Вычислимость и волновое уравнение
Непосредственно из своих уравнений Максвелл сумел вывести, что в областях пространства, где нет ни зарядов, ни токов (т. е. там, где в приведенных выше уравнениях j = 0 , ρ = 0 ) все компоненты электрического и магнитного полей должны удовлетворять так называемому волновому уравнению.[117] Волновое уравнение можно рассматривать как «упрощенный вариант» уравнений Максвелла, так как оно записано для одной-единственной величины, а не для всех шести компонент электрического и магнитного полей. Решения уравнения Даламбера дают пример волнообразного движения без дополнительных усложняющих свойств наподобие «поляризации» в теории Максвелла (направления вектора электрического поля, см. гл. 6 «Спин фотона»).
Волновое уравнение представляет сейчас для нас тем больший интерес, что оно было предметом целенаправленного изучения именно в связи с его свойствами вычислимости . Действительно, Мариану Б. Пур-Элю и Яну Ричардсу (Пур-Эль, Ричардс [1979, 1981, 1982], см. также [1989]) удалось показать, что, даже несмотря на детерминистское (в обычиом смысле) поведение решения волнового уравнения — при котором данные в начальный момент времени однозначно определяют решение во все остальные моменты времени — существуют вычислимые начальные данные некоего «особого» рода, обладающие тем свойством, что для них однозначно рассчитать значения поля в более поздний (вычислимый) момент времени — невозможно . Таким образом, уравнения вполне допустимой физической теории поля (хотя и отличающейся от теории Максвелла, которая действительно «работает» в нашем мире) могут, согласно Пур-Элю и Ричардсу, породить невычислимую эволюцию!
|
|
|
На первый взгляд это кажется весьма удивительным результатом, который вроде бы противоречит тому, о чем я говорил в предыдущем разделе относительно возможной вычислимости «разумных» гамильтоновых систем. Однако, несмотря на то, что поразительный результат Пур-Эля — Ричардса исполнен, несомненно, глубокого математического смысла, он все же не противоречит высказанной выше гипотезе — причем по причине, имеющей глубокий физический смысл. Причина же эта состоит в том, что начальные условия «особого» рода не относятся к «плавно изменяющимся»[118], а именно это свойство обычно требуется от каждого поля, имеющего физический смысл. Пур-Эль и Ричардс в действительности доказали, что невычислимость не может возникнуть в случае волнового уравнения, если мы не будем рассматривать поля «особого» рода. С другой стороны, даже если бы такие поля считались допустимыми, было бы трудно понять, как может использовать подобную «невычислимость» любое физическое «устройство» (например, головной мозг человека)? Она могла бы иметь существенное значение только при наличии возможности производить измерения со сколь угодно высокой степенью точности (которые, как я объяснял выше, нереальны с физической точки зрения). Тем не менее, результаты Пур-Эля— Ричардса открывают интригующую область знания, которая до сих пор остается практически нетронутой.
|
|
|
Уравнение движения Лоренца; убегающие частицы
Система уравнений Максвелла в том виде, как мы ее выписали, не является, на деле, полной. Эти уравнения великолепным образом описывают распространение электрических и магнитных полей при наличии заданного распределения электрических зарядов и токов. Эти заряды физически нам даны в виде заряженных частиц — в основном, электронов и протонов, как нам сейчас известно — а токи порождаются движением этих частиц. Если мы знаем, где находятся заряженные частицы и как они движутся, то уравнения Максвелла позволяют определить поведение электромагнитного поля. Но вот что уравнения Максвелла нам не говорят — это как должны себя вести сами частицы. Частичный ответ на этот вопрос был известен еще во времена Максвелла, но удовлетворительной системы уравнений не было до тех пор, пока в 1895 году замечательный голландский физик Хендрик Антон Лоренц, воспользовавшись идеями, близкими к идеям специальной теории относительности, не вывел уравнения движения заряженной частицы, известные ныне как уравнения Лоренца (см. Уиттекер [1910]). Эти уравнения позволяют описывать непрерывные изменения скорости заряженной частицы под действием электрического и магнитного полей в той точке, где она в данный момент находится[119]. Присоединив уравнения Лоренца к уравнениям Максвелла, мы получаем систему уравнений, описывающих эволюцию во времени и заряженных частиц, и электромагнитного поля.
|
|
|
Но эта система уравнений, в свою очередь, тоже не безукоризненна. Она дает превосходные результаты, если поля однородны вплоть до масштабов порядка диаметра самих частиц (за единицу измерения диаметра принимается «классический радиус» электрона — около 10-15 м), а движения частиц не слишком интенсивны. Однако здесь имеется принципиальная трудность, обойти которую при других обстоятельствах становится невозможно. Дело в том, что уравнения Лоренца подразумевают измерения электромагнитного поля в той самой точке, где находится заряженная частица (по существу, такое измерение должно дать нам значение «силы», действующей в этой точке со стороны электромагнитного поля на нашу частицу). Но где следует выбирать эту точку, если частица имеет конечные размеры? Следует ли принять за нужную точку «центр» частицы, или поле («силу») необходимо усреднить по всем точкам поверхности частицы? Если поле неоднородно в масштабе порядка размера частицы, то разный выбор точки может привести к отличающимся результатам. Есть и другая, более серьезная проблема: каково на самом деле электромагнитное поле на поверхности частицы (или в ее центре)? Напомним, что мы рассматриваем заряженную частицу. Следовательно, электромагнитное поле, обусловленное самой частицей, необходимо добавить к «фоновому полю», в котором находится частица. Вблизи самой «поверхности» частицы ее собственное поле становится чрезвычайно интенсивным и легко поглощает все остальные поля в окрестности частицы. Кроме того, собственное поле частицы всюду вокруг нее направлено преимущественно наружу (или вовнутрь), вследствие чего результирующее истинное поле, на которое по предположению реагирует частица, вовсе не однородно, а в каждой точке на «поверхности» частицы направлено в свою сторону, не говоря уже о «внутренности» частицы (рис. 5.15).
|
|
|
Рис. 5.15. Как можно строго применить уравнения движения Лоренца? Сила, действующая на заряженную частицу, не может быть получена измерением поля в точке нахождения частицы, так как здесь доминирует собственное поле частицы
Дополнительно к этому нам следует выяснить, будут ли отличающиеся по величине силы, которые действуют на частицу, стремиться повернуть или деформировать ее; а также понять, какими упругими свойствами обладает частица: и т. д. (особенно трудны вопросы возникающие в связи с теорией относительности , но я не собираюсь сейчас отвлекать на них внимание читателя). Ясно, что теперь проблема становится намного сложнее по сравнению с тем, какой она казалась нам прежде.
Возможно, нам стоило бы рассматривать частицу как материальную точку . Но такой подход приводит к проблемам другого рода, ибо в непосредственной окрестности точечной частицы ее собственное электрическое поле становится бесконечным . Если, как это следует из уравнений Лоренца, частица должна реагировать на электромагнитное поле в той точке, где она находится, то точечная частица должна испытывать действие со стороны бесконечно большого поля! Чтобы формула Лоренца для величины силы имела смысл, необходимо найти способ, который позволил бы вычитать собственное поле частицы и оставлять конечное фоновое поле, которое бы однозначно определяло поведение частицы. Такой метод был предложен в 1938 году Дираком (о котором мы еще услышим в дальнейшем). Однако решение Дирака приводило к определенным следствиям, которые не могли не вызывать тревогу. Дирак обнаружил, что для однозначного определения поведения частиц и полей исходя из соответствующих начальных данных, необходимо знать не только начальное положение и скорость каждой частицы, но и ее начальное ускорение (в контексте стандартных динамических теорий такую ситуацию нельзя не признать несколько аномальной). Для большинства значений начального ускорения частица ведет себя самым «сумасшедшим» образом, спонтанно ускоряясь в пространстве до скорости, весьма близкой к световой! Эти «убегающие решения» Дирака не соответствуют ни одному природному явлению. Необходимо найти способ, который позволил бы исключать убегающие решения и правильно выбирать начальные ускорения. Такой выбор возможен всегда, но только при условии, что мы будем пользоваться неким «априорным знанием», т. е. будем задавать начальное ускорение так, будто нам уже известно, какие решения в конце концов станут убегающими, и стараться избавляться от них. Однако в стандартной детерминистской физической задаче начальные данные задаются по-другому — произвольно и без каких-либо ограничений и требований относительно будущего поведения решений. В нашем же случае не только будущее полностью определено данными, заданными в некоторый момент времени в прошлом, но и сам способ задания этих данных весьма жестко ограничен требованием, накладываемым на будущее («допустимое») поведение частиц и полей!
Так обстоит дело, пока мы рассматриваем фундаментальные классические уравнения. Читатель легко поймет, что вопрос о детерминизме и вычислимости в законах классической физики носит раздражающе неясный характер. Действительно ли в физических законах есть телеологическая составляющая, которая заставляет будущее каким-то образом оказывать влияние на происходящее в прошлом? На самом деле, физики обычно не рассматривают подобные следствия из классической электродинамики (теории классических заряженных частиц, а также электрического и магнитного полей) как соответствующие реальности. Стандартный ответ физиков на упомянутые выше трудности сводится к утверждению, что «отдельные заряженные частицы» относятся к области квантовой электродинамики , и что нельзя ожидать получить разумные ответы на подобные вопросы, если использовать строго классическую теорию. Такое утверждение, безусловно, верно — но, как мы увидим в дальнейшем, в самой квантовой теории здесь также возникают проблемы. На самом деле, Дирак исследовал классическую задачу движения заряженной частицы именно потому , что надеялся обнаружить там какие-нибудь новые идеи, способные помочь в разрешении еще более фундаментальных трудностей, возникающих при рассмотрении (физически более адекватной) квантовой задачи. С проблемами квантовой теории нам еще придется столкнуться позднее!
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!