С) Бесконечность определенного количества 3 страница
Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой выступает в своем своеобразии математическое бесконечное. В уравнении, в котором x и y положены ближайшим образом как определенные некоторым степенным отношением, x и y как таковые должны еще означать некоторые определенные количества; и вот это значение совершенно утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не суть определенные количества и не должны обозначать таковых, а имеют значение лишь в своем соотношении, имеют смысл лишь как моменты. Они уже больше не суть нечто, если принимать нечто за определенное количество, не суть конечные разности; но они также и не суть ничто, не суть лишенный определения нуль. Вне своего отношения они — чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как определения диференциального коэфициента 
.
В этом понятии бесконечного определенное количество подлинно завершено в некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а как определенное количество вообще. Но при этом сохраняется количественная определенность как элемент определенных количеств, как принцип или, как также выражались, она сохраняется в своем первом понятии.
Против этого понятия и направлено все то нападение, которому подверглось основное определение математики этого бесконечного, — диференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления самих математиков вызвали непризнание этого понятия; но преимущественно вина за эти нападки ложится на неспособность оправдать этот предмет как понятие. Но понятия, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной определенности своих предметов, — как например, в чистой математике пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с другом лишь со стороны их конечности, — а она приводит заимствованное оттуда и рассматриваемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая, например, кривую линию в прямую, круг в многоугольник и т. д. Поэтому действия, к которым она позволяет себе прибегать в диференциальном и интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой исключительно только конечных определений и их соотношений и, стало быть, могли бы найти свое оправдание только в понятии.
|
|
|
Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные определения суть исчезающие величины, т. е. такие величины, которые уже больше не суть какие-либо определенные количества, но не суть также и ничто, а еще представляют собою известную определенность относительно другого, то нападавшим на нее казалось, что ничего нет яснее того, что не может быть такого, как они выражались, среднего состояния между бытием и ничто. — Каково значение этого возражения и так называемого среднего состояния, это уже было указано выше при рассмотрении категории становления, примечание 4. Конечно, единство бытия и ничто не есть состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое эти моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь или подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления, между тем как эта средина и это единство, исчезание, которое есть также и становление, напротив, единственно и есть их истина.
|
|
|
То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или меньшее; поэтому, не может быть отношения бесконечного к бесконечному, по порядкам или достоинствам бесконечного, а между тем мы встречаем таковые различия бесконечных разностей в науке, трактующей о них. — В основании этого уже упомянутого выше возражения все еще лежит то представление, что здесь идет речь об определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что определения, которые уже не суть определенные количества, не имеют больше никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне своего отношения должно иметь совершенно безразличное к другим наличное бытие, определение, которому должно быть безразлично его отличие от некоего другого, между тем как качественное есть, напротив, лишь то, что оно есть в своем различии от другого. Поэтому указанные бесконечные величины не только сравнимы, но имеют бытие лишь как моменты сравнения, отношения.
|
|
|
Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике относительно этого бесконечного; из них сделается ясным, что в их основании лежит такая мысль о предмете, которая согласуется с развитым здесь понятием, но что создатели этой отрасли математики не обосновали этой мысли как понятие, и в применениях они вынуждены были прибегать к обходным средствам, противоречащим их лучшему делу.
Эта мысль не может быть определена правильнее, чем то сделал Ньютон. Я оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие к представлению движения и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий), так как в них мысль выступает не с надлежащею абстрактностью, а конкретно, смешана с формами, лежащими вне существа дела. Эти флюксии объясняются Ньютоном в том смысле (Princ. mathem. phil. nat., lib. I, Lemma XI, Schol.), что он понимает под ними не неделимые — форма, которою пользовались более ранние математики, Кавальери и другие, и которая содержит в себе понятие само по себе определенного количества, — а исчезающие делимые. Он объясняет далее, что он понимает под ними не суммы и отношения определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого выдвигают, дескать, то возражение, что у исчезающих величин не может быть никакого последнего отношения, так как прежде, чем они исчезли, оно не последнее, а когда они исчезли, нет никакого отношения. Но под отношением исчезающих величин, указывает Ньютон, следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum evanescunt). Точно так же первое отношение возникающих величин есть то отношение, вместе с которым они возникают.
|
|
|
В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь объяснение, что под таким-то выражением следует понимать то-то. Но заявление, что под таким-то выражением следует понимать то-то, есть, собственно говоря, лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не показывают, что такое понятие само по себе необходимо и обладает внутренней истинностью. Но вышеизложенное показывает, что выставленное Ньютоном понятие соответствует тому, как в предшествующем изложении получилась бесконечная величина из рефлексии определенного количества внутрь себя. Под флюксиями Ньютон понимает величины в их исчезновении, т. е. величины, которые уже больше не суть определенные количества; он, далее, понимает под ними не отношения определенных частей, а пределы отношения. Стало быть, исчезают согласно этому пониманию как определенные количества сами по себе, члены отношения, так и самое отношение, поскольку оно было определенным количеством, предел отношения величин есть то, в чем оно есть и не есть; это означает, точнее, что оно есть то, в чем определенное количество исчезло, и тем самым сохранились лишь отношение как качественно количественное отношение, и его члены — тоже как качественно количественные моменты. — Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства, что существуют последние отношения исчезающих величин, не следует заключать, что существуют последние, величины «неделимые». Это было бы опять-таки скачком от абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по себе, вне своего соотношения, иметь известное значение, как неделимые, как нечто, что было бы одним, безотносительным.
Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того, напоминает, что последние отношения суть не отношения последних величин, а только пределы, к которым отношения безгранично убывающих величин приближаются больше, чем всякая данная, т. е. конечная разность, но которых они не преступают, чтобы стать ничем. — Под последними величинами можно было бы именно понимать, как мы уже сказали, неделимые или одни. Но из определения последнего отношения устранено представление как о безразличном безотносительном одном, так и о конечном определенном количестве. — Но не нужно было бы ни безграничного убывания, которое Ньютон приписывает определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного прогресса, ни определения делимости, которое здесь уже больше не имеет никакого непосредственного значения, если бы требуемое определение было развито далее в понятие некоторого такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент отношения.
Касательно сохранения отношения в исчезающих определенных количествах мы встречаем у других авторов (например, у Карно, Réflexions sur la métaphysique du Calcul infinitésimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины прежде, чем исчезнуть, продолжают сохранять то отношение, из которого они происходят. — Это представление выражает собою истинную природу дела, поскольку здесь разумеется не та непрерывность определенного количества, которую оно являет нам в бесконечном прогрессе, непрерывность, заключающаяся в том, что определенное количество так продолжается в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает лишь некоторое конечное определенное количество, некоторый новый член ряда. Однако непрерывное движение вперед всегда представляют себе так, что проходятся значения, которые еще суть конечные определенные количества. Напротив, в том переходе, который совершается в истинное бесконечное, непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что переход исключительно только и состоит в том, что он выделяет отношение в чистом виде и заставляет исчезнуть безотносительное определение, т. е. то обстоятельство, что определенное количество, являющееся членом отношения, еще есть определенное количество также и тогда, когда оно положено вне этого соотношения. — Это очищение количественного отношения есть постольку не что иное, как то, что имеет место, когда некоторое эмпирическое существование (Dasein) постигается через понятие (begriffen wird). Эмпирическое существование благодаря этому поднимается выше самого себя таким образом, что его понятие содержит те же определения, которые содержит оно само, но охваченные в их существенности и вдвинутые в единство понятия, в котором они потеряли свое безразличное, чуждое понятию существование (Bestehen).
Столь же интересна и другая форма ньютоновой трактовки интересующих нас величин, а именно, рассмотрение их как производящих величин или начал. Производная величина (genita) — это произведение или частное, корни, прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, — вообще, конечная величина. — «Рассматривая ее как переменную, как возрастающую или убывающую в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее моментальные приращения или убывания. Но не следует принимать эти моменты за частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; под последними же следует понимать находящиеся в становлении принципы или начала конечных величин». — Ньютон отличает здесь определенное количество от него же самого, рассматривает его двояко: так, как оно есть продукт или налично сущее, и так, как оно есть в своем становлении, в своем начале и принципе, то есть как оно есть в своем понятии или — здесь это равнозначно — в своем качественном определении; в последнем количественные различия, бесконечные приращения или убывания суть лишь моменты; только уже ставшее есть нечто перешедшее в безразличие наличного бытия и во внешность, — определенное количество. — Но если философия истинного понятия и должна признать эти приведенные касательно приращений или убываний определения бесконечного, то мы должны вместе с тем сразу же заметить, что самые формы приращения и т. д. имеют место внутри категории непосредственного определенного количества и вышеуказанного непрерывного движения вперед, и что представления о приращении, приросте, увеличении x на dx или i и т. д. должны рассматриваться скорее как имеющиеся в этих методах основные недостатки, как постоянное препятствие к выделению в чистом виде определения качественного момента количества из представления об обычном определенном количестве.
По сравнению с указанными определениями является очень отсталым предоставление о бесконечно-малых величинах, содержащееся также и в самих представлениях о приращении или убывании. Согласно представлению о бесконечно-малых величинах они носят такой характер, что следует пренебрегать не только ими самими по отношению к конечным величинам, но также их высшими порядками по отношению к низшим, а равно произведениями нескольких таких величин по отношению к одной. — У Лейбница особенно ярко выступает это требование о таком пренебрежении, применению какового давали место также и предыдущие изобретатели методов, касающихся этих величин. Именно это обстоятельство сообщает указанному исчислению при всем выигрыше в удобстве видимость неточности и явной неправильности хода его действий. — Вольф стремился сделать это пренебрежение величинами понятными по обычному своему способу делать популярными излагаемые им вопросы, т. е. путем нарушения чистоты понятия и подстановки на его место неправильных чувственных представлений. А именно, он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших порядков относительно низших с образом действия геометра, измерение которым высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер снесет песчинку с ее вершины, или с пренебрежением высотой домов и башен при вычислении лунных затмений (Element. Mathes. univ., Tom I, El. Analys. math., P. II, С I, см. Schol.).
Если снисходительная справедливость (die Billigkeit) здравого человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собою напрашивается мысль, что в математической науке не идет речь о такой эмпирической точности и что математическое измерение путем ли вычислений или путем геометрических построений и доказательств совершенно отлично от землемерия, от измерения данных в опыте линий, фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики, сравнивая между собою результаты, получаемые строго геометрическим путем, с результатами, получаемыми посредством метода бесконечно малых разностей, доказывают, что они тождественны и что большая или меньшая точность здесь вовсе не имеет места. А ведь само собою понятно, что абсолютно точный результат не мог бы получиться из неточного хода действия. Однако, с другой стороны, несмотря на протесты против этого способа оправдания, никак нельзя обойтись без самого этого приема — без пренебрежения величиной на основании ее незначительности. И в этом состоит трудность, заставляющая аналитиков стараться сделать понятным и устранить заключающуюся здесь бессмыслицу.
По этому вопросу следует главным образом привести мнение Эйлера. Полагая в основание общее определение Ньютона, он настаивает на том, что диференциальное исчисление рассматривает отношения приращений некоторой величины, причем, однако, бесконечно малая разность как таковая должна быть рассматриваема совершенно как нуль (Institut Calc. different., р. I, с. III). — Как это следует понимать, видно из вышеизложенного; бесконечно малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; а как нуль по количеству, она есть лишь чистый момент отношения. Она не есть различие на некоторую величину. Но именно потому, с одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. В основании этого определения лежит предположение, что к первоначально имеющейся конечной величине нечто прибавляется или нечто от нее отнимается, что совершается некоторое вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что касается перехода от функции переменной величины к ее диференциалу, то по нему видно, что он носит совершенно другой характер, а именно, как мы уже разъяснили, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. — С другой стороны, сразу бросается в глаза, что когда говорят, что приращения суть сами по себе нули и что рассматриваются лишь их отношения, то это само по себе ошибочно, ибо нуль уже не имеет вообще никакой определенности. Это представление, стало быть, хотя и доходит до отрицания количества и определенно высказывает это отрицание, не схватывает вместе с тем последнего в его положительном значении качественных определений количества, которые, если пожелаем вырвать их из отношения и брать их как определенные количества, окажутся лишь нулями. — Лагранж (Théorie des fonct. analyt. Introd.) замечает о представлении пределов или последних отношений, что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, покуда они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями. — И в самом деле, рассудок должен пойти далее той чисто отрицательной стороны, что члены отношения суть как определенные количества нули, и понять их положительно как качественные моменты. — А то, что Эйлер (в указанном месте § 84 и сл.) прибавляет далее касательно данного им определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые якобы суть не что иное, как нули, тем не менее находятся в отношении друг к другу, и потому для их обозначения употребляется не знак нуля, а другие знаки, — не может быть признано удовлетворительным. Он хочет это обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями; в первом мы обращаем внимание на разность, во втором — на частное, и, хотя арифметическое отношение между любыми двумя нулями всегда одинаково, это не значит, что можно сказать то же самое о геометрическом отношении; если 2 : 1 = 0 : 0, то по свойству пропорции, так как первый член вдвое больше второго, третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании этой пропорции отношение 0:0 должно быть взято, как отношение 2 : 1. — Также и по обычной арифметике n × 0 = 0; следовательно, n : 1 = 0 : 0. — Однако именно потому, что 2 : 1 или n:1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
Я воздерживаюсь от дальнейшего увеличения числа приведенных взглядов, так как рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, скрыто содержится истинное понятие бесконечного, но что оно, однако, не выделено и не сформулировано во всей его определенности. Поэтому, когда высказывающие эти взгляды переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное определение понятия, а, напротив, возвращается снова конечная определенность количества, и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом. Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны, тянет эти величины вниз, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения или разности, а с другой стороны, пренебрегает ими как определенными количествами после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных величин.
Я приведу еще самое существенное о попытках геометров устранить эти затруднения.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 217; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!