Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ранг матрицы равен k. Тогда в любом миноре порядка k + 1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки, а значит, все такие миноры равны нулю. Далее, в матрице имеется базисная совокупность из k строк и базисная совокупность из k столбцов. Рассмотрим субматрицу, образованную элементами из этих строк и столбцов. Ее строки линейно независимы, так как в противном случае по лемме 1.4 соответствующие полные строки исходной матрицы были бы линейно зависимы. Следовательно, определитель порядка k так выбранной субматрицы отличен от нуля.
Определение ранга матрицы с помощью элементарных
преобразований.
Любая матрица за счет элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную матрицу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если матрица не нулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановок строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол матрицы. Итак, пусть матрица имеет вид
A11 a12 . . . a1n
A21 a22 . . . a2n причем a11 не равно 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Am1 am2 . . . amn
Выполним следующие элементарные преобразования: ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на −a21/a11, к третьей прибавим первую, умноженную на −a31/a11 и т. д. После этих преобразований получим матрицу
|
|
|
A11 a12 . . . a1n
0 a′22 . . . a′2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 a′m2 . . . a′mn
Если матрица a′
22 . . . a′2n
. . . . . . . . . . . . .
a′m2 . . . a′mn
является нулевой, то процесс окончен. Если эта матрица ненулевая, то сначала за счет перестановок строк и столбцов добьемся того, чтобы элемент в позиции a′22 стал отличен от нуля. Затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на −a′32/a′22 и т. д. Получим матрицу
A11 a12 a13 . . . a1n
0 a′22 a′23 . . . a′2n
0 0 a′′33 . . . a′′3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 a′′m3 . . . a′′mn
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не исчерпаем все строки или не придем к очередной матрице, равной нулевой матрице. В результате получим трапециевидную матрицу.
Строение множества решений системы линейных одно-
Родных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли.
Строение множества решений системы линейных неод-
Нородных уравнений.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 141; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!