Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью кубических сплайнов. Метод сплайн-коллокации.
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка:
и 2 краевых условия.
Поставленная задача называется задачей Коши. Решение данной задачи будем искать в виде сплайна 
+ 
В данную формулу можно будет подставить 2 известных y из краевых условий, функцию S , а так же её 1 и 2 производную подставляем в дифференциальное уравнение, в каждой точке 
получится 3 уравнения с 3 неизвестными y.
Решив систему находим неизвестные y и подставляем их в уравнение S ( x ) на 2х отрезках.
Пример: 
|
 + 
Берем числа из таблицы 3 (раздел Приложения) третий столбик и из таблицы 1 третий столбик.
|
Подставим найденный y в уравнение сплайна.
+3)+3( 
-4)+3( 
+2)+( 
+ 
= 5 
-12,5 
+10x + 
Решение задачи методом сплайн-коллокации
Ответ: 
Часть 3: Задача Коши
Определение
Задача Коши — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при 
, а решение отыскивается при 
.
|
|
|
От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.
Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:
1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?
2. Если решение существует, то какова область его существования?
3. Является ли решение единственным?
4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение 
и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки 
имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений .
Точка задаёт начальные условия.
Решение задачи Коши методом дифференциального исчисления
Составим характерный многочлен
тогда общее решение будет иметь вид:
Подставим найденные a и 
в общее решение:
Подставляем начальные условия и найдем 
Ответ: 
Заключение.
Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов.
|
|
|
Решение дифференциальных уравнений второго порядка методом сплайн-коллокации очень полезный способ применяемый многими специалистами в своей повседневной работе.
Мной было рассмотрено несколько способов решения дифференциальных уравнений. Такие как метод сплайн – коллокации и метод дифференциального исчисления. На мой взгляд решать уравнения методом сплайн-коллокации намного быстрее и удобнее.
Список используемой литературы
1. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика/ Под ред.Садовничего В.А.-Дрофа 2005
2. Ильин В.А. Высшая математика. Учебник. – М.: Проспект,2002.
3. С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова Дифференциальные уравнения. – МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -348 с
4.Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения.
5.Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. - М.: Изд-во МАИ, 2000.- 380с: ил.
Приложения и Таблицы
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 1111; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!