ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Практическое занятие № 4

Оценка результатов измерений с учетом случайной погрешности

При проведении измерений всегда существует некая величина погрешности, присутствие которой обусловлено рядом факторов. К ним можно отнести воздействие окружающей среды, несовершенство техники и т.д. Учет влияния производится при помощи абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность, представляющая собой разницу между истинным Х и измеренным значением Х_Иискомой величины, включает в себя две составляющие – это случайная погрешность , исключить которую невозможно, и систематическая погрешность , значение которой можно определить. При заданной систематической погрешности исправленный результат измерения будет содержать только случайную погрешность

. (1)

Случайную величину исключить невозможно, так как неизвестно, какую величину оно приняло для конкретного измерения. Для математического определения значения случайной величины необходимо задать интервал, в котором появление результата измерения наиболее вероятно.

- доверительный интервал с доверительной вероятностью Р_Д (рис.1) того, что величина Х находится в заданном интервале. Наиболее часто уровень значимости задается из следующего ряда 0.9, 0.95, 0.99, 0.9973. Доверительный интервал обычно выбирается симметричным относительно истинного значения.

В случае нормального закона распределения погрешности для расчета используется функция Лапласа

. (2)

обычно при условии

Если известен дифференциальный закон распределения погрешности Δ, т.е. плотность вероятности , то

. (3)

Числовые характеристики закона распределения:

1. Математическое ожидание систематической погрешности

. (4)

2. Дисперсия Д

. (5)

3. Среднеквадратическое отклонение σ

. (6)

При нормальном законе распределения погрешностей

. (7)

По таблице функции Лапласа (прил.1) можно определить доверительную вероятность с учетом

. (8)

Доверительная вероятность определяется с учетом математического ожидания.

. (9)

В большинстве случаев закон распределения неизвестен, но известны его числовые характеристики и σ. При условии заданной симметричности интервала можно воспользоваться неравенством Чебышева

. (10)

откуда

. (11)

Если произведено n независимых наблюдений одного и того же известного значения Х и получены результаты Х₁, Х₂, …, то систематическая погрешность составит значение

. (12)

. (13)

Если истинное значение измеряемой величины неизвестно, то определить систематическую погрешность невозможно. Если систематической погрешностью можно пренебречь, то в качестве истинного значения можно использовать среднее значение измеряемой величины. Соответственно среднеквадратическое отклонение составит

. (14)

Среднеквадратическое отклонение отдельного наблюдения характеризует точность метода измерения.

. (15)

Если закон распределения близок к нормальному и пренебречь систематической погрешностью, доверительная вероятность будет иметь величину

. (16)

Если точно известно, что погрешности отдельных наблюдений распределены по нормальному закону, то следует использовать точное выражение

, (17)

где F_n(t) – интегральная функция распределения Стьюдента (прил. 4).

Если число наблюдений мало и находится в пределах 20, а закон распределения отдельных наблюдений нельзя считать близким к нормальному, то применяется приближенная формула.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача

Произведен ряд независимых наблюдений величины тока 231, 228, 230, 239, 235 мА. Предполагая, что систематической погрешностью можно пренебречь, определите истинное значение величины тока, среднеквадратическое отклонение метода и результата измерения. Предполагая, что закон распределения нормальный с нулевым математическим ожиданием, определите вероятность того, что измеряемая величина отличается от среднего значения не более чем на 5 мА. При вероятности 0,95 определите симметричный доверительный интервал.

Решение

Среднее значение полученного ряда измерений

Среднеквадратическая погрешность метода измерения

Погрешность результата измерений

Определим вероятность того, что измеренная величина будет отличатся от среднего значения более чем на 5 мА. Так как закон распределения известен, то для определения используется более точная формулировка для распределения Стьюдента

Симметричный доверительный интервал для вероятности 0,95 составит

Границы симметричного доверительного интервала

мА.

Результаты обработки наблюдений

I = (233 ± 5) мА при вероятности 0,93.

I = (233 ± 4,14) мА при вероятности 0,95.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1. Произведен ряд измерений напряжения на резисторе. Среднеквадратическое отклонение результата составляет σ мВ, закон распределения абсолютной погрешности нормальный, а систематическая погрешность равна нулю.

1. Найдите вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения напряжения не более чем на Δ₁ = Δ₂ мВ.

2. Определите вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения напряжения не более чем на Δ при условии, что систематическая погрешность составит не более Δ_С мВ.

Таблица 1 - Погрешности измерения напряжения

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
σ, мВ	40	50	30	30	40
Δ₁ = Δ₂, мВ	140	120	60	100	80
Δ_С, мВ	20	30	20	10	30

Задача 2. Результат измерения тока содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону, среднеквадратическое отклонение равно σ, систематическая погрешность равна нулю. Какова вероятность того, что погрешность превысит по абсолютной величине Δ ?

Таблица 2 - Погрешности измерения напряжения

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
σ, мА	4	8	4	2	3
Δ, мА	12	16	10	4	9

Задача 3. Результат измерения мощности содержит случайную погрешность, распределенную по нормальному закону, СКО 100 мВт, систематическая погрешность -50 мВт.

1. Найдите вероятность того, что результат измерения (неисправленный) превысит истинное значение мощности.

2. Найдите вероятность того, что истинное значение мощности отличается от результата измерения (неисправленного) не более чем на 150 мВт.

Задача 4. В лаборатории проводилась поверка амперметра Ц4202 с пределом измерения 10 А. При поверке деления 5 А были получены результаты, занесенные в таблицу 3. Считая, что погрешность распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определите вероятность того, что погрешность не превышает 0,1 А и среднеквадратическое отклонение метода измерения.

Таблица 3 - Результаты поверки

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I, А	5,1	4,9	5,1	5,0	5,2	5,1	5,3	5,2	4,9	4,8

Задача 5. В результате поверки амперметра установлено, что 70% погрешностей результата измерений, произведенных с его помощью, не превосходит ±20 мА. Считая, что погрешность распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, определите среднеквадратическую погрешность.

Задача 6. В результате поверки амперметра установлено, что 80% погрешностей результата измерений, произведенных с его помощью, не превосходит ±20 мА. Считая, что погрешности распределены по равномерному закону с нулевым математическим ожиданием, найдите вероятность того, что погрешность результата измерений превзойдет ±40 мА.

Задача 7. Для промышленных образцов электротехнической стали проводилось определение магнитных потерь при помощи дифференциального ваттметрового способа. Сталь марки 2212 дала следующий ряд значений потерь: 1.21, 1.17, 1.18, 1.13, 1.19, 1.14, 1.20, 1.18 Вт/кг. Считая закон распределения результатов нормальным, а систематическую погрешность отсутствующей, определите доверительный интервал для вероятности 0,9 и 0,95. Для решения использовать распределение Стьюдента.

Задача 8. Погрешности результата измерений, произведенных при помощи амперметра, распределены по нормальному закону, а среднеквадратическое отклонение составляет 20 мА. Систематической погрешностью пренебречь. Сколько независимых измерений необходимо сделать, чтобы хотя бы для одного из них погрешность не превосходила ±5 мА. С вероятностью не менее 0,95.

Задача 9. Произведен ряд независимых наблюдений напряжений, получены результаты 3790, 3805, 3832, 3781, 3842 мВ. Систематической погрешностью можно пренебречь.

1. Определите оценку истинного значения измеряемого напряжения и СКО метода измерения и результата измерения.

2. Оцените систематическую погрешность и СКО, если известно истинное значение напряжения 3805 В.

3. Определите приближенно доверительную вероятность того, что истинное значение измеряемого напряжения отличается от среднего не более чем на 30 мВ. Симметричный доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности 0,95. Запишите результаты измерений для доверительной вероятности 0,99 и 0,95.

Задача 10. Мостовым методом проводились измерения сопротивления постоянному току. Получены следующие результаты: 0.84, 0.9, 0.87, 0.86, 0.92, 0.91, 0.8, 0.89, 0.89, 0.85 кОм. Определите систематическую погрешность, если истинное значение сопротивления составляет 0.87 кОм. Определите вероятность получить такой результат.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНЕГО РЕШЕНИЯ

_________________________(Ф.И.О.)___________группа___________курс

Задача №1. Проведен ряд наблюдений значений емкости конденсатора мостовым методом. Определите вероятность того, что наблюдаемые значения заключены в пределе от 5.45 до 5.75 нФ. Закон распределения нормальный, математическое ожидание равно нулю.

Решение:

Теоретическая часть

1. Какими основными характеристиками обладает нормальный закон распределения. Охарактеризуйте точность данного закона.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Значение функции

Х	Ф(Х)	Х	Ф(Х)	Х	Ф(Х)	Х	Ф(Х)	Х	Ф(Х)	Х	Ф(Х)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0,01	0,004	0,44	0,17	0,87	0,3078	1,3	0,4032	1,73	0,4582	2,32	0,4898
0,02	0,008	0,45	0,1736	0,88	0,3106	1,31	0,4049	1,74	0,4591	2,34	0,4904
0,03	0,0012	0,46	0,1772	0,89	0,3133	1,32	0,4066	1,75	0,4599	2,36	0,4909
0,04	0,0016	0,47	0,1808	0,9	0,3159	1,33	0,4082	1,76	0,4608	2,38	0,4913
0,05	0,00199	0,48	0,1844	0,91	0,3186	1,34	0,4099	1,77	0,4616	2,4	0,4918
0,06	0,0239	0,49	0,1879	0,92	0,3212	1,35	0,4115	1,78	0,4625	2,42	0,4922
0,07	0,0279	0,5	0,1915	0,93	0,3238	1,36	0,4131	1,79	0,4633	2,44	0,4927
0,08	0,0319	0,51	0,195	0,94	0,3264	1,37	0,4147	1,8	0,4641	2,46	0,4931
0,09	0,0359	0,52	0,1985	0,95	0,3289	1,38	0,4162	1,81	0,4649	2,48	0,4934
0,1	0,0398	0,53	0,2019	0,96	0,3315	1,39	0,4177	1,82	0,4656	2,5	0,4938
0,11	0,0438	0,54	0,2054	0,97	0,334	1,4	0,4192	1,83	0,4664	2,52	0,4941
0,12	0,0478	0,55	0,2088	0,98	0,3365	1,41	0,4207	1,84	0,4671	2,54	0,4945
0,13	0,0517	0,56	0,2123	0,99	0,3389	1,42	0,4222	1,85	0,4678	2,56	0,4948
0,14	0,0557	0,57	0,2157	1	0,3413	1,43	0,4236	1,86	0,4686	2,58	0,4951
0,15	0,0596	0,58	0,219	1,01	0,3438	1,44	0,4251	1,87	0,4693	2,6	0,4953
0,16	0,0636	0,59	0,2224	1,02	0,3461	1,45	0,4265	1,88	0,4699	2,62	0,4956
0,17	0,0675	0,6	0,2257	1,03	0,3485	1,46	0,4279	1,89	0,4706	2,64	0,4959
0,18	0,0714	0,61	0,2281	1,04	0,3508	1,47	0,4292	1,9	0,4713	2,66	0,4961
0,19	0,0753	0,62	0,2324	1,05	0,3531	1,48	0,4306	1,91	0,4719	2,68	0,4963
0,2	0,0793	0,63	0,2357	1,06	0,3554	1,49	0,4319	1,92	0,4726	2,7	0,4965
0,21	0,0832	0,64	0,2389	1,07	0,3577	1,5	0,4332	1,93	0,4732	2,72	0,4967
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0,22	0,0871	0,65	0,2422	1,08	0,3599	1,51	0,4345	1,94	0,4738	2,74	0,4969
0,23	0,091	0,66	0,2454	1,09	0,3621	1,52	0,4357	1,95	0,4744	2,76	0,4971
0,24	0,0948	0,67	0,2486	1,1	0,3643	1,53	0,437	1,96	0,475	2,78	0,4973
0,25	0,0987	0,68	0,2517	1,11	0,3665	1,54	0,4382	1,97	0,4756	2,8	0,4974
0,26	0,1026	0,69	0,2549	1,12	0,3686	1,55	0,4394	1,98	0,4761	2,82	0,4976
0,27	0,1064	0,7	0,258	1,13	0,3708	1,56	0,4406	1,99	0,4767	2,84	0,4977
0,28	0,1103	0,71	0,2611	1,14	0,3729	1,57	0,4418	2	0,4772	2,86	0,4979
0,29	0,1141	0,72	0,2642	1,15	0,3749	1,58	0,4429	2,02	0,4783	2,88	0,4979
0,3	0,1179	0,73	0,2673	1,16	0,377	1,59	0,4441	2,04	0,4793	2,9	0,498
0,31	0,1217	0,74	0,2703	1,17	0,379	1,6	0,4452	2,06	0,4803	2,92	0,4981
0,32	0,1255	0,75	0,2734	1,18	0,381	1,61	0,4463	2,08	0,4812	2,94	0,4982
0,33	0,1293	0,76	0,2769	1,19	0,383	1,62	0,4474	2,1	0,4821	2,96	0,4984
0,34	0,1331	0,77	0,2794	1,2	0,3849	1,63	0,4484	2,12	0,483	2,98	0,4985
0,35	0,1368	0,78	0,2823	1,21	0,3869	1,64	0,4495	2,14	0,4838	3	0,4986
0,36	0,1406	0,79	0,2852	1,22	0,3883	1,65	0,4505	2,16	0,4846	3,2	0,49865
0,37	0,1443	0,8	0,2881	1,23	0,3907	1,66	0,4515	2,18	0,4854	3,4	0,49931
0,38	0,148	0,81	0,291	1,24	0,3925	1,67	0,4525	2,2	0,4861	3,6	0,49966
0,39	0,1517	0,82	0,2939	1,25	0,3944	1,68	0,4535	2,22	0,4868	3,8	0,499984
0,4	0,1554	0,83	0,2967	1,26	0,3969	1,69	0,4545	2,24	0,4875	4	0,499928
0,41	0,1591	0,84	0,2995	1,27	0,398	1,7	0,4554	2,26	0,4881	4,5	0,499968
0,42	0,1628	0,85	0,3023	1,28	0,3997	1,71	0,4564	2,28	0,4887	5	0,499997
0,43	0,1664	0,86	0,3051	1,29	0,4015	1,72	0,4573	2,3	0,4893

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Закон распределения Стьюдента

n-1 t	1	2	3	4	5	10
0,0	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
0,2	0,563	0,570	0,573	0,574	0,575	0,577	0,57926
0,4	0,621	0,636	0,642	0,645	0,647	0,651	0,65542
0,6	0,672	0,695	0,705	0,710	0,713	0,719	0,72545
0,8	0,715	0,746	0,759	0,766	0,770	0,779	0,78814
1,0	0,750	0,789	0,804	0,813	0,818	0,830	0,84134
1,2	0,779	0,824	0,842	0,852	0,858	0,871	0,88493
1,4	0,803	0,852	0,872	0,883	0,890	0,904	0,91924
1,6	0,822	0,875	0,896	0,908	0,915	0,930	0,94520
1,8	0,839	0,893	0,915	0,927	0,934	0,949	0,96407
2,0	0,852	0,908	0,930	0,942	0,949	0,963	0,97725
2,2	0,864	0,921	0,942	0,954	0,960	0,974	0,98610
2,4	0,874	0,931	0,952	0,963	0,969	0,981	0,99180
2,6	0,883	0,938	0,960	0,970	0,976	0,987	0,99534
2,8	0,891	0,946	0,966	0,976	0,981	0,991	0,99744
3,0	0,898	0,952	0,971	0,980	0,985	0,993	0,99865
3,2	0,904	0,957	0,975	0,984	0,988	0,995	0,99931
3,4	0,909	0,961	0,979	0,986	0,990	0,997	0,99966
3,6	0,914	0,965	0,982	0,989	0,992	0,998	0,99984
3,8	0,918	0,969	0,984	0,990	0,994	0,998	0,99993
4,0	0,992	0,971	0,986	0,992	0,995	0,999	0,99997

Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 1239; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!