Свойства пределов функций (локазать одну теорему).
Последовательность, ее предел. Свойства, арифметические действия над пределами
Последовательностей (доказать одну из теорем).
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого a(n) задается как функция целочисленного аргумента
В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.
Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Расширенное правило суммы
Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):
Расширенное правило произведения
Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Предел степенной функции
где степень p - действительное число. В частности,
Если f ( x ) = x, то
Предел показательной функции
где основание a > 0.
Предел логарифмической функции
|
|
|
где основание a > 0.
Теорема "о двух милиционерах"
Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если
тоТо есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.
Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1: Если последовательность сходится, то к одному пределу. Пусть последовательность (xn) сходится. Предположим, что ее предел не является единственным, т.е. что одновременно верны равенства lim xn =b и lim xn = c, где bc. Воспользуемся определением «на языке бесконечно малых ». Равенство lim xn =b означает, что xn = b+an, а равенство lim xn = c – что xn=c+bn где an и bn – бесконечно малые последовательности. Тогда b+an=c+bn, откуда an-bn=c-b. Но последовательность (an-bn)- бесконечно малая; значит, стационарная последовательность (c-b) является бесконечно малой, а это возможно лишь в случае, когда c=b, что противоречит условию.
Теорема 2: Если последовательность сходится, то она ограничена.
Пусть lim xn = b. Воспользуемся определением «на языке бесконечно малых ». Имеем xn=b+an, где (an) – бесконечно малая последовательность. Стационарная последовательность (b) и бесконечно малая последовательность (an) являются ограниченными, тогда и их сумма также ограничена.
|
|
|
Теорема 3: (о предельном переходе в неравенствах).
Если последовательности (xn) и (yn) сходятся и xn?yn для всех n,
то lim xn? lim yn.
Пустьlim xn = b, lim yn = c. Воспользуемся определением «на языке e-N». Предположим противное, что b>c. Выберем e>0 так, чтобы выполнялось неравенство c+e<b-e. Поскольку lim xn = b, существует номер N1, начиная с которого выполняется неравенство |xn-b|<e, или, что то же самое, b-e<xn<b+e. Аналогично, так как lim yn = c, то существует N2, начиная с которого выполняется неравенство |yn-c|<e, или, что то же самое, c-e<yn<c+e. Обозначим наибольшее из чисел N1 , N2 через N. Тогда при n?N будут выполнены неравенства b-e<xn<b+e и c-e<yn<c+e. Поэтому yn<c+e<b-e<xn, т.е. xn>yn , что противоречит условию xn?yn для всех n. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, b?c.
Следствие 1: Если все члены сходящейся последовательности неотрицательны, то предел последовательности есть неотрицательное число.
Следствие 2: Если все члены сходящейся последовательности неположительны, то предел последовательности есть неположительное число.
Теорема 4: Если lim xn = lim zn = b и для всех n справедливо неравенство xn?yn?zn, то lim yn = b.
|
|
|
З. Предел функции, разные определения, геометрический смысл.
Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x0 (или при х® хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А
Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).
Число А называется пределом функции в точке хо (или при х→хо), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹хо, удовлетворяющих неравенству |х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Геометрический смысл предела функции:
если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки хо, что для всех х¹хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).
|
|
|
Свойства пределов функций (локазать одну теорему).
1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функцийРасширенное свойство предела суммы
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3. Предел произведения функции на постоянную величину. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 385; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!