критического пути от ее среднего значения (причем, чем больше суммарная дисперсия продолжительности работ критического пути, тем более вероятны значительные по абсолютной величине отклонения).

Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта  не превзойдет заданного директивного срока Т.

Полагая  случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения, получим

,                                               (26)

Рис. 11.

(на рис. 11 это площадь заштрихованной фигуры), где  — значение интеграла вероятностей Лапласа, где ;

 — среднее квадратическое отклонение длины критического пути:

,                                                                                            (27)

а ,  определяются по формулам (24) и (25).

Если  мала (например, меньше 0,3), то опасность срыва заданного срока выполнения комплекса велика, необходимо принятие дополнительных мер (перераспределение ресурсов по сети, пересмотр состава работ и событий и т.п. — об этом речь пойдет дальше). Если  значительна (например, более 0,8), то, очевидно, с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.

В некоторых случаях представляет интерес и решение обратной задачи: определение максимального срока выполнения проекта Т, который возможен с заданной надежностью (вероятностью) . В этом случае

,                                                                       (28)

где  — нормированное отклонение случайной величины, определяемое с помощью функции Лапласа .

Пример 3. Пусть, например, для сети (рис. 6) дисперсии продолжительности работ критического пути раны: ; ; ; ; ; . Оценить вероятность выполнения проекта в срок Т = 63 суткам.

          Решение: Найдем , используя формулы (25) и (27):

            Теперь искомая вероятность

т.е. можно с известным риском предполагать выполнение проекта в срок.

Рассмотрим и пример решения обратной задачи: оценить максимально возможный срок Т выполнения проекта с надежностью =0,95.

По формуле (29)  т.е. с надежностью 0,95 срок выполнения проекта не превысит 69 суток.

Следует отметить, что для данной сети мы можем найти лишь весьма приближенные оценки  и Т, ибо на основании теоремы Ляпунова вывод о нормальном законе распределения случайной величины  правомерен лишь для достаточно большого числа критических работ, а в рассматриваемой сети их всего 6.

Однако приведенный метод расчета имеет принципиальные недостатки оценки параметров даже сложных сетей с большим количеством работ. Дело в том, что на практике нередки случаи, когда дисперсии  длин некритических (но близких к критическому) путей существенно больше, чем . Поэтому при изменении ряда условий в данном конкретном комплекте работ возможен переход к новым критическим путям, которые в расчете не учитываются.

Различия между событиями с детерминированными случайными продолжительностями работ не следует путать с различием детерминированных и стохастических сетей. Последнее различие связано со структурой самой сети.

Рассмотренные до сих пор сети являлись детерминированными, хотя работы в них могли характеризоваться не только детерминированными, но и случайными продолжительностями. Вместе с тем встречаются проекты, когда на некоторых этапах тот или иной комплекс последующих работ зависит от неизвестного заранее результата. Какой из этих комплексов работ будет фактически выполняться, заранее не известно, а может быть предсказано лишь с некоторой вероятностью. Например, может быть предусмотрено несколько вариантов продолжения исследования в зависимости от полученных опытных данных или несколько вариантов строительства предприятий различной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Такие сети называются стохастическими.

В свою очередь стохастические сети, так же как и детерминированные, могут характеризоваться детерминированными либо случайными продолжительностями.

---

Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 1491; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!