Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ранг матрицы равен k. Тогда в любом миноре порядка k + 1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки, а значит, все такие миноры равны нулю. Далее, в матрице имеется базисная совокупность из k строк и базисная совокупность из k столбцов. Рассмотрим субматрицу, образованную элементами из этих строк и столбцов. Ее строки линейно независимы, так как в противном случае по лемме 1.4 соответствующие полные строки исходной матрицы были бы линейно зависимы. Следовательно, определитель порядка k так выбранной субматрицы отличен от нуля.
Определение ранга матрицы с помощью элементарных
Преобразований.
Любая матрица за счет элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную матрицу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если матрица не нулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановок строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол матрицы. Итак, пусть матрица имеет вид
A11 a12 . . . a1n
A21 a22 . . . a2n причем a11 не равно 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Am1 am2 . . . amn
Выполним следующие элементарные преобразования: ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на −a21/a11, к третьей прибавим первую, умноженную на −a31/a11 и т. д. После этих преобразований получим матрицу
|
|
|
A11 a12 . . . a1n
0 a′22 . . . a′2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 a′m2 . . . a′mn
Если матрица a′
22 . . . a′2n
. . . . . . . . . . . . .
a′m2 . . . a′mn
является нулевой, то процесс окончен. Если эта матрица ненулевая, то сначала за счет перестановок строк и столбцов добьемся того, чтобы элемент в позиции a′22 стал отличен от нуля. Затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на −a′32/a′22 и т. д. Получим матрицу
A11 a12 a13 . . . a1n
0 a′22 a′23 . . . a′2n
0 0 a′′33 . . . a′′3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 a′′m3 . . . a′′mn
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не исчерпаем все строки или не придем к очередной матрице, равной нулевой матрице. В результате получим трапециевидную матрицу.
Строение множества решений системы линейных одно-
Родных уравнений.
Все решения линейной однородной системы уравнений являются линейными комбинациями линейно независимых n − r решений этой системы, где n - число неизвестных, r - ранг матрицы коэффициентов
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем систему в форме x1*u1 + x2*u2 + . . . + xn*un = 0, где u1, u2, . . . , un - столбцы матрицы коэффициентов. Среди них имеется базис из r столбцов. Для удобства записи будем считать, что это u1, u2, . . . , ur, иначе можно изменить нумерацию неизвестных системы и, вместе с ними, нумерацию столбцов. Итак, пусть столбцы ur+1, ur+2, . . . , un являются линейными комбинациями столбцов u1, u2, . . . , ur , т. е.
|
|
|
ur+1 = br+1,1u1 + br+1,2u2 + . . . + br+1,r ur,
ur+2 = br+2,1u1 + br+2,2u2 + . . . + br+2,r ur,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un = bn1u1 + bn2u2 + . . . + bnr ur,
Перепишем эти соотношения в виде:
br+1,1u1 + br+1,2u2 + . . . + br+1,r ur − ur+1 = 0,
br+2,1u1 + br+2,2u2 + . . . + br+2,r ur − ur+2 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
bn1u1 + bn2u2 + . . . + bnr ur − un = 0.
Отсюда следует, что столбцы
zr+1 = (br+1,1, br+1,2, . . . , br+1,r, −1 , 0, . . . , 0)^T
zr+2 = (br+2,1, br+2,2, . . . , br+2,r, 0, −1, . . . , 0)^T
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zn = (bn,1, bn,2, . . . , bn,r, 0, 0, . . . , −1)^T
Являются решениями системы.
Эти столбцы линейно независимы. Действительно, пусть
cr+1*zr+1 + cr+2*zr+2 + . . . + cn*zn = 0. … следовательно cr+1 = 0 , cr+2 = 0 , . . . , cn = 0
Пусть
x = (x’1, . . . , x’r , x’r+1, . . . , x'n)
еще какое-нибудь решение системы. Тогда y = x + x’r+1zr+1 + . . . + x’n*zn тоже является решением системы. В этом решении все компоненты, начиная с (r + 1) -ой, равны нулю. Следовательно, и все остальные компоненты равны нулю, так как столбцы u1, u2, . . . , ur линейно независимы. (В противном случае, y’1 ,y’2 , . . . , y’r - числа, не равные одновременно нулю и такие, что y’1 u1 + y’2 u2 + . . . + y’r*ur = 0.) Итак, y = 0 , т. е. x = −x’r+1*zr+1 − . . . – x’n*zn. Таким образом, zr+1, . . . , zn - такие линейно независимые решения, что все решения системы являются их линейными комбинациями.
|
|
|
7. Теорема Кронекера-Капелли.
Для того чтобы система линейных уравнений была совместной (т. е. имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем систему в виде
x1 u1 + x2 u2 + . . . + xn un = b, где u1, u2, . . . , un столбцы матрицы коэффициентов и b - столбец свободных членов.
Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы столбец b был линейной комбинацией столбцов u1, u2, . . . , un. Для этого равенство рангов необходимо (это очевидно) и достаточно. Действительно, если ранги одинаковы, то базис для системы столбцов u1, u2, . . . , un будет базисом и для системы столбцов u1, u2, . . . , un, b , так что b есть линейная комбинация базисных столбцов для множества столбцов u1, u2, . . . , un
Строение множества решений системы линейных неод-
нородных уравнений.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 251; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!