Необходимые и достаточные условия

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова «необходимо, но недостаточно» или «достаточно, но не необходимо», а где возможно «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное утверждение:

Задача 1. Пусть на отрезке [a, b] определена непрерывная функция f(x) имеющая на промежутке [a, b] конечные производные, тогда:

Для того, чтобы функция f(x) была постоянной на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы =0 для .

Решение:

F(x)=const на [a, b] - истина

F(x)=const на [a, b] – истина

Задача 2. Для того, чтобы два вектора в пространстве были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю

┴ - истина

Задача 3. Для того, чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы .

имело действительные корни

Задача 4. Для того, чтобы в точке x₀ функция f(x) имела экстремум, необходимо, чтобы

Решение:

функция f(x) в точке x₀имеет экстремум - истина

функция f(x) в точке x₀имеет экстремум – ложь

контрпример: .

Задача 5.Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, но не достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны.

Решение:

ABCD – квадрат - истина

ABCD – квадрат – ложь

контрпример: A C

Задача 6.Для того, чтобы уравнение cos x = a имело решение, необходимо, но не достаточно, чтобы .

Решение:

Cos x = a - имеет решение

Cos x = a - имеет решение – ложь

контрпример: a = 3.

Задача 7. Для того, чтобы в точке x₀ функция f(x) имела разрыв второго рода, достаточно, чтобы = ∞.

Решение:

функция f(x) в точке x₀ имеет разрыв второго рода – истина.

Задача 8. Для того, чтобы выражение x² – 2x – 3 равнялось нулю, достаточно, но не необходимо, чтобы x = -1.

Решение:

x² – 2x – 3 = 0 - ложь

контрпример: x = 3.

x² – 2x – 3 = 0 – истина

Анализ и синтез релейно-контактных схем

Одно из применений алгебры высказываний – анализ и синтез релейно-контактных схем.

Еще в 1910 году физик П.С. Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем. Каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры высказываний, и каждая формула алгебры высказываний реализуется с помощью некоторой схемы.

Рассмотрим 2-х-полюсные переключатели, т.е. такие, которые имеют два состояния: «замкнуто» - 1, «разомкнуто» - 0. На схеме будем изображать:

Определение 7. Переключатель, который сблокирован с X так, что он замкнут, если X разомкнут, и разомкнут, если X замкнут, называется инверсным и обозначается .

Конъюнкция двух высказываний X и Y будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей X и Y.

Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда истины и X, и Y одновременно, то есть истина конъюнкция X&Y.

X&Y

Дизъюнкция двух высказываний X и Y изобразится двухполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей X и Y.

X Y

Эта схема пропускает ток в случае, если истинно высказывание X или истинно высказывание Y, то есть истина дизъюнкция X Y.

Таким образом, всякую булеву формулу можно трактовать как некоторую последовательно-параллельную схему от 2-х-полюсных переключателей. Все свойства булевых операций переносятся на соответствующие операции над переключателями. Формула, которую можно составить для каждой схемы называется функцией проводимости схемы, а таблица значений – условиями работы схемы.

Определение 8. Две схемы называются равносильными, если имеют одинаковые функции проводимости.

Анализ схемы заключается в следующем: для данной схемы составляется функция проводимости, которая на основании законов булевых функций упрощается и для нее строится новая, более простая схема, которая обладает теми же электрическими свойствами.

Синтез схем заключается в построении схем с заданными электрическими свойствами. На основании заданных электрических свойств строится таблица условий работы схемы и затем функция проводимости, представляющая собой СДНФ, а по ней строится схема.

Задача 1. Составить РКС, обладающая следующей функцией проводимости:

Решение:

Задача 2. Составить РКС обладающая следующей функцией проводимости:

Решение:

Задача 3. Составить РКС обладающая следующей функцией проводимости:

Решение:

Задача 4. Упростить РКС:

Решение:

Ей соответствует функция проводимости:

F(X,Y,Z)

Этой же функции проводимости соответствует более простая схема.

Задача 5. Упростить РКС:

Решение:

Ей соответствует функция проводимости:

Этой же функции проводимости соответствует более простая схема.

Задача 6. Упростить РКС:

Решение:

Ей соответствует функция проводимости:

Задача 7. Какой контакт необходимо вставить в вакантное место, чтобы функция проводимости полученной схемы стала бы равна данной булевой функции:

Данной схеме соответствует функция проводимости:

Решение:

Задача 8. Какой контакт необходимо вставить в вакантное место, чтобы функция проводимости полученной схемы стала бы равна данной булевой функции:

Данной схеме соответствует функция проводимости:

Решение:

Задача 9. Какой контакт необходимо вставить в вакантное место, чтобы функция проводимости полученной схемы стала бы равна данной булевой функции:

Данной схеме соответствует функция проводимости:

Решение:

Задача 10. Построить РКС с четырьмя переключателями, которая проводит ток тогда и только тогда, когда замыкаются не все переключатели, а только некоторые из них.

Решение:

Составим таблицу значений функции проводимости F (X, Y, Z, T) этой схемы:

X	Y	Z	T	F (X, Y, Z, T)
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0	1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0	1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0	1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1	* *

В правом столбце звездочками отметим те строки, на которых функция F (X, Y, Z, T) обращается в 0, запишем для неё выражение, используя СКНФ, потому что наборов значений аргументов, на которых функция обращается в 0, значительно меньше, чем наборов значений аргументов, на которых функция обращается в 1, и значит, СКНФ будет более простой, чем СДНФ:

Задача 11. Построить схему с тремя переключателями, которая замыкается тогда и только тогда, когда замкнут либо один, либо два переключателя. При построении использовать не более шести контактов.

Решение:

Составим таблицу значений функции проводимости F (X, Y, Z) этой схемы:

X	Y	Z	F (X, Y, Z)
1 1 1 0 1 0 0 0	1 1 0 1 0 1 0 0	1 0 1 1 0 0 1 0	0 1 1 1 1 1 1 0	* * * * * *

В правом столбце звездочками отметим те строки, на которых функция

F (X, Y, Z, T) обращается в 1, запишем для неё выражение, используя СКНФ, потому что наборов значений аргументов, на которых функция обращается в 0, значительно меньше, чем наборов значений аргументов, на которых функция обращается в 1, и значит, СКНФ будет более простой, чем СДНФ:

Задача 12. Требуется составить схему с четырьмя переключателями X, Y, Z, T. Схема должна проводить ток тогда и только тогда, когда будут замкнуты переключатели X и Y или Z и T.

Решение:

Составим таблицу значений функции проводимости F (X, Y, Z, T) этой схемы:

X	Y	Z	T	F (X, Y, Z, T)
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0	1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0	1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0	1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0	0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0	* *

В правом столбце звездочками отметим те строки, на которых функция

F (X, Y, Z, T) обращается в 1, запишем для неё выражение, используя СДНФ:

Задача 13. Построить контактную схему для оценки результатов некоторого спортивного соревнования тремя судьями при следующих условиях: судья, засчитывающий результат, нажимает имеющуюся в его распоряжении кнопку, а судья, не засчитывающий результат, кнопки не нажимает. В случае, если кнопки нажали не менее двух судей должна загореться лампочка (положительное решение судей принято простым большинством голосов).

Работа РКС описывается функцией Буля трех переменных F (X, Y, Z), где переменные высказывания X, Y, Z означают:

X – судья X голосует «за»

Y – судья Y голосует «за»

Z – судья Z голосует «за»

Таблица истинности функции F (X, Y, Z) имеет вид:

X Y Z	F(X, Y, Z)
1 1 1	1
1 1 0	1
1 0 1	1
0 1 1	1
1 0 0	0
0 1 0	0
0 0 1	0
0 0 0	0

Этой же функции проводимости соответствует более простая схема.

Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 304; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!