Доказательство делимости на 3
Теорема.
Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
Доказательство.
Для a=0 теорема очевидна.
Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где 
- сумма цифр числа a.
Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то 
- целое число, тогда по определению делимости произведение 
делится на 3 при любых a0, a1, …, an.
Если сумма цифр числа a делится на 3, то есть, А делится на 3, то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, 
делится на 3, следовательно, a делится на 3. Так доказана достаточность.
Если a делится на 3, то и делится на 3, тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3, то есть, сумма цифр числа a делится на 3. Так доказана необходимость.
Доказательство делимости на 9
Теорема. Для того чтобы число x делилось на 9. необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.
Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10n - 1 делятся на 9. Действительно, 10n - 1 = (9*10n-1 + 10n-1) - 1 = (9*10n-1 + 9*10n-2 + 10n-2) - 1 = (9*10n-1 + 9*10n-2 + ... + 10) - 1 = 9*10n-1 + 9*10n-2 + ... + 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10n - 1 делится на 9.
Пусть число х=an*10n + an-1* 10n-1 + ... +a1*10 + a0и (an+an-1+...+а1+а0) 9.Докажем, что тогда x 9.
Преобразуем сумму an*10n + an-1* 10n-1 + ... +a1*10 + a0прибавив и вычтя из нее выражение an+an-1+...+а1+а0 и записав результат в таком виде: x= (an*10n - an) + (an-1*10n-1 – аn-1)+ ... + (a1*10 +a1) + + (a0 +a0) + (an+an-1+ ... +а1+а0 = аn (10n - 1) + an-1(10n-1-1) + ... + a1(10- 1) + (an+an-1+...+а1+а0).
|
|
|
Вопрос № 20
Признак делимости на 2.
Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях - не делится.
Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная; 7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.
Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.
Признаки делимости на 3 и на 9.
На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9.
Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.
|
|
|
Признаки делимости на 5.
На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие - не делятся.
Пример.
240 делится на 5 (последняя цифра 0);
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).
Признак делимости на 25.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.
Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.
Признак делимости на 4
Теорема.
Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a, делилось на 4.
Доказательство.
Для a=0 теорема очевидна.
Для остальных целых a модуль числа a есть число положительное, и его можно представить как 
, о чем мы сказали перед теоремой.
В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a1·100всегда делится на 4. Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.
Если число a делится на 4, то и модуль числа a делится на 4, тогда из равенства следует делимость на 4 числа a0. Этим доказана необходимость.
С другой стороны из делимости a0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a, откуда следует делимость на 4 и самого числа a. Этим доказана достаточность.
|
|
|
Признак делимости на 25
Число п делится на 25 тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа п, делится на 25. То есть число делится на 25, если оно оканчивается цифрами 00, 25, 50 или 75.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 979; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!