Точки экстремума функции двух переменных. Необходимый признак экстремума (доказательство), формулировка достаточного признака экстремума функции двух переменных.

Определение функции двух переменных

Предел функции z=f(x,y) вточке (x0,y0)

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

либо , или же другой стандартной буквой:

Частные приращения функции двух переменных, их геом смысл

Частные производные

Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const),

(где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной, считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Полное приращение функции двух переменных

Непрерывность функции двух переменных в точке (опр)

Непрерывность функции двух переменных в ограниченной замкнутой области

Свойства функции непрерывных в ограниченной замкнутой области

Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z = f ( x ,y ) определена в точке M₀(x₀y₀) и её окрестности. Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M₀(x₀y₀), если её общий предел в этой точке равен значению данной функции в данной точке:

Если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M₀(x₀y₀), то

Поскольку

То есть, если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M₀(x₀y₀), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔzфункции z.

Определение дифференцируемой функции двух переменных

Определение полного дифференциала функции двух переменных

Необходимые условия дифференцируемости (с выводом)

Формулировка достаточного условия дифференцируемости

§ 4. Дифференцируемость функции
нескольких переменных

Дифференцируемые функции нескольких переменных.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой открытой области плоскости , – точка области . Придавая переменным приращения и , перейдем из точки в какую-нибудь точку той же области. При этом функция получит приращение

В отличие от частных приращений и это приращение называется полным приращениемфункции в точке , соответствующим приращениям и независимых переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемойв точке если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде

, (4.1)

где – некоторые числа, – бесконечно малые при , (или, короче при ).

Замечание. Функции и зависят от .

Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этойобласти.

Соотношение (4.1) можно записать и в более сжатой форме:

(4.2)

где , – бесконечно малая при .

Слагаемое , линейное относительно и , является главной частью приращения, так как оставшееся слагаемое (или , если используется формула (4.2)) есть бесконечно малая более высокого порядка чем и .

Дифференцируемость функции нескольких переменных

Теорема 1 (связь дифференцируемости и непрерывности). Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

►Действительно, поопределениюфункции, дифференцируемойвточке , ее приращение представимо в виде

где ; ; , – некоторые числа, не зависящие от и . Следовательно,

а это означает, что функция непрерывна в точке . ◄

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемостифункции нескольких переменных). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем , .

►Пустьфункция дифференцируема в точке , тогда ее приращение представимо в виде (1). Положив в формуле (1) , имеем . Разделив это равенство на и перейдя к пределу при , получим

Следовательно, в точке существует частная производная .

Аналогично доказывается существование частной производной в точке . ◄

Замечание. Утверждения, обратные утверждениям теорем 1 и 2 неверны, т.е. из непрерывности функции, а также существования ее частных производных, еще не следует дифференцируемость функции.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в точке .

сложная функция двух переменных

Пусть – функция двух переменных и , каждая из которых является функцией независимой переменной : . В этом случае функция является сложной функцией одной независимой переменной ; переменные и – промежуточные переменные.

Теорема. Если – дифференцируемая в точке функция и – дифференцируемые функции независимой переменной , то производная сложной функции вычисляется по формуле

. (1)

Частный случай: , где , т.е. – сложная функция одной независимой переменной . Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . Согласно формуле (1) имеем:

или

. (2)

Формула (2) носит название формулы полной производной.

Общий случай: , где , . Тогда – сложная функция независимых переменных и . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (1) следующим образом. Зафиксировав , заменяем в ней соответствующими частными производными :

(3)

Аналогично получаем:

Таким образом, производная сложной функции ( ) по каждой независимой переменной ( и ) равна сумме произведений частных производных этой функции ( ) по ее промежуточным переменным ( и ) на их производные по соответствующей независимой переменной ( и ).

неявная функция двух переменных

вывод правила дифференцирования неявной функции

Функция называется неявной, если она задается уравнением

, (11)

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (11). Для этого, подставив в уравнением вместо z функцию получим тождество . Частные производные по х и по уфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

(12)

Замечания.

а) Уравнение вида (11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение определяет функции и , определенные в круге , и определенную в полукруге при и т. д., а уравнение не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных:

если функция и её производные и , определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , причем , а , то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение (11) определяет единственную функцию , непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки и такую, что .

б) Неявная функция одной переменной задается уравнением . Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Частные производные высших порядков

Теорема о смешанных производных

Определения касательной плоскости и нормали к поверхности

Теорема о существовании касательной плоскости (с доказательством)

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Точки экстремума функции двух переменных. Необходимый признак экстремума (доказательство), формулировка достаточного признака экстремума функции двух переменных.

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой области G и точкаP0(x0,y0) принадлежит G.

Функция z=f(x,y) имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от P0, выполняется неравенство f(P0)›f(P) (f(P0)‹f(P)).

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку P0(x0,y0) , функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и =0 . Обозначим: ∆(P₀) = . Тогда