Правила вычисления производной алгебраической суммы, произведения и частного

Глава III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§7. Производная

1. Определение производной

Рассмотрим следующие задачи, приводящие к пониманию производной.

1) Проведение касательной к кривой на плоскости

Пусть на плоскости β дана некоторая непрерывная кривая L. Возьмем на ней некоторую фиксированную точку М₀. Если М₁≠М₀, М₁ ∋ L - секущая. Будем перемещать М₁ вдоль L так, чтобы М₁ стремилась к совпадению с М₀. Секущая будет менять свое положение в зависимости от положения М₁. Предельное положение секущей М₀М₁ (если оно существует) при М₁→М₀ называется касательной к кривой L в точке М₀.

Пусть кривая L задана в системе координат хОу уравнением . .

Найдем угловой коэффициент секущей М₀М₁: из ∆М₀КМ₁: зависит только от ∆х. Т.к. М₁→М₀ ~ ∆х→0, угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой L в точке М₀(х₀,у₀), получим предельным переходом при ∆х→0, т.е. , если этот предел существует и конечен.

2) Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки

- уравнение движения точки и - путь, пройденный точкой до фиксированного момента . Найдем путь, пройденный точкой за время : .

Средней скоростью ϑ_ср прямолинейного движения за время ∆t наз-ся отношение пройденного пути к затраченному времени: . Если существует предел ϑ_ср при ∆t→0, он называется мгновенной скоростью в момент t₀: .

3) Нахождение производительности труда

Пусть известна функция u=u(t), выражающая количество произведенной продукции и за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время

Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. .

Производительностью труда рабочего в момент t₀ называется предел, к которому стремится z_cp при .

Сопоставляя рассмотренные задачи, видим, что во всех случаях выполняются аналогичные действия. Дадим опр-е производной.

Опр.7.1: Пусть дана функция Выберем некоторую точку х₀∈Х и найдем . Дадим х₀ приращение так, чтобы которое зависит только от ∆х. Найдем отношение ∆у/∆х. Перейдем к пределу при ∆х→0, т.е. найдем . Если этот предел отношения приращения функции ∆у к соответствующему приращению аргумента ∆х при ∆х→0, (∆х≠0) ∃ и конечен, он называется производной функции в точке х₀.

Т.о., в задаче (1) нахождения условного коэффициента касательной к кривой в точке М₀(х₀,у₀) сводится к нахождению

Получили геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной в точке х=х₀ есть производная ф-ии у по аргументу х.

Из (2) задачи следует механический смысл производной: мгновенная скорость в момент времени t₀ есть производная ф-ии пути по времени

В (3) задаче вычисление производной производительности труда рабочего в момент времени t₀ сводится к вычислению производной ф-ии кол-ва произведенной продукции по времени:

Пример: Найти производные:

1) . Для ∆х≠0

; ;

Т.о., значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

2. Понятие дифференцируемости функции

Опр.7.2: Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение ∆у в этой точке можно представить в виде (*) где - б.м. при , т.е.

Теорема 7.1: (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке х₀ чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Т.о., для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной – равносильные понятия, поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Теорема 7.2: (связь дифференцируемости и непрерывности функции)

Если функция определена на Х и в точке х₀∈Х имеет конечную производную , то непрерывна в точке х₀.

Следствие: в точках разрыва функции производная не существует.

3. Односторонние и бесконечные производные

В определении производной предполагалось, что предел и конечен. Но эти условия не всегда выполняются. Предел в некоторых точках может не существовать, а может быть бесконечным.

Определение 7.3

Односторонними производными называется и если они существуют. По аналогии с односторонними пределами их называют правой и левой производными и обозначают соответственно f’(x₀+0) и f’(x₀-0).

Очевидно, что если в точке х₀ существует производная, то существует и односторонние производные и они равны между собой.

Определение 7.4

Если , то производная называется бесконечной

n-4.Производная сложной и обратной функции

Теорема 7.3 (производная сложной функции). Если функция u= имеет в некоторой точке х₀ производную , а функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u₀= производную , то сложная функция y=f( ) имеет производную в точке х₀

Теорема 7.4 (производная обратной функции)

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и в точке х₀ имеет обратную производную f’(x₀) 0. Тогда обратная функция x=g(y) в точке у₀ также имеет конечную производную, равную .

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х₀ произвольную y=f(x) (или обратную функции x=g(y)). Пусть точке х₀ на этом графике соответствует точка M. f’(x₀)=tg , т.е. tg угла наклона касательной, проходящей между точкой М, к оси Ох. Производная обратной функции g’(y₀) равна tg угла наклона той же касательной к оси Оу. Т.к. .

Правила вычисления производной алгебраической суммы, произведения и частного

1) Пусть функция y=f(x) имеет производную y’ в точке х₀,тогда функция u=cy, c=const имеет производную в точке х₀, а именно: u’=cy’

2) Пусть функции u= и v=f(x) имеют в точке конечные производные u’(x₀) и v’(x₀), тогда функцияy=u имеет в точке х₀ производную y’=u’ ’.

3) Пусть функции uи vимеют в точке х₀ конечные производные u’(x₀), v’(x₀) и y=uv. Тогда существует производная y’(x₀) и y’=u’v+v’u

4) Пусть u и v имеют в точке х₀ конечные производные u’(x₀), v’(x₀) , y= , тогда существует y’(x₀) иy’= .

5) Логарифмическая производная

Пусть даны функции u= определены на Х и имеющие производные u’(x₀) и v’(x₀) в точке х₀ Х, тогда сложная функция y=( ^f⁽^x⁾тоже имеет производную. Т.к. по условию, y можно прологарифмировать lny=f(x)ln . Дифференцируя и приравнивая части получим

Дифференциал

n-1. Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 8.1. Пусть дана функция y=f(x), определенная на множестве Х, и в точке х₀ Х существует y’(x₀). Тогда по определению производной , а по определению предела ,

Если y можно представить в виде y=А x+ , где А 0, то величина А , линейная относительно ,называется дифференциалом функции y=f(x) в точке х₀, т.е. dy=A . Если А существует, то функция называется дифференцируемой.

Определение 8.2

Любое приращение такое, что (х+ Х, принимается за дифференциал независимой переменной, тогда

Таким образом, dy=Adx

Определение 8.3

Если , т.е. А=0, то будем считать, что дифференциал существует и dy=0. В этом случае f’(x₀)=0 и функция дифференцируема. Таким образом dy= =f’(x₀)dx

Если функция y=f(x) дифференцируема, то dy и –б.м. при 0

Определение 8.4

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная, линейная относительно , часть приращений функции А при А 0, т.е. dy=Adx и dy=0 при А=0.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала

Пусть кривая L задана уравнением y=f(x) и функция y=f(x) в точке х₀ имеет конечную производную y’=f’(x₀). К кривой Lчерез точку M₀ (x₀,y₀) проведем касательную М₀Т, которая в этом случае существует.

Дадим аргументу х приращение =dx, найдем и возьмем точку M₁ (х₀+ ,у₀+ ). Из M₀B:

АВ=АМ₀tg = =y’ =dy

Дифференциал функции в точке х₀ – это приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.

Таким образом, y’= , т.е. производная – это отношение дифференциала ыункци к дифференциалу аргумента. dy зависит от dxи изменяется пропорционально ему, y’(x) – коэффициент пропорциональности.

Пусть y=f(x), x X, dy=y’(x)dx. Рассмотрим сложную функцию y=F(x)=f( (u)), где y=f(u), u= (x), x X, причем u= (x) и u=f(u) дифференцируемы соответственно в точках х и u= (x). Тогдаdy=F’(x)dx, но F’(x)= , а т.к. , то dy=

Таким образом форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Из инвариантности следует, что, хотя dy= (x- независимая переменная), а dy= (u=u(x) –функция), запись их одинакова, но сущность этих формул различна. Dx задается произвольно, du задать произвольно нельзя; du нужно вычислять по формуле дифференциала du=u’dx. Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.

n-2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

По определению dy 0 при условии, что . главная часть приращения функции , т.е. или f(x₀+ ) - f(x₀) - y’(x₀)dx = =>f(x₀+ ) f(x₀) +f’(x₀)dx

Относительная погрешность при этом при 0 становится сколь угодно малой.

Если =х-х₀, х=х₀+ , f(x) f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) –уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀, т.е. мы приблизительно заменяем участок кривой y=f(x) отрезком касательной.

Если х₀=0, то f(x) f(0)+f’(0)x. Для 1некоторых элементарных функций имеем: , ,

Основной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функций следующий: пусть необходимо для х Х вычислить значение функции y=f(x), но этого сделать сразу нельзя, тогда вблизи х ищем значение х₀, такое, чтобы f(x₀) и f’(x₀) легко находилось.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 378; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!