Правила вычисления производной алгебраической суммы, произведения и частного
Глава III. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
§7. Производная
1. Определение производной
Рассмотрим следующие задачи, приводящие к пониманию производной.
1) Проведение касательной к кривой на плоскости
Пусть на плоскости β дана некоторая непрерывная кривая L. Возьмем на ней некоторую фиксированную точку М0. Если М1≠М0, М1 ∋ L - секущая. Будем перемещать М1 вдоль L так, чтобы М1 стремилась к совпадению с М0. Секущая будет менять свое положение в зависимости от положения М1. Предельное положение секущей М0М1 (если оно существует) при М1→М0 называется касательной к кривой L в точке М0.
Пусть кривая L задана в системе координат хОу уравнением . .
Найдем угловой коэффициент секущей М0М1: из ∆М0КМ1: зависит только от ∆х. Т.к. М1→М0 ~ ∆х→0, угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой L в точке М0(х0,у0), получим предельным переходом при ∆х→0, т.е. , если этот предел существует и конечен.
2) Нахождение мгновенной скорости прямолинейно движущейся точки
- уравнение движения точки и - путь, пройденный точкой до фиксированного момента . Найдем путь, пройденный точкой за время : .
Средней скоростью ϑср прямолинейного движения за время ∆t наз-ся отношение пройденного пути к затраченному времени: . Если существует предел ϑср при ∆t→0, он называется мгновенной скоростью в момент t0: .
3) Нахождение производительности труда
|
|
Пусть известна функция u=u(t), выражающая количество произведенной продукции и за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время
Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. .
Производительностью труда рабочего в момент t0 называется предел, к которому стремится zcp при .
Сопоставляя рассмотренные задачи, видим, что во всех случаях выполняются аналогичные действия. Дадим опр-е производной.
Опр.7.1: Пусть дана функция Выберем некоторую точку х0∈Х и найдем . Дадим х0 приращение так, чтобы которое зависит только от ∆х. Найдем отношение ∆у/∆х. Перейдем к пределу при ∆х→0, т.е. найдем . Если этот предел отношения приращения функции ∆у к соответствующему приращению аргумента ∆х при ∆х→0, (∆х≠0) ∃ и конечен, он называется производной функции в точке х0.
Т.о., в задаче (1) нахождения условного коэффициента касательной к кривой в точке М0(х0,у0) сводится к нахождению
Получили геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной в точке х=х0 есть производная ф-ии у по аргументу х.
Из (2) задачи следует механический смысл производной: мгновенная скорость в момент времени t0 есть производная ф-ии пути по времени
|
|
В (3) задаче вычисление производной производительности труда рабочего в момент времени t0 сводится к вычислению производной ф-ии кол-ва произведенной продукции по времени:
Пример: Найти производные:
1) . Для ∆х≠0
2)
; ;
Т.о., значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.
2. Понятие дифференцируемости функции
Опр.7.2: Функция называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение ∆у в этой точке можно представить в виде (*) где - б.м. при , т.е.
Теорема 7.1: (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции)
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке х0 чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Т.о., для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной – равносильные понятия, поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Теорема 7.2: (связь дифференцируемости и непрерывности функции)
Если функция определена на Х и в точке х0∈Х имеет конечную производную , то непрерывна в точке х0.
|
|
Следствие: в точках разрыва функции производная не существует.
3. Односторонние и бесконечные производные
В определении производной предполагалось, что предел и конечен. Но эти условия не всегда выполняются. Предел в некоторых точках может не существовать, а может быть бесконечным.
Определение 7.3
Односторонними производными называется и если они существуют. По аналогии с односторонними пределами их называют правой и левой производными и обозначают соответственно f’(x0+0) и f’(x0-0).
Очевидно, что если в точке х0 существует производная, то существует и односторонние производные и они равны между собой.
Определение 7.4
Если , то производная называется бесконечной
n-4.Производная сложной и обратной функции
Теорема 7.3 (производная сложной функции). Если функция u= имеет в некоторой точке х0 производную , а функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u0= производную , то сложная функция y=f( ) имеет производную в точке х0
Теорема 7.4 (производная обратной функции)
Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании обратной функции и в точке х0 имеет обратную производную f’(x0) 0. Тогда обратная функция x=g(y) в точке у0 также имеет конечную производную, равную .
|
|
Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х0 произвольную y=f(x) (или обратную функции x=g(y)). Пусть точке х0 на этом графике соответствует точка M. f’(x0)=tg , т.е. tg угла наклона касательной, проходящей между точкой М, к оси Ох. Производная обратной функции g’(y0) равна tg угла наклона той же касательной к оси Оу. Т.к. .
Правила вычисления производной алгебраической суммы, произведения и частного
1) Пусть функция y=f(x) имеет производную y’ в точке х0,тогда функция u=cy, c=const имеет производную в точке х0, а именно: u’=cy’
2) Пусть функции u= и v=f(x) имеют в точке конечные производные u’(x0) и v’(x0), тогда функцияy=u имеет в точке х0 производную y’=u’ ’.
3) Пусть функции uи vимеют в точке х0 конечные производные u’(x0), v’(x0) и y=uv. Тогда существует производная y’(x0) и y’=u’v+v’u
4) Пусть u и v имеют в точке х0 конечные производные u’(x0), v’(x0) , y= , тогда существует y’(x0) иy’= .
5) Логарифмическая производная
Пусть даны функции u= определены на Х и имеющие производные u’(x0) и v’(x0) в точке х0 Х, тогда сложная функция y=( f(x)тоже имеет производную. Т.к. по условию, y можно прологарифмировать lny=f(x)ln . Дифференцируя и приравнивая части получим
Дифференциал
n-1. Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 8.1. Пусть дана функция y=f(x), определенная на множестве Х, и в точке х0 Х существует y’(x0). Тогда по определению производной , а по определению предела ,
Если y можно представить в виде y=А x+ , где А 0, то величина А , линейная относительно ,называется дифференциалом функции y=f(x) в точке х0, т.е. dy=A . Если А существует, то функция называется дифференцируемой.
Определение 8.2
Любое приращение такое, что (х+ Х, принимается за дифференциал независимой переменной, тогда
Таким образом, dy=Adx
Определение 8.3
Если , т.е. А=0, то будем считать, что дифференциал существует и dy=0. В этом случае f’(x0)=0 и функция дифференцируема. Таким образом dy= =f’(x0)dx
Если функция y=f(x) дифференцируема, то dy и –б.м. при 0
Определение 8.4
Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная, линейная относительно , часть приращений функции А при А 0, т.е. dy=Adx и dy=0 при А=0.
Рассмотрим геометрический смысл дифференциала
Пусть кривая L задана уравнением y=f(x) и функция y=f(x) в точке х0 имеет конечную производную y’=f’(x0). К кривой Lчерез точку M0 (x0,y0) проведем касательную М0Т, которая в этом случае существует.
Дадим аргументу х приращение =dx, найдем и возьмем точку M1 (х0+ ,у0+ ). Из M0B:
АВ=АМ0tg = =y’ =dy
Дифференциал функции в точке х0 – это приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.
Таким образом, y’= , т.е. производная – это отношение дифференциала ыункци к дифференциалу аргумента. dy зависит от dxи изменяется пропорционально ему, y’(x) – коэффициент пропорциональности.
Пусть y=f(x), x X, dy=y’(x)dx. Рассмотрим сложную функцию y=F(x)=f( (u)), где y=f(u), u= (x), x X, причем u= (x) и u=f(u) дифференцируемы соответственно в точках х и u= (x). Тогдаdy=F’(x)dx, но F’(x)= , а т.к. , то dy=
Таким образом форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.
Из инвариантности следует, что, хотя dy= (x- независимая переменная), а dy= (u=u(x) –функция), запись их одинакова, но сущность этих формул различна. Dx задается произвольно, du задать произвольно нельзя; du нужно вычислять по формуле дифференциала du=u’dx. Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.
n-2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
По определению dy 0 при условии, что . главная часть приращения функции , т.е. или f(x0+ ) - f(x0) - y’(x0)dx = =>f(x0+ ) f(x0) +f’(x0)dx
Относительная погрешность при этом при 0 становится сколь угодно малой.
Если =х-х0, х=х0+ , f(x) f(x0)+f’(x0)(x-x0) –уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е. мы приблизительно заменяем участок кривой y=f(x) отрезком касательной.
Если х0=0, то f(x) f(0)+f’(0)x. Для 1некоторых элементарных функций имеем: , ,
Основной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функций следующий: пусть необходимо для х Х вычислить значение функции y=f(x), но этого сделать сразу нельзя, тогда вблизи х ищем значение х0, такое, чтобы f(x0) и f’(x0) легко находилось.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 372; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!