Мектепте иррационал сандарды енгізу методикасы

МОМ пәні және оның міндеттері Математиканы оқытудың әдістемесі курсын оқыту болашақ математика мұғалім/ң кәсіптік-педагог/қ дайындығын нығайтып, алған теор/қ білімінің аясын кеңейту. Орта мектептегі математика пәндерінің ғылыми негіздерін жан-жақты ашып, матем/қ ұғымдарды қалыптастыру мен матем/ғы жалпы заңдардың мазмұнын ашып, оны есептер шығаруда тиімді қолдануға дағдыландыру. Математика пәні б/ша алдында оқытылған пәнд/ң жалғасы байл/сы ретінде оқытылады. Студент математика пәнінің мұғалімі мамандығын меңгере отырып, ҚР-ң конституциясын; ҚР-ның заңдарын, ҚР-ның Үкіметінің шешімімен және Білім министрл/ң білімге қатысты заңдары; баланың құқығы жөнінде; педагогика, психология, жасөспірімдер физиологиясын, мектеп гигиенасын, кәсіби қызметінің технологиясын, математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесін, оқу бағдарламаларын және оқулықтарды; оқу кабинеттерін жабдықтауға және қойылатын талаптарды; оқытудың құралдары мен олардың дидактикалық мүмкіншіліктерін; математиканың тарихы, оның келешегі даму перспективасын, матем/қ білім мен педаг/қ ғылым тарихын, балалар денсаулығы, техн/қ қауіпсіздік шараларын еңбек нормасын және оның қорғау ережелерін білуге тиісті. Жоғарыдағы айтылған курс студенттерге осы міндеттердің кейбіреуін іске асыру жөнінде бағыт бағдар береді.Болашақ математика пәнінің мұғалімдеріне «Математиканы оқытудың теориялық негіздері мен әдістемесі» курсын оқу нәтижесінде:- оқытудың жалпы заңдылықтарын, мақсаттары мен мазмұнын, әдіс-тәсілдерін, методикалық зерттеулерді;- оқытудың техн/қ және электрондық құралдарын оқу процесінде пайдалану әдістемесін, oқуш/ды оқу ісіне қызықтыру тәсілдерін;- педагогика ғылымы мен педаг/қ озат тәжірибе жетістіктерін мектеп іс-тәжірибесіне батыл енгізу тәсілдері.- есеп шығарудың әртүрлі әдістері мен тәсілдерін және оларды оқушыларға меңгертудің жолдарын; - математика оқулықтарын тереңдетіп оқуды, мектеп оқу бағдарламаларымен оқулықтар/ғы әдістем/к идеяларды түсінуіді; - оқу және тәрбие жұмыстарын өткізуге практ/қ нашықтарын қалыптастыруды игеруі тиіс. Математиканы оқыту әдістемесі жалпы алғанда өзара тығыз байланысты үщ салаға жауап іздейді. Олар:Математиканы не үшін оқыту керек?Нені қандай тәртіппен,ретпен оқыту керек?Математиканы қалай оқыту керек 2. МОМ-ның басқа ғылымдармен байланыстары 1)МОМ математика ғылымымен тығыз байланысты. Себебі, ол мектеп математикасының мазмұнын анықтауда шешуші роль атқарады. Мәселен, математикалық білімнің мазмұнын кемелдендіру міндеттерінің бірі – мектепте математика ғылымының қазіргі деңгейін неғұрлым толық көрсету. Мектепте алгебра, геометрия, алгебра және анализ бастамалары оқытылады, бұл математика ғылымының құрылымына сай келеді. Шынында, қазіргі мектеп математикасында функция, туынды, интеграл, геометриялық түрлендірулер, арифметика мен геометрияны алгебраландыру, есептеу математикасының элементтері сияқты тың тараулар орын алған. Математика ғылымы зерттеу арқылы ақиқат дүниенің кеңістіктік формалары мен сандық қатынастары, математикалық құрылымдар мен олардың модельдері жайында жаңа мәліметтер алады. Ал мектеп математикасы математика ғылымы ашқан фактілер мен заңдар негіздерін оқушыға жеткізеді. Методика ғылым негіздерінің неғұрлым маңызды элементтерін, оқып үйрену объектілерін дұрыс таңдауға, оқу материалдарын неғұрлым түсінікті және еске сақтауға оңай түрде және ұтымды сабақтастықта баяндауға көмектеседі. 2)Математика тарихы мектеп математикасының жекелеген тарауларын оқытқанда оның даму жолы мен заңдылықтарын, математиканың бізді қоршап тұрған ортамен байланысын, әртүрлі математикалық теориялардың өмір талаптарынан шыққандығын нақты фактілермен көрсетуге мүмкіндік береді. Сондықтан сабақ үстінде және кластан тыс жұмыстарда математика тарихына қысқаша шолу жасау оқушылардың пәнге ынтасын арттырумен бірге, практикалық маңызын да көрсетеді. 3)Дидактика – барлық оқу пәндері методикасының ғылыми негізін құрайды. Математиканы оқыту методикасы дидактиканың заңдары мен принциптеріне сәйкес дамиды. 4)МОМ педагогика ғылымының бір саласы болып есептелетін жалпы және жас ерекшелік психологиясымен тығыз байланыста болады. Оқыту және тәрбиелеу процесі оқушылардың жас ерекшеліктеріне қарай жүргізілгенде ғана дұрыс болмақ. Сондықтан балалардың психологиясының заңдылықтарын жете білу, оқыту мен тәрбиелеудің неғұрлым тиімді түрлері мен жолдарын табуға көмектеседі. 5)Математика методикасының ғылым және пән ретінде дамуына логиканың әсері мол. Логиканың заңдары мектеп математикасының ұғымдарының жүйесін құру кезінде, оқыту құралдары жүйесін жасағанда кеңінен қолданылады. 6)Жоғары жүйке қызметі физиологиясы, әсіресе И.П.Павловтың шартты рефлекс жайындағы ілімі, математиканы оқыту процесінде қолданылады. Мәселен, ұғымдарға анықтама беру, теоремаларды дәлелдеу, есеп шығару сияқты әрекеттерге оқушыларды саналы, жүйелі түрде ұдайы машықтандырса, олар шартты рефлекске айналады.   3. Жалпы білім беретін мектептерде математиканы оқытудың маңызы мен мақсаттары. Мектептің басты идеясы – рухани және парасатты мүмкіндіктерін күрсететін,келешекте өз еліне қызмет ете алатын және әлемдік нарықтық өзгеріс жағдайларда нәтижелі бәсекелесетін, білімдерін жоғары оқу орындарында жалғастыра білетін оқшылар дайындау үшін қажетті жағдайлар жасау,жан-жақты білімді тұлға қалыптастыру. математиканы оқытудың жалпы білім беру мақсаты.Білімгерлік мақсат:а) оқушыларға бізді қоршаған ортаны танып білуге жәрдемдесу.ә) ауызша және жазбаша математикалық тілде сөйлеуге үйрету. (қарапайым,анық,қысқа,толық)б) есеп шығару дағдысын қалыптастыру.в) игерген білімді белсенді түрде пайдалана білу,оның баянды болуына үйрету.г) есеп шығару машықты жетілдіру.математиканы оқытудың тәрбиелік мақсаты:оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыру, табиғатты ғылыми жағынан танудың негізгі заңдылықтарының математикадағы көрнісін бейнелеу; оқушыларға адамгершілік және эстетикалық тәрбие беру (еңбек сүйгіштік, парриоттық, адамгершілік орышты сезіну, әдемілікті сезіну). Оқуш/ң матем/қ ойлауын дамыту, матем/қ мәдениетке тәрб/у; оқушыларға атиестік тәрбие беру; оқуш/ң математикаға деген ықыласының тиянақты болуын қамтамасыз ету.математиканы оқытудың практ/қ мақсаты.Практикалық масат-мат/да өтілген теориялық білімдер, фактілер, теоремалар, басқа мәліметтер практикалық өмірде кең қолданыс табады.- әріпті өрнектерді алмастыра отырып формулаларды түрлендіре білу;- күрделі түрлендірулерді орындай білу;- теңдеулер,теңсіздіктер және олардың жүйесін шеше білу техникасын жетік меңгеру; - туынды,алғашқы функция,интеграл ұғымдарын меңгеру және олардың көмегімен функцияларды зерттеу,физикалық есептерді шығаруда қолдану;- графиктердің вертикаль және горизонталь асимптоталарын салу,графиктерді түрлендіре білу;- дифференциалдау техникасын меңгеру, дифференциалдық есептеулер жүргізу;- теоремаларды дәлелдеу,геометриялық есептерді шешуде оны қолдана білу;- жазық және кеңістік фигураларының конфигурацияларын салыстыра білу; - проекциялы сызбаларды жасай білу және оған байланысты есептеулер жүргізу.     5. Орта мектепте математиканы оқытуда пәнаралық байланыстарды іске асыру ПАБ әр түрлі ғылым негіздерін оқытудың мақсаты мен мазмұн/ң ұштасуына, сондай-ақ оқуш/ң білімімен нанымын қалыпт/ға, ол/ң іскерліктері мен танымдық қабілет/н дамытуға бағыт/ды. ПАБ тың мақсаты – оқуш/ң дүниеге ғылыми көзқарасын қалып/у, табиғат құб/ң біртұтаст/н ж/е өзара байл/н көрсету, олардың білімі мен ұғымын тереңдету. Мысалы, тригонометр/қ функц/р жөнідегі мәліметтер бірыңғай терб/р мен толқынд/ң әр түрлі табиғатын бірегей өрнектеуге мүмк/к береді. Математиканы оқытудың физикамен байланысы. Математика мен физ/ң ПАБ н күшейту оқуш/ң екі пәннен де үлгерім сапасын жақсартады,сонымен бірге ол/ң практ/қ қызметке дайындалуына көмектеседі. Физика сабағында да оның математикамен байл/н нығайта түссе, оқыту тиімділігі одан әрі жанданады. Вектор ұғымының геометрия оқулығ/ғы сипат/сы оның физ/қ түсіндірмесінен бұрын беріледі, сонд/н оқушылар геометрияда да, физикада да вектор деп ат/н ұз/ғы мен бағыты арқылы ан/н шамамен танысады. Мат/ны оқытудың астрономиямен байланысы. Матем/қ тәсілдер кең қолданыс табатын білім салал/ң бірі-астрономия. Қарапайым арифм/қ есептеулерден бастап күрделі дифференц/қ теңдеулерді шешудің неғұрлым қуатты әдістері астрон/қ есептерді шығаруға жиі пайд/ды. Сонд/н, математика сабақт/да астрон/қ мазм/ғы есептерді шығарудың маңызы зор. Қарапайым мазмұнды астрономиялық есептерді VI-VII сыныптарда шығаруға болады. Бұл бір жағынан оқушыларды пәнге қызықтырса, екінші жағынан астрономияға кіріспе сабақ болады. Математиканы оқытудың химиямен байланысы.Математиканы оқыту процесінде хим/қ мазмұндағы есептерді қарастырудың ерекше маңызы бар. Себебі, математика мен химияның бір қатар салалары өзара байл/та болады. Химиялық мазмұнды есептерді шығарғанда қарапайым жуықтап есептеу, процент,пропорция ұғымдарына зор көңіл бөлінуі тиіс. Сонымен бірге матем/ң химиядағы қолданымын тереңірек түсіндіру үшін, мұғалім математикалық қолданым табатын химиялық материалдарды қай сыныпта,қандай дәрежеде оқылатынын білгені дұрыс. Математиканы оқытудың сызумен байланысы. Математика мен сызуды оқытудың байланысы ұғымдық байл/ға негізд/н. Расында, бұл екі пәнде матер/қ дүниенің кеңістік формалары мен сандық қатынастарын үйретеді. Сонымен бірге, геометрия сабақт/да сызғыш, циркуль, транспортир сияқты сызу құралдарын кеңінен пайд/ды. Осы құралдарды геометрия сабақт/да ұтымды пайдалану бір жағынан салу есептерін шешу тиімд/н арттырса, екінші жағынан сызу пәніне қажетті машықтарды ұштауға көмектеседі. Ендеше, сызу құралдарын ұтымды пайдалану шеберліктерін қалыптастыру мұғалім алдындағы маңызды педагогикалық міндет болып табылады. Оқу пәндерінің арасындағы байланыстың екі типі бар: 1) уақыттық (хронол/қ) ж/е 2) ұғымдық (идеялық). Бұлардың біріншісі әр түрлі пәндердің програм/қ материалдарын оқытуды уақыт б/ша келісуді, екіншісі ғылыми ұғымдарды жалпы методологиялық қағидалар нег/де біркелкі түсіндіруді көздейді. әр пәндегі жеке тақырыптар мен тарауларды оқытуды уақыт б/ша мәмілеге келтіру олардың программаларын сәйкестіндіру арқылы қамтамасыз етіледі.   6. Математиканы оқытудың дидактикалық принциптері Мектеп тәжірибесінде қандай оқу пәні болмасын оқушылармен қарым-қатынасқа, оқу жұмысының әдістерімен құралдарын таңдауға бірыңғай талап қойылады. Педагогиканың дидактика деп аталатын бөлімінде барлық сабақтарды, оның ішінде математиканы оқытқанда қойылатын талаптар математиканы оқытудың дидактикалық қағидаларына негізделген. Дидактикалық қағидалар оқу мен тәрбие жұмысын қалай жүзеге асыруды және жетілдіруді қамтамасыз ететін нұсқауларды басшылыққа алады. Математиканы оқытуда басшылыққа алатын негізгі дидактикалық қағидаларға жататындар : 1) Математиканы оқытудың ғылымилық қағидасы. 2) Математиканы оқытудың тәрбиелеу қағидасы. 3) Математиканы оқытудың көрнекілік қағидасы. 4) Математикадағы саналылық пен белсенділік қағидасы. 5) Математиканы оқытудағы білімнің берік болу қағидасы. 6) Математиканы оқытудың жүйелілік және реттілік қағидасы. 7) Математиканы оқытудың түсініктілік қағидасы. 1) Математиканы оқытудың ғылымилық қағидасы оқу бағдарламасында, негізгі оқулықтарда және әдістемелік құралдарда іске асады. Бұл қағиданың басты шарттары: а) математиканы оқытудағы білімнің мазмұны мен әдістері қазіргі жағдайдағы математика ғылымның деңгейі мен талаптарына сай болуы; ә) ғылыми танымның жалпы әдістері арқылы оқушылардың санасына дұрыс түсінік қалыптастыру; б) ғылыми таным үрдісінің маңызды заңдылықтарын оқушыларға көрсету. Бұл шарттар өзара тығыз байланыста. Сонымен «оқытудың ғылымилығы» оқушылардың санасына ғылыми деректер мен ұғымдарды қалыптастыру болып табылады. 2) Математиканы оқытудың тәрбиелеу қағидасы математиканы оқытуда оқушыларды тәрбиелеумен, олардың ақыл-ой қабілеттерін дамытумен және азаматтық қасиеттерін қалыптастырумен тығыз байланысты. Математиканы оқыту процесінде математикалық ұғымдар, аксиомалар, теоремалар, заңдар мен теориялар адамдардың күнделікті қызметінің барысында сандық қатынастар мен кеңістік формаларды тану негізінде пайда болғаны туралы түсіндірілуі керек. 3) Математиканы оқытудың көрнекілік қағидасы оқыту үрдісінде жаңа материалды жақсы қабылдауына, мазмұнын түсінуіне және талдап қорытуына әсер етеді. А.И. Маркушевич: «Математиканы өмірмен тиісті түрде байланыстырмай, көрнекілікті пайдаланбай оқыту логикалық ойлаудың дамуына бөгет жасайды, оқушы жастардың математикалық дайындық деңгейін төмендетеді» деген болатын. Көрнекіліктің математиканы оқытуда өзіне тән ерекшеліктері бар, сондықтан оқу үрдісінде көрнекілікті пайдаланғанда бірқатар әдістемелік талаптарды орындаған жөн, яғни көрнекі құралдар сабақтың мақсатына сәйкес іріктелуі тиіс. Көрнекі құралдарды қолданғанда құралдардың неғұрлым маңызды жақтарына назар аударған жөн, яғни мақсатқа жетуге қажеттілерін ғана пайдаланған маңызды. Көрнекілікті қалай болса солай қолдана бермей, тек қажеттілігіне, тиімділігіне қалай пайдалана білудің маңызы зор. Мысалы, геометриядан жаңа ұғымдарды таныстырғанда, стереометрия курсында фигуралардың әр түрлі моделін көрсету оқушылар үшін пайдалы болады. Сонымен, математиканы оқытуда мынадай көрнекі құралдар мен техникалық құрал-жабдықтар қолданылады: а) кестелер; ә) сызбалар мен суреттер; б) модельдер; в) диафильмдер; г) диапозитивтер, д) кодоскоп, е) кинофильмдер, т.б. Оқыту үрдісінде әр түрлі есептейтін және өлшейтін көрнекі құралдар да жатады. Соңғы кезде компьютерді пайдаланып сабақтар өткізуде және компьютердің көмегімен оқушылардың білімі мен біліктіліктерін тексеру мүмкіндіктері мол. 4) Математиканы оқытудың саналық және белсенділік қағидасының негізгі мақсаттарының бірі саналы және белсенді тұлға қалыптастыру. Оқыту үрдісінде алған білімдерін саналы қабылдап, мағынасын түсініп, қолдана білулерін үйрету керек. Оқыту үрдісіндегі саналылық пен белсенділік оқу материалының түсінікті әрі тиянақты болуын, математикалық ұғымдар мен сөйлемдердің мәнін түсінуді талап етеді. Сондықтан оқушылар сабақ үстінде барынша белсенді де саналы және өздігінен жұмыс істегендей, берілген тапсырманы өздерінше талдай алатындай етіп ұйымдастыру керек. 5) Математиканы оқытудағы білімнің берік болу қағидасы өтілген материалды қайталай отырып, жаңа материалды өту барысында қолдана білуді көздейді. Математика сабағында оқушылар алған білімдерін ұзақ есте сақтау үшін, білімді одан әрі дамытатындай және есептер шығаруда біліктілерін арттыратындай етіп ұйымдастыру керек. Сонымен математиканы оқытудағы білімнің берік болу қағидасын жүзеге асыру үшін мұғалім: а) өтілген материалды қайталауды ұйымдастырады; ә) оқушылардың білімі мен біліктілігін уақытында тексеріп, кемшілігін толықтырып оларды түзетіп отырады; б) оқушыларға берілген есептер мен жаттығулардың жүйелілігіне көңіл аударады; в) оқушылардың жауабы айқын және қысқа болуына дағдыландырады. 6) Математиканы оқытудың жүйелілік және реттілік қағидасы мектеп математикасының логикалық жемісі арқылы анықталады. Математиканы оқытудағы жүйелілік дегеніміз пәнді өзінің құрылымы мен ішкі логикасына сай белгілі бір тәртіппен оқытуды және математика курсындағы негізгі ұғымдар мен теорияларды біртіндеп игеруді айтады. Математикалық білім беруде негізгі тақырыпты қосымша тақырыппен сабақтастыра отырып оқушылардың санасына сіңіре білу керек. 7) Математиканы оқытудың түсініктілік қағидасында оқушылардың жас ерекшеліктері мен білім қабілеттері ескеріледі. Оқытылатын материалдардың мазмұны мен көлемі оқушылардың білім деңгейі мен жас ерекшеліктеріне сай болуы керек. Бірақ бұл қағиданың мақсаты берілетін білім «жеңілдетілген» түрде ғана оқытып, қиын тақырыптарды алып тастау емес, ол оңайдан қиынға, қарапайымнан күрделіге, белгіліден белгісізге деген қағиданың берік сақталуын көздейді.   7. Математиканы оқытудағы индукция Индукция (лат. Inductio-ой салу) - жеке фактілер жайындағы ғылыми білімнен немесе дербес білімнен жалпы білімге, тәжірибелік нәтижелерден теориялық жалпылау мен қорытындыға, жекеден жалпыға, белгіліден белгісізге қарай қозғалудың логикалық әдісі. Мысалы, 1+3=4, 5+7=12, 9+11=20, …, . Бұл мысалдардан «екі тақ санның қосындысы жұп сан болады» және 2+4=6, 6+8=14, 8+10=18, 12+14=26, … . «екі жұп санның қосындысы жұп сан болады» деген қорытындылар жасаймыз. Сонымен дербес фактілерден жалпы қорытындылар жасау әдісін индукция дейді. Индукция әдісі – математиканы баяндауға таңдап алынған аксиоманың негізіне жатады. Аксиомалар математикалық тұжырымдамалардың дұрыстығын анықтауға көмектеседі. Белгілі бір теореманың дұрыстығы ғасырлар бойы қалыптасқан дәстүр бойынша күнделікті тұрмыста кездесетін тәжірибемен көрнекі түсініктердің негізінде дәлелденеді, тек осыдан кейін ғана оған дедуктивтік қорытынды жасалады. Сондықтан индукция әдісіне қарағанда дедукция әдісі күрделірек. Орта мектептердің сыныптарында индукция, ал жоғары сыныптарында дедукция көбірек қолданылады. Ғылыми зерттеу жұмыстарындағы күрделі есептермен орта мектептегі есептерді, әртүрлі мәселелерді шешуге индукция мен дедукция қатар қолданып бірін–бірі толықтырады. Индукция әдісі толымсыз, толық, математикалық болып үшке бөлінеді. Толымсыз индукция деп қарастырылатын жағдайлар өте көп болып, олардың барлығын түгел зерттеу мүмкін болмаған жағдайда, олардың тек кейбіреулерін ғана зерттеп солардан шығатын қорытындыны барлық фактілер үшін жасалатын қорытындыны айтамыз. Мысалы, 1=12, 1+2=32, 1+3+5=32 , 1+3+5+4=42 ,..., теңдіктерін бірден есептеу арқылы олардың дұрыстығына көз жеткіземіз. Осы дербес мағлұматтарға сүйеніп 1+3+5+7+9+…(2k-1) =k2 деген жалпы қорытынды жасаймыз. Толық индукция деп математикада қарастырылатын жағдайларының саны шектеулі, ол жағдайлардың бәрін түгел қарастырып барып қорытынды жасауға болатын жағдайларды айтады. Математикалық индукция деп, алғашқы элементі туралы жасалған тұжырымның шындығы келесі элементі үшін де дұрыс болатын тұжырымды айтамыз. Математикалық индукция әдісі математикалық индукция қағидасына негізделеді. Сонымен математикалық индукция әдісінің мәні мынада: 1-қадам. Теореманың (есеп, формула) n=1 үшін дұрыстығы тексеріледі 2-қадам. Теорема кез-келген n=к болғанда дұрыс деп ұйғарылады. 3-қадам. Осы ұйғарымға сүйене отырып, теораманың n=к+1 үшін дұрыстығы дәлелденеді. Үшінші қадамның дұрыстығы және математикалық индукция қағидасы негізінде кез-келген натурал n үшін теорема дұрыс деген қорытынды шығарылады. Мысалы, Тепе-теңдіктердің дұрыстығын математикалық индукция әдісін қолданып дәлелдеңдер: Дәлелдеуі: 1-қадам.  болса, онда  тепе-теңдік орындалады; 2-қадам.  үшін  тепе-теңдік орындалсын; 3-қадам.  болғанда, Тепе-теңдіктің дұрыстығы дәлелденді.   8. Математиканы оқытудағы дедукция Дедукция теориялық мәселелер формальды сипатталатын білімдер облысында (мысалы, математикада) үлкен роль атқарады. Дедукция – жалпыдан жалқыға, бүтіннен бөлшекке көшетін пайымдау жолы. Дедукция – ғылыми–зерттеу әдісі. Дедукция кейбір берілген тұжырымдарға сүйеніп, тікелей логикалық тұрғыда қорытынды жасалатын ойлау формасы. Мысалы. «Кез келген натурал санның цифрларының қосындысы үшке бөлінсе, онда санның өзі де үшке бөлінеді» деген тұжырым дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың, мынадай түрлері бар: 1. Неғұрлым жалпы қағидадан жеке қағидаға қарай апаратын ой қорытындылары. Мәселен, НОД (р, q)=1 мысалы осының дәлелі. 2. Жалпы қағидадан жалпы қағидаға апаратын ой қорытындысы. Мысалы. Барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді. Барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді. 3. Жеке қағидадан дербес қағидаға апаратын ой қорытындылары. Мысалы. 5-жай сан. 5-натурал сан. Кейбір натурал сандар жай сан болады. Дедукция әдісін ежелгі грек ғалымдары қалыптастырған. Б.э.д. ІІІ ғасырда ертедегі грек геометрі Евклид жазған «Негіздер» кітабы теорияны дедуктивтік түрде құрастырудың ең тамаша үлгісі болды. Осы үлгіде математикалық шығармалар мен қатар философиялық трактаттарда жазылды. Дедукция әдісімен жасалған қорытынды дұрыс болуы үшін әуелгі негізгі мағлұмат дұрыс дәлелденген болуы керек, сонда бұлардан шығатын қорытындылар дұрыс болады. Дедукция ретінде алынатын аксиомалар жүйесін дедукциялық әдіс дейді. Осы әдіспен ХІХ ғасырда геометрияның толық аксиомалар жинағы құрылды. Неміс математигі Д.Гильбердтің «Геометрияның негіздерінде» негізгі ұғымдарға нүкте, түзу, жазықтық, ал олардың арасында негізгі қатынасқа «жататындығы», «арасында жататындығы», «конгруэнтті» болуы алынады. Қазіргі мектепте нүкте, түзу, жазықтық, арақашықтық сияқты негізгі ұғымдар алынған басқаша аксиомалар жүйесі қолданылады. Геометрия қандай аксиомалар жүйесіне негізделсе де бәрі бір оның қалған сөйлемдері, ұғымдары мен теоремалары таңдап алынған аксиомаларға сүйеніп құрылады. Теореманы дәлелдеуге нақты үшбұрыштардың қабырғаларының ұзындығы мен бұрыштарының шамасын өлшеу нәтижелеріне сүйенуге болмайды. Бұл дәлелдеулер таза логикаға сүйеніп дедуктивті түрде қорытындыланды. Дедуктивтік зерттеу жұмысы барысындағы жалпы қағидалар және заңдар ғылымдардың жаңылыс жолға түсіп кетпеуіне, шындық дүниесінің құбылыстарын дұрыс түсінуге мүмкіндік береді. Бірақ осы негізде дедуктивтік әдістің ғылыми мәнін асыра бағалау да дұрыс болмаған еді. Дедуктивтік ой қорытулар үшін бастапқы білімдер керек болады. Міне осы кезде дедукцияға индукция жәрдемге келеді. Сондықтан индукция және дедукция бірін-бірі толықтырып, өзара тығыз байланыста болады.   10. Математикадан факультативтік сабақтарды ұйымдастыру. Мектептегі факультативтік сабақтардың мақсаты – оқушылардың математикалық білімдерін одан әрі тереңдету, қабілеттерін дамыту, математиканың әр алуан қолданымдарын көрсету, олардың пәнге ынтасын арттырып, кәсіптік бағдар беру. Бүгінгі таңда математиканың факультативтік сабақтары орта мектептерде арнаулы сыныптарға енгізіліп, оқушылардың жалпы математикалық даярлығын арттыруда ерекше орын алады. Факультативтік курс математикаға ынталы, пәнге ықыласы мол, өзінің математикалық мәдениетін көтеруге, білімін тереңдетуге, ой - өрісін кеңейтуге ынталы оқушыларға арналған. Факультативтік сабақтарды оқытудың әдістері мен тәсілдерін таңдағанда, алдымен курстың мазмұнын, оқушылардың дайындық деңгейін, олардың бағдарламалық материалдарға ынта – ықыласын ескеру керек. Сонымен бірге олардың ой - өрісі мен дербестігіне де назар аударған дұрыс. Әдетте факультативтік курстардың дәріс, әңгімелеу, практикалық жұмыстар, қосымша әдебиет бойынша тапсырмаларды талқылау, оқушылардың баяндама жасауы, реферат жазу, экскурсия үйымдастыру сияқты формалары мен әдістері кең пайдаланылады. Факультативтік курстың кейбір материалдарын дәріс түрінде өтілуі мүмкін. Мұндағы мақсат – оқу материалының ішінен ең өзектілерін баяндау, есептер шешудің ең нақты әдістерін көрсету, оқушыларға материалды өздігінен оқып үйренудің жолын нұсқау. Дәріс сабақтарында оқушылардың тыңдау және ой түю машықтарын шыңдауға бағытталғаны пайдалы. Дәріс барысында оқушылармен жеке мәселелер бойынша, қайсыбір ұғымының тууы, оны дамытуда белгілі бір ғалымның қосқан үлесін, проблеманың есеп түрінде қойылуын қысқаша әңгімелеудің рөлі зор. Факультативтік курстың маңыздылығын арттыру жолдарының бірі – практикалық жұмыстар орындау. Сабақтың бұл түрі оқу процесін білімді іс жүзінде қолданумен ұштастыруға жол ашады. Мұнда мұғалім ең алдымен оқушыларды практикалық жұмыстың мақсатымен, жұмыс істеу тәртібімен таныстыруы, қажетті нұсқаулар беруі тиіс. Берілетін практикалық тапсырмаларды жеке ерекшеліктеріне қарай берген дұрыс, ал жұмыс нәтижесін күллі топтың қызметі ретінде бағалау керек. Мәселен, «Көпжақтар» тақырыбы бойынша практикалық жұмыс жүргізгенде көпжақтардың эскизін, олардың жазбалары мен модельдерін салу керек. Дұрыс көпжақтардың модельдерін әр оқушы жеке, ал күрделі көпжақтарды 2-3 оқушы бірлесіп орындағаны дұрыс. Мұның өзі ұжымдық еңбекке баулиды. Факультативтік курстың материалдарын терең игеру жолдарының бірі – күрделі есептерді эвристикалық жолмен шығару. Алайда, есептерді оқушылардың ынта – ықыласына сай іріктеп алса, оның тиімділігі арта 76 түспек. Алдымен даярлық есептер оқушылардың өздігінен шығармашылық қызмет ету қабілетін дамытатындай, проблемалық ахуал ретінде берілуі тиіс.   9. 11. 12.  Математикалық ұғымдар, сөйлемдер және дәлелдеулер. Математиканы оқыту мақсаттаырның бірі – оқушыларға саналы, жүйелі және баянды білім беру. Ұғым мен қимылдың өзі – ойлау. Ұғым арқылы адам ойлайды. Ой болмысты бейнелейді. Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана белгілейді. Ұғымның елеулі белгілері деп - біректі нәрселерді басқа нәрселерден айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын айтады. Ұғымның мазмұны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің жиынтығын айтады. Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынын айтады. Егер ұғымдардың мазмұндарында ортақ белгілер болса, ондй ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесімді және үйлесімсіз болып екі салаға бөлінеді. Үйлесімді ұғым деп көлемдері толық немесе ішінара беттесетін ұғымдарды айтады. Үйлесімді ұғымдарды арасында мынадай қатынастар болады: а)тепе-теңдік ә) ішінара беттесу б) бірін-бірі қамту. Көлемдері толық беттесетін ұғымдар өзара мәндес, ал көлемдері ішінара беттесетін ұғымдар айқасатын ұғымдар деп аталады. Ұғымдардың көлемі мүлдем беттеспесе, олар үйлесімсіз ұғымдар деп аталады. Үйлесімсіз ұғымдар қарама-қарсы, қайшылықты және бағыныңқы ұғымдарға жіктеледі. Ұғымның анықтамасы деп қарастырылатын ұғымның мазмұнын ашуға көмектесетін логикалық амалды айтады. Мектеп математикасында негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді (нүкте, түзу, жазықтық, натурал сан, т.б), олардың тек сипаттамасы ғана айтылады.математика пәні өзі зерттейтін ұғымдарды белгілі бір жүйеге келтіріп, өзіне тән талаптарға сәйкес ұғымдарды бөлшектейді. Ол үшін а) бөлудің негізі бірыңғай болуы тиііс. ә) бөлу өлшемдес болуы тиіс б) бөлу мүшелерінің әрқайсысы басқаларын қоспауы тиіс в) бөлу үзіліссіз болуы керек, яғни бөлінетін ұғым бөлу мүшелері үшін ең жақын тек болуы тиіс. Классификациялау ұғымдардың мәнін олардың қатынастарын айқындау, көлемін шектеу арқылы дұрыс түсінуге көмектеседі. Жалпы алғанда, математиканы үйрену ұғымдарды қалыптастыру, мат/қ тұжырымдарды дәл/й білуге үйрету ж/е оны нақтылы есеп/р шығ/ға қол/на білуден тұрады. Ұғымды толық меңгермейінше қандайда бір теореманы сапалы түрде білу мүмкін емес. Ұғымды меңгеру дегеніміз – зат/мен құб/ң қас/ін олар/ң арасындағы мәнді бай/ды арақатынастарды білу. Жалпы мат/қ ұғ/ң қалыптасуы күрделі процесс болып таб/ды ж/е төм/гі этаптардан тұрады: 1. Сезіну (түйсіну). 2. Қабылдау. 3. Түсінік (елестету). 4. Ұғым. Ұғымның елеулі белгілері деп – біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік береді. Геометрияда алғашқы және негізгі ұғымдар «нүкте,түзу, жазықтық» , ал негізгі қатынастар «жатады, арасында, конгурентті» және алгебрада натурал сандар т.б негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді. Айта кетерлік геометрия сияқты алгебра да аксиоматикалық түрде құрылады. Оның дәлелі сандар жүйесі. Атақты итальян математигі Д.Пеано өзінің 4 аксиомадан тұратын аксиомалар жүйесінде натурал сандарды енгізу әдісін қарастырды. Сонда қосу мен көбейту амалдары негізгі арақатынастар болып саналды. Пеано аксиоматикасында 2 теорема қарастырылады: 2 натурал санның қосындысы(көбейтіндісі бар болады және ол тек қана біреу болады. Ал қосу мен көбейтуге кері амалдарға келгенде, бұл амалдар (-, /) натурал сандар жиынында кейде орындалады, кейде орындалмайды. Сондықтан бұл екі амал әрқашан орындалу үшін натурал сандар жиынын кеңейту қажет. Осы жерде жоғарыда айтылған кеңейтудің екі жолы туады.1)Алдымен алу амалы орындалатын жол – теріс сандарды енгізу. 2)Бөлу амалы орындалатын – бөлшектерді енгізу. 1-жолды жалғастырайық: натурал сандар жиынынан кейін теріс сандарды енгіземіз: бүтін сандар жиыны шығады. Шыққан бүтін сандар жиынын бөлу амалы орындалу үшін оң және теріс бөлшек сандармен толықтырамыз. Бұл сандар жиынында х2-2=0 тәрізді теңдеулер шығарылмайды. Сондықтан бұл жиынды кеңейтіп, иррационал сандарды енгіземіз. Нақты сандар жиыны шықты. Мектеп курсында тереңдетілген сынып болмаса санды кеңейту осымен тоқталады. Ал тереңдетілген сыныптарда комплекс сандар өтілетін болса, нақты сандар жиыны тағы кеңейеді. Оның себебі х2+1=0 түріндегі теңдеулерді шығаруды қажет етеді. 2-жолы: натурал– рационал–бүтін–иррационал–нақты 14. 15. Теорема түрлері. Қажетті және жеткілікті шарттар Теорема деп-ақиқаттығы дәл/у арқылы тағай/н мат/қ сөйлемді айт/з. Теоремадағы қарастырылып отырған ұғым (геометрияда фигура) біріншіден, қандай шартты қанағаттандыратындығы белгілі екендігі, екіншіден, теоремада ол ұғым туралы қандай қасиеттің бар екендігін айтып тұрғандығы анық көрсетілген болу керек. Мұның біріншісі теореманың шарты деп, ал екіншісі – қорытындысы деп аталады Теореманы дәлелдеу дегеніміз  шартты ақиқат деп алып,Q қорытындының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету. Теоремалар тура, кері, қарама-қарсы және кері теоремаға қарама-қарсы теорема түрінде кездеседі. Алғашқы теореманы тура теорема  деп алсақ, онда берілген ероремаға кері теорема деп тура теореманың шартын қорытындысымен, ал қорытындысын шартыменауыстырудан шыққан теореманы айтамыз. Тура теоремаға қарама-қарсы теореманы онң шарты мен қорытындысын тікелей бекерге шығарудан алынған теореманы атаймыз Қарама-қарсы теоремаға кері теорема деп оның шарты мен қорытындысын бекерге шығарудан алынған теореманы айтамыз. Теореманы дәлелдеу дегеніміз, ондағы айтылған пікірдің ақиқаттығын бұрыннан ақиқаттығы мәлім пікірлерге сүйеніп негіздейтін және олардың арасындағы тәуелділіктерден бұл айтылып тұрған пікірдің бұрынғылардан қажетті түрде салдар ретінде шығатындығын көрсететін ой процесі.Теореманы дәлелдеуде екі мақсат көзделеді.1. Теоремадағы пікірдің акиқаттығын аныктау.2. Айтылып тұрған теореманын жалпы математикалық сөйлемдердің ішінде алатын орнын байқау.Мұның біріншісінде теореманың шарты мен қорытындысының арасындағы логикалық байланыстарды байқап, біріншісінен екіншісінің қажетті түрде салдар болып шығатындығын анықтайды.Ал екіншісінде айтылып отырған теореманы дәлелдеу үшін алғашқыдан белгілі қандай мәселелер қажетті және жеткілікті екендігін анықтаймыз.   16. 28.Теоремаларды дәлелдеу әдістері Теореманы дәлелдеу үш кұрамдас бөліктен тұрады: 1) Тезис — дәлелденетін қағида; 2) Аргумент — ақиқаттығы бұрын дәлелденген немесе тексерілген және тезистің ақикаттығы не жалғандығы негізделетін пікір; 3) Демонстрация немесе дәлелдеу тәсілі — дәлелденген тезистің ақиқаттығын түйіндейтін логикалық талқылау. Басқаша айтқанда, демонстрацияны дәлелдеу кезінде пайдаланылатын логикалық ережелердің тобы ретінде түсінуге болады.   Анализ деп белгісізден белгіліге қарай көше отырып пайымдалатын ғылыми оқыту әдісін айтады. Анализ – логикалық тәсіл, зерттеу әдісі ретінде үйретілетін объектіні ойша немесе тәжірибелік түрде құрамды бөліктерге бөліп, әр бөлік бүтіннің бөлік ретінде жеке зерттелуін айтады. Анализ (грекше analygts) – жіктеу, бөлшектеу, талдау дегенді білдіреді. Синтез (грекше sinthesis) – біріктіру, жинақтау, теру дегенді білдіреді. Синтез деп жеке элементтерді бір тұтасқа жинақтауға көмектесетін логикалық тәсіл. Математиканы оқытуда анализ бен синтез мәні өте зор, ол есептерді шешу әдісі ретінде, теореманы дәлелдеу, математикалық ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. әр алуан формада кездеседі. Синтетикалық әдіс арқылы есептерді шешу және теоремаларды дәлелдеу барысын қысқа да ықшамды тұжырымдауға мүмкіндік береді. Мұнда кейбір жағдайларда синтетикалық жолмен баяндауды аналитикалық тәсілмен ауыстырып отыру керек. Бұл оқушылардың танымдық қызметін белсендіреді және есептерді шешу жолдарын саналы түрде іздестіре отырып, сапалы түрде түсінуіне мүмкіндік береді. Индукция (лат. Inductio-ой салу) - жеке фактілер жайындағы ғылыми білімнен немесе дербес білімнен жалпы білімге, тәжірибелік нәтижелерден теориялық жалпылау мен қорытындыға, жекеден жалпыға, белгіліден белгісізге қарай қозғалудың логикалық әдісі. Мысалы, 1+3=4, 5+7=12, 9+11=20, …, . Бұл мысалдардан «екі тақ санның қосындысы жұп сан болады» және 2+4=6, 6+8=14, 8+10=18, 12+14=26, … . «екі жұп санның қосындысы жұп сан болады» деген қорытындылар жасаймыз. Сонымен дербес фактілерден жалпы қорытындылар жасау әдісін индукция дейді. Индукция әдісі – математиканы баяндауға таңдап алынған аксиоманың негізіне жатады. Аксиомалар математикалық тұжырымдамалардың дұрыстығын анықтауға көмектеседі. Белгілі бір теореманың дұрыстығы ғасырлар бойы қалыптасқан дәстүр бойынша күнделікті тұрмыста кездесетін тәжірибемен көрнекі түсініктердің негізінде дәлелденеді, тек осыдан кейін ғана оған дедуктивтік қорытынды жасалады. Сондықтан индукция әдісіне қарағанда дедукция әдісі күрделірек. Орта мектептердің сыныптарында индукция, ал жоғары сыныптарында дедукция көбірек қолданылады. Ғылыми зерттеу жұмыстарындағы күрделі есептермен орта мектептегі есептерді, әртүрлі мәселелерді шешуге индукция мен дедукция қатар қолданып бірін–бірі толықтырады. Дедукция теориялық мәселелер формальды сипатталатын білімдер облысында (мысалы, математикада) үлкен роль атқарады. Дедукция – жалпыдан жалқыға, бүтіннен бөлшекке көшетін пайымдау жолы. Дедукция – ғылыми–зерттеу әдісі. Дедукция кейбір берілген тұжырымдарға сүйеніп, тікелей логикалық тұрғыда қорытынды жасалатын ойлау формасы. Мысалы. «Кез келген натурал санның цифрларының қосындысы үшке бөлінсе, онда санның өзі де үшке бөлінеді» деген тұжырым дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың, мынадай түрлері бар: 1. Неғұрлым жалпы қағидадан жеке қағидаға қарай апаратын ой қорытындылары. Мәселен, НОД (р, q)=1 мысалы осының дәлелі. 2. Жалпы қағидадан жалпы қағидаға апаратын ой қорытындысы. Мысалы. Барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді. Барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді. 3. Жеке қағидадан дербес қағидаға апаратын ой қорытындылары. Мысалы. 5-жай сан. 5-натурал сан. Кейбір натурал сандар жай сан болады. 17-18. Математиканы оқытудағы есептердің ролі. Математика есептерін шығаруды үйретудің жалпы әдістемесі. Оқу процесінде есеп шығару математиканы оқытудың мақсаты ретінде де, оны оқыту әдісі ретінде де бой көрсетеді. «математикалық есеп дегеніміз – математикадағы заңдылықтар, ережелер мен әдіс-тәсілдер негізінде оқушылардың ойы мен іс әрекетін талап ететін және математикалық білімді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға бағытталған ситуация». Сондықтан есеп шығару математиканың ажырамас бөлігі, себебі есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға ооқушылардың математикалық ойлауын қрістетуге, білімдерін практикада қолдануға, табандылық, ізденгіштік, еңбексүйгіштік қасиеттеріне тәрбиелеуге жол ашады. Математикалық есептер: 1) жаңа математикалық ұғымдар мен мағлұматтарды үйрету 2) практикалық іскерліктер мен дағдыларды қалыптастыру 3) білімнің тереңдігі мен баяндылығын тексеру. 4) проблема қою және проблемалық ахуал туғызу 5) материалды пысықтау, жалпылау және қайталау 6) политехнизм принциптерін іске асыру 7) оқушылардың творчестволық қабілетін тәрнбиелеу үшін пайдаланылады. Есеп оқуш/ды жаңа матем/қ біліммен қарул/п, қалыпт/н іскерліктрі мен машықтарын жүйелеуге және нақтылауға көмект/ді Математика есептерін шығаруды үйретудің жалпы әдістері. 1.Синтет/қ әдіс. Берілген есепті шығ/ң қажетті шарт/ң бірі – сол есепке келт/н көмекші ес/ді шығара білу. Мұндай көмекші ес/ді шығару іскерл/рі қалыпт/н жағд/да, бар мәселе негізгі ес/ң шарт/н қанағаттанд/н қасиет/ің жиынтығын табуға тіреледі. Синтет/қ әдістің мәні мынадай: нег/гі есептің кейбір мәлім/н пайд/п көмекші шам/ды ан/ды, яғни көмекші қарап/м есепт/ң 1ші сериясын шығ/ды. Одан соң осы ес/ң шешуін, негізгі есепт/ң мәлім/мен қоса пайдалана от/п, көмекші есепт/ң 2ші сериясын шығарады. Нег/гі ес/гі ізд/н шаманы тапқанша, осы процесті жалғ/ра береді. 2.Аналитикалық әдіс. Есепті саналитикалық әдіспен щығару «Есепте қойылған мәселеге жауап беру үшін неі білу керек?» деген сұрақтан басталады. Бұл сұраққа жауап беру үшін есептің мәліметтерін айқындап, оның ізделетін шамамен байланысын анықтау керек. 3.Салу есептеріндегі аналитикалық әдіс. Геометриялық салу есептерін шығару барысында аналитикалық әдістің ролі арта түседі. Тек қарапайым салу есептерін алдын ала талдаусыз шығаруға болады. Ал күрделі салу есептерін шығарғанда талдау арқылы салудың жоспары жасалып, жолы көрсетіледі.Кезеңдері: талдау, салу, дәлелдеу, зертеу. 4.Алгебралық талдау. Алг/қ талдау деп алг/қ әдіс-тәсілд/ң жиынт/н түсінеді. Ал есеп шығарғанда есеп мәліметтері мен ізделін/н шамал/ң арасына байланыс орнатылады. Бұл үшін ізд/н шаманы белгілеп, берілген мәлімет/ді пайдалана отырып, оларға қажетті амалд/ды қолданады. Мұның өзі теңдеу немесе теңдеулер жүйесін шешуге әкеледі. Есепті алг/қ талдауға тән сипат алатын әдістерінің бірі бер/н есепке кері есепті шығару. Мұнда кері ес/ң шарты рет/де негізгі есеп/ң шешуі мен кейбір шартары алынады. 5.Есеп шығарудың арнаулы әдістері. Есеп шығ/да арнаулы әдістер жиі қолд/ды. Олар: сарқа сынау, жинақтау, модельдеу, және ізд/н шама/ң жуық мәнін табу әдісі. Срқа сынау әдісінде лог/қ мүмкінд/ді айқындап, оның ішінен есептің шартын қанағаттандыратындарын бөліп көрсетеді. Жинақтау әдісінің мәні берілген өрнекті біртіндеп түрл/у болып табылады. Осы мақсаттағы түрленд/р тізбегінің соңы, ізделінді нәтижені тікелей көрсетуі тиіс. Жинақтау әдісі теор/ды дәлелдегенде, салу есеп/н шешуде жиі қолд/ды. Модельдеу әдісі есеп шығар/да жиі қолд/ды. Бер/н есепті модельдеуге әр алуан формул/р, таблиц/р, диагр/р, схемалар, теңд/р мен теңсіздік/р және олардың жүйелері пайд/ды.   19. Мектепте математиканы тереңдетіп оқыту әдістемесі Мектепте математиканы оқытудың негізгі міндеттері–қазіргі қоғам мүшесіне күнделікті ӛмірде және еңбек ету барысында, сыбайлас пәндерді оқуда және оқуды одан әрі жалғастыруда қажетті болатын жүйелі матем/қ білімдер мен біліктіліктердің саналы және сапалы түрде игерілуін қамтамасыз ету. Осы негізгі міндеттерімен, қатар математиканы тереңдетіп оқыту, оқуш/ң пәнге деген қызығуш/ң тұрақты болуын, матем/қ қабілетті анықтауды және оны дамытуды, математикамен байланысты кәсіби бағдар беруді, жоғары оқу орынында оқуға дайындықты қамтамасыз етеді. . Математиканы тереңдетіп оқыту, мектеп оқуш/ң жасына байланысты мүмкіншіліктері мен қажеттіліктеріне сәйкес мақсаттары бойынша да ерекшелінетін, екі кезеңнен тұрады (VII—IX сыныптар және X—XI сыныптар). Бірінші кезеңі негізінен бағдарлау кезеңі болып табылады. Бұл кезеңде оқушы пәнге деген қызығуш/н, ӛзінің осы пәнді игеру мүмкінш/н бағалай алатындай және IX сыныптың соңында әрі қарай математиканы тереңдетіп оқуды немесе жалпы білім беретін бағдарламаны саналы түрде таңдауға мүмкіндік беріледі. Математикаға деген оқушының қызығушылығы мен қабілеті жан жақты дамытылуы тиісті. Егер қызығушылығы тӛмендеп кетсе немесе басқа бағытқа ауысса оған тереңдету бағдарламасынан жай бағдарламаға ауысуға мүмкіндік берілу керек. Екінші кезеңде оқушының математикаға қызығуш/ң тұрақтылығы және осы пәнмен байланысты мамандықты таңдауы анықтаушы факторлар болады. Бұл кезеңдегі оқыту жоғары оқу орынына түсе алатындай, онда оқуды жалғастыруға және мамандықты игеруге мейілінше жеткілікті болатындай сапалы матем/қ білімді қамтам/з ететіндей болуы керек. Математиканы тереңдетіп оқытудың маңызын сәтті шешу кӛп жағдайда оқу үрдісіне байланысты. Мұғалімдерге әдістемелік нұсқау мен оқытудың ұйымдастырушылық формасын еркін таңдауына мүмкіндік жасалынады. Дегенмен тӛменде кӛрсетілген жалпы ережелерді ескерген жӛн. Оқушылар бағдарламаның негізгі материалдарын әлдеқайда жоғары деңгейде меңгеруі керек. Оқу-тәрбие процесі оқушылардың талаптары мен олардың жас ерекшеліктерін ескере отырып құрылуы қажет. Мектеп оқушыларына тым аса қиындық туғызбас үшін бағдарламадағы қосымша сұрақтарды қиындатып құраудың қажеті жоқ.   20-21. Математикадан лабораториялық және практикалық жұмыстар Математика сабақтарында оқушылар теориялық материалдарды оқумен қатар практикалық мазмұнды есептерді шығаруға, әр алуан өлшеулерді орындауға, анықтама материалдар мен таблицаларды пайдалануға , қарапайым приборлармен санауға, әр қилы шаруашылық есептерін жүргізуге, схемалар мен диаграммаларды, графиктерді салуға, сызба және өлшеу аспаптарын еркін меңгеруге үйренуі тиіс. Сондықтан, оқушылардың график салу ж/е есептеу іскерліктері мен машықтарын тәрбиелеп, дамытуға көмектесетін оқыту түрлерінің бірі математикадан өткізетін лабораториялық-практикалық жұмыстар. Мат-дан өткізілетін лабораториялық-практикалық жұмыстардың өзіне тән ерекшеліктері бар: а) графиктер салу және оларды қолдану; ә) сызба, өлшеу және есептеу аспаптары мен приборларын, арнайы лекалоларды пайдалану; б) тиісті формула/дың көмегімен өлшемдерді есептеу арқылы өлшеу мен есептеу нәтижелерін салыстыру; в) табицаларды, анықтама материалдарды, оқулықтармен қоса арнайы нұсқаулар мен суреттемелерді қолдану болып таб/ы. Лабораториялық-практикалық жұмыстар шамалардың арасындағы математикалық тәуелділіктерді толық, әрі саналы анықтауға, өлшеу және есептеу аспаптарымен және оларды пайдалану тәсілдерімен жақынырақ танысуға, белгілі бір дәлдікпен өлшеуді және есептеуді үйренуге мүмкіндік туғызады. Орындалатын лабораториялық-практикалық жұмыстың мазмұнын алдын ала тақтаға н/е плакатқа жазып, болмаса кодоскоптің көмегімен экранға түсірген дұрыс. Берілетін тапсырманы мұғалімнің қысқа түсіндіргені абзал.   22. Математиканы оқытудың әдістері  Математиканы оқыту процесінде оқушылардың жас ерекшеліктері мен пәннің мазмұнына сәйкес таңдалған оқыту әдістері білімнің саналы да, баянды болуын көздейді. Әдіс ең кең мағынада – мақсатқа жету тәсілі, белгілі бір тәртіппен реттелген қызмет. Оқу процесінде оқыту әдісі оқушы мен мұғалімнің арасындағы тиімді қарым–қатынастың бір түрі. Оқыту әдісі деп оқушылардың белсенді танымдық қызметін қамтамасыз ететін, мұғалім мен оқушының бірлескен әрекеттерінің нақты түрі. Оқыту сабақ беру мен үйренуден (оқу) тұрады. Сабақ беру – оқу материалын түсіндіретін, оқушылардың оқып үйрену және білімін, біліктілігін тексеруді ұйымдастыратын, алған білімдерін қолдана білулерін басқаратын мұғалімнің іс-әрекеті. Үйрену (оқу) – мұғалімнің басшылығымен орындалатын оқушылардың сапалы іс - әрекеті, ол белгілі бір оқу материалын қабылдауын және мұғалімнің түсіндіруін тыңдауын, теория мен тәжірибе арасындағы байланыстарды ұғып алуды, қорытындылауды, мұғалімнің тапсырмасы бойынша алған білімін қолдана білуді қамтиды [3]. Бұдан оқыту әдістері сабак беру әдістері мен үйрету әдістерінен тұрады деп айтуға болады. Сабак беру және үйрету әдістері – белгілі бір математикалық білім, білік және дағды жүйесін оқушыларға беру тәсілдері деп түсінеміз. Бұл әдіске әңгімелесу, мұғалімнің түсіндіруі және дәріс, тәжірибе, жаттығу ретінде өздігінен істейтін жұмысты басқару, оқушылардың оқу құралдармен, әдебиетпен жұмыс істеуіне басшылық ету. Үйрету әдістеріне (оқып үйрену) оқу материалын танып – білу оқушылардың өз беттерімен белсенді ізденіп білім алу жолдары жатады. Оқыту үрдісінде қайсыбір әдісті қолдану үшін мұғалім сол әдісті жете меңгеруі тиіс. Ол үшін: а) әдістің мағынасын түсіну және оны қолдана білу керек; ә) оқыту үрдісінде әдісті қолдану барысында байқалатын жақсы және теріс жақтарын білу керек; б) мектеп математика курсында қандай тақырыптарды осы әдіспен оқыту қолайлы екенін білу керек;  в) оқу материалын игеруде оқушыларды осы әдіспен жұмыс істеуге үйрете білу қажет. Сонымен, оқыту әдістері – білім беру және білімді меңгеруге, азаматтық тұлға қалыптастыруға бағытталған шәкірттердің танымдылық іс-әрекеттерін және тәжірибелік қызметтерін ұйымдастыру тәсілін қамтиды. Математиканы оқытудың жалпы әдістеріне проблемалық оқыту, эвристикалық әдіс, бағдарламалап оқыту әдістері жатады. Проблемалық оқытудың мәні-мұғалім проблеманы өзі қойып, өзі шешеді. Мұндағы басты проблема - теореманы дәлелдегенде оны қалай дәлелдеу емес, дәлелдеуді қалай іздестіру, іздестіруге оқушыларды қалай тарту мәселесі. Бұл әдістің негізгі жетістігі дербестікке, шығармашылық еңбекке, фактілерді бағалауға тәрбиелейді, проблемалық баяндау әдісін қолданғанда мұғалім-ақпараттың негізгі көзі болып табылады. Проблемалық оқыту әдісі - математикалық білім беру үрдісінде мұғалімнің жетекшілігімен, оқушылар алдына қойылған проблемалық ситуацияны өз беттерімен шешіп, жаңа білім алу әдісі. Проблемалық оқыту кезінде мұғалім материалды баяндап, неғұрлым күрделі ұғымдарды түсіндіре отырып, сабақ үстінде ұдайы проблемалық ахуал туғызады. Мұнда фактілер мен құбылыстарды талдағанда оқушылар тиісті қорытындылар мен жалпылауларды өздігінен жасауға, ережелердің тұжырымдарын, ұғымдарын анықтамаларын беруге, ұғымдардың арасындағы байланыстарды тағайындауға және де пайда болған жаңа жағдайлармен-есептерді шығаруға бағыттау керек. Сөйтіп, проблемалық оқыту оқушылардың ойлау қызметін жандандырудың негізгі құралы-проблемалық ахуал туғызудан басталып, мына негізгі сатыларды қамтиды: а) проблеманы тұжырымдау; ә) оны шешу тәсілдерін табу, б) проблеманы шешу; в) қорытындыны тұжырымдау; г) таңдап алынған шешудің дұрыстығын көрсету. Проблемалық ахуал деп оқушылар игерген білім мен іскерліктің және түсіндіруге қажетті фактілер мен ұғымдардың арасындағы сәйкессіздікті айтады. Бірақ проблемалық ахуалдың негізгі көзі есеп шығару болып табылады. Атап айтқанда, проблемалық ахуалдарды қамтитын есептерді шығару барысында оқушылардың ойлау қызметін шыңдауға қажетті дағдылары дамытылады. Оқу материалының проблемалы болуының қажетті шарттары мыналар: а) проблеманың түсініктілігі; б) оның танымдылығы; в) проблеманың мазмұндылығы. Эвристикалық әдіске тән сипат - мұғалім мен оқушылардың арасында тура әрі кері байланыстың болуы. Мұның нәтижесінде метериалды сыныптың қалай игергенін байқауға кез келген оқушының, өз қабілеті мен инициативасын көрсетуге жағдай туғызуға, селқостар мен ынтасыздарды жұмысқа тартуға мүмкіндік береді. Эвристикалық әдісті қолданғанда берілетін сұрақтар жүйесі логикалық жағынан мінсіз, материалдық мазмұны мен дәлелдеуін түгел қамтуы тиіс және қысқа, әрі анық болуы керек. Сондықтан мұғалім эвристикалық сұрақтарды алдын ала дайындап алғаны жөн. Бағдарламалап оқыту әдісі - оқу материалын арнайы бағдарлама бойынша мұғалім шағын бөліктерге бөлшектейтін және әрбір оқушының іс- әрекетінің сипаты мен ретін анықтайтын, сондай-ақ оқытылатын материалды меңгеру барысын ұдайы бақылауға көмектесетін дидактикалық жүйені түсінеді. Бағдарламалап оқыту, әсіресе компьютер көмегімен бақылау бүгінгі таңда барлық оқу орындарында кеңінен пайдаланылады. Қазіргі уақытта компьютердің көмегімен жоғары оқу орындарында студенттердің білімдерін тексереді және емтихандар өткізіледі. Кейінгі жылдары оқу процесін басқаруға арналған компьютерлер дүниеге келді. Қазіргі таңда компьютерлік техниканы жаппай меңгеру, бұл техниканы оқып үйрену объектісі ретінде қараумен бірге, оқыту құралы ретінде де қарастыруға жол ашты. Бағдарламалап оқытудың ерекшеліктері мынадай: 1) бағдарламалап оқыту әдісі оқытуды жекелеп жүргізу қағидасына негізделген. Оқу материалын оқушылардың өздігінен меңгерулері жүзеге асады. Оқушылар оқу құралы бойынша өз бетімен оқып үйрену үшін бар қабілетін, ақыл-ойын жұмсайды. Оқу құралында оқушыларға қажетті бар теориялық материал, оқушы ойланып шешімін табатын тапсырма, сұрақтар келтіріледі; 2) оқу материалы оқып үйренуге ыңғайлы бірнеше шағын бөліктерге бөлініп беріледі; 3) әрбір бөліктің соңында, оқушылардың қаншалықты меңгергендерін тексеретін сұрақтар қойылады; 4) оқушы жауабының дұрыстығын бірден оқу құралындағы эталон жауаппен салыстырып тексеріп отырады. Осылайша өз- өзіне бақылау жасау жүзеге асады. Ішкі кері байланыс - оқу үрдісін өзін-өзі басқарудың негізгі факторы екені мәлім. Егер оқушының жауабы эталонмен сәйкес келсе, ол оқушы бағдарлама бойынша ілгері жүреді. Жауап қате болған жағдайда, оқушы оқу материалымен жұмыс жасап, қатесін тапқаннан кейін ғана келесі бөлікке көшеді. Бағдарламалап оқыту әдісі осы келтірілген талаптардың әрқайсысы біртұтас орындалуын қажет етеді. Мектеп тәжірибесінде оқыту бағдарламасының негізгі екі түрі: сызықтық және тармақтық бағдарламалау қарастырылады. Сызықтық бағдарламалаудың айырықша белгісі жаңа материалдың бір үлесінен кейін сұраққа жауап беру (есеп шығару) ұсынылады, нұсқаушы сұрақтар мен түсініктемелер бермейді. Сызықтық бағдарламалап оқытуда бірнеше жауаптың берілуі мүмкін (оқушы дұрысын көрсетуі тиіс). Алайда дұрыс жауап бірден сұрақтан кейін берілсе, бағдарламалау өз мағынасын жоғалтуы ықтимал. Сондықтан сұрақ пен жауап арасында оқушының өздігінен ізденуге мүмкіндік туғызатын үзіліс жасап, сұрақтың дұрыс жауабын жасырып қояды. Әдетте дұрыс жауаптан кейін ғана келесі үлес беріледі. Оқушы өзін-өзі тексеру үшін бағдарламаланған құралдан дұрыс жауап алуы тиіс. Бұл жауап оқушының білімін одан әрі дамытады, болмаса берілген оқу материалының үлесін одан әрі нақтылай түсуге нұсқау береді, сөйтіп жіберілген қатені жоюға жағдай жасайды. Тармақталған бағдарлама оқу материалын сатылап түсіну үшін және меңгеру қағидасы бойынша жүзеге асырылады. Оқушы бірінші үлесті оқып үйреніп, сызықтық бағдарламалау сияқты, бақылау сұрақтарына жауап береді немесе ұсынылған жауаптардың біреуін таңдайды. Егер дұрыс әрі 26 толық жауапты таңдаса, онда ол оқу материалының келесі үлесіне көшеді, ал егер ол толымсыз немесе қате жауапты таңдаса, онда оқушының бағдарламаланған құралдың тиісті бетіндегі түсініктемелер «қайтарылады» немесе компьютер қажетті кеңестер береді, яғни тармақталған бағдарлама бұрыс жауаптың қателігіне оқушының көзін жеткізеді. Мысалдар: 1. Екі санның қосындысы 35-ке тең, ал олардың ең кіші ортақ еселігі 60-қа тең. Осы сандарды табыңыз. Жауабы: 1а) 15 және 20 2. 45-тен 90-ға дейінгі барлық натурал сандардың қосындысын табыңыз. Жауабы: 2а) 3105 3. Аргументтің қандай мәнінде y=-0,4x+5 функциясының мәні 13-ке тең болады? Жауабы: 3а) -20 4. 23.24.25.26.Математиканы оқытудағы индукция мен дедукция, анализ бен синтез, аналогия. Математиканы проблемалап оқыту. Математикалық ұғымдар, пайым/р ж/е ой қорытулар математиканы оқыту методика/ң негізгі мазмұнын құрайды. Сонд/н әрбір математика мұғалімі әр ұғым/ң, әр математи/қ фактінің қайдан, қалай алынғанын білуі тиіс. Ал бұл үшін математикалық теорияны құрудың формальды-логикалық прин/мен қатар, мұғалім индукция мен дедукцияның, анализ бен синтездің диалектикалық бірлігін құрайтын таным әдіс/н де игеруге міндетті. Индукция (лат. Induction–ой салу) – жеке фактілер жайындағы ғылыми білімнен н/се жалпы емес білімнен жалпы білімге, тәжірибелік нәтижелерден теориялық жалпылау мен қоры/ға, жекеден жалпыға, белгіден белгісізге қарай қозғалудың логикалық әдісі. Дедукция (лат. deductio–толық білу)- алғашқы ойдан логикалық жолмен туған жаңа пікірді білдіретін ойлау формасы. Анализ деп зерттелетін объектіні ойша (н/се іс жүзінде) құрамдас элементтерге (белгілерге, қасиеттерге, қатынастарға) жіктеп, олардың әрқайсысын мүшеленген тұтастың жеке бөлігі ретінде зерттеудің логикалық тәсілін, ойлау әдісін айтады.Синтез д/з жеке элементтерді бір тұтасқа жинақтауға көмектесесін логикалық тәсіл.Қарапайым мағынада анализ бен синтезді былай түсіндіруге болады: егер бала велосипедті бөлшектеп, «шашып» тастаса, онда оның әрекеті анализ (себебі, оған әрбір бөлшекті көзбен көріп, қолмен ұстаған қызық); ал егер ол сол бөлшектерден велосипедті қайта құрастыраса, онда ол әрекеті синтез болып табылады.Анаголия әдісі ұқсастықты білдіреді. Бір жағдайларда орынды болатын зат басқа екінші жағдайларда да орынды болантын болса, аналогия әдісі орынды деп қорытынды жасап кетеміз. Аналогия бойынша ой қорытудың схемасы мынадай:Бірінші пікір: А обьектісіне қасиеттері тән. Екінші пікір. В обьектісіне қасиеттері тән. Қорытынды. В обьектісі қасиетіне ие болуы ықтимал. Сондықтан анаголия бойынша алынған пікір дүдамал болаады, яғни пікір шындыққа саяды, бірақ күмәнсіз бола алмайды.Проблемалап оқыту-дамытушылық сипаттағы оқыту, себебі оқушы бір ұғымды н/е құбылысты түсінуге мұқтаж болғанда ғана ойлана бастайды. Ал мұндай мұқтаждық проблемалап оқыту барысында жиірек туады. Демек, проблемалап оқыту барысында мұғалімге қойылатын талап – оны қашан және қалай пайдалануды анықтау. Проблемалап оқыту кезінде білім мен іскерліктің бірсыпыра бөлігін оқушылар өздігінен, танымдық қиындықтарды жеңе отырып игереді. Проблемалап оқытудың мақсаты-ғылым негіздерін меңгеріп қана қоймай, оқушылардың танымдық және шығармашылық қабілеттін дамыту. Проблемалап оқытуды ұйымдастыру негізін оқушының ізденгіштік, танымдық оқу қызметтері құрайды. Басқаша айтқанда, ғылыми фактілерді, құбылыстарды, заңдарды және алған білімдерін зерттеуге және оны іс жүзінде пайдалану тәсілдеріне баулу болып табылады. Проблемалап оқыту кезінде мұғалімнің түсіндіруі мен оқышулардың қажетті іскерліктері мен машықтарын шыңдауға арналған есептерді оқушыларға орындату ісіне зор мән беріледі   32. Математиканы оқытудың ғылыми әдістері Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесін игеру тиімділігін арттыруда оқытудың ғылыми әдістері ерекше орын алады. Математиканы оқытудың ғылыми әдістерін қолдану арқылы оқушылар ойлау қабілетін дамытып, математика сабақтарында қалыптасқан тәсілдер мен ұғымдарды іс жүзінде қолдана білу қабілетін арттырады. Математиканы оқытудың ғылыми әдістеріне: 1) бақылау мен тәжірибе; 2) салыстыру мен аналогия; 3) анализ бен синтез; 4) индукция мен дедукция; 5) жалпылау, нақтылау және абстракциялау жатады. 1) Бақылау деп қоршаған ортаның табиғи жағдайда қарастыратын және объектілері мен құбылыстарының қатынастарын және қасиеттерін зерттеу, айқындау әдісін айтады. Объектілерді танып білу арқылы ақпарат алудың ең маңызды әдістерінің бірі – бақылау болып табылады. Бақылауды дұрыс ұйымдастыру оқушылардың математикалық деректер мен ұғымдарды табысты игеруіне, заңдылықтарды көре білуге және қорытындылар жасауына көмектеседі. Бақылауды мынадай жоспар бойынша ұйымдастыруға болады: 1) бақылаудың мақсатын анықтау; 2) бақыланатын объектілердің қасиеттері мен қатынастарын айқындау; 3) зерттелетін объектілердің ерекшеліктері мен белгілері арасындағы байланыстарды тұжырымдау; 4) бақылау нәтижелеріне талдау және қорытындылар жасау. Тәжірибе деп зерттеушінің тікелей белсенді араласуы арқылы зерттелетін объектілердің қасиеттерін анықтау мақсатында қажетті жағдайлар туғыза отырып танып білу әдісі. Тәжірибе математиканы оқыту үрдісінде оқушылардың тәжірибелік жұмысы түрінде көрініс табады. Тәжірибе жаңа ұғымдарды енгізу және математикалық объектілердің қасиеттерін анықтау үшін өткізіледі. Бақылау мен тәжірибе физика, химия, биология және тағы басқа ғылымдарда шешуші қызмет атқарады. Ал математикалық зерттеулерде бұл әдістер жетекші орынға ие бола алмайды, себебі математика тәжірибелік ғылым емес. Дегенмен, кейбір объектілердің математикалық қасиеттерін көрсетуге бақылау мен тәжірибенің маңызы зор. Бақылау мен тәжірибе арқылы алгебралық заңдылықтарды тағайындауға болады. Мысалы, Ұланның қолындағы екі сөмкенің бірінде 4 кг алма, екіншісінде 3 кг сәбіз бар. Келесі дүкенде қияр сатылып жатқандықтан ол сөмкенің біреуін босату керек болды. Сөмкені неше тәсілмен босатуға болады? Бірінші, алманың үстіне сәбізді (4 кг + 3 кг); екінші, сәбіздің үстіне алманы (3 кг + 4 кг) салу керек. Екі жағдайда да сөмкедегі алма мен сәбіз 7 кг болады. Демек, 4 кг + 3 кг=3кг + 4кг = 7 кг. Осындай мысалдар (тәжірибе) арқылы қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді деген ережені байқауға болады, яғни а+в=в+а екеніне көз жеткізуге болады. 2) Салыстыру деп зерттелінетін объектілердің ұқсастықтары мен айырмашылықтарын ойша тағайындау әдісін айтады. Салыстыру әдісін қолданғанда төмендегідей қағидаларды басшылыққа алған жөн: а) салыстырылатын объектілер біртекті болуы шарт. Мәселен, екі функцияны, екі санды, екі өрнекті немесе екі үшбұрышты салыстыруға болады. Ал дененің массасы мен көпбұрыштың ауданын салыстырудың ешқандай мағынасы жоқ. ә) объектілер айрықша белгілері бойынша салыстырылуы тиіс. Мәселен, үшбұрыштар бұрыштары, қабырғаларының орналасуы, периметрі және ауданы бойынша салыстырылады. б) объектілерді салыстыру толық жүргізіледі. Әдетте, объектілерді салыстыру әдісі олардың қасиеттерін немесе айрықша белгілерін ажыратуға қолданылады. Мәселен, параллелограмм мен трапецияны салыстыруда олардың ортақ қасиеттерін анықтауға мүмкіндік береді, олардың екеуіде төртбұрыш, екеуінің де параллель қабырғалары бар. Айырмашылықтары: біреуінде қабырға қос-қостан параллель, ал екіншісінде табандары ғана параллель. Сондай-ақ, оқушылар жай және алгебралық бөлшектерді салыстыру арқылы олардың ортақ белгілері: бөлшектердің алымы мен бөлімінің болуы, бөлімінің нөлден өзгешелігі, ал айырмашылығы: жай бөлшектің алымы мен бөлімі сан болады, ал алгебралық бөлшекте алгебралық өрнек екенін түсіндіреді. Сонымен, математикалық объектілерді салыстыру арқылы білімді меңгеру жеңілдейді, өздігінен ғылыми ізденіс жасай білуі мен дағдыларының қалыптасуына ықпал етеді. Салыстыру мен аналогия бір-бірімен тығыз байланысты.     Аналогиядеп ұқсастықты қолданып оқытатын ғылыми оқыту әдісін айтады. Аналогия жай және таралған аналогия болып екіге бөлінеді. Жай аналогияда объектінің кейбір белгілерінің ұқсастығы бойынша оның басқа белгілерінің ұқсастығы жөнінде пікір қозғалады. Таралған аналогияда құбылыстардың ұқсастығынан себептердің ұқсастығы жөнінде қорытынды жасайды. Сонымен бірге, жай аналогия мен таралған аналогия сәйкесінше қатаң және босаң аналогия болып жіктеледі. Қатаң аналогияда салыстырылатын объектілердің белгілері өзара тәуелділікте болуы шарт емес. Аналогия математиканы оқыту үрдісінде жаңа ұғымдарды енгізгенде, фигуралардың қасиеттерін тұжырымдағанда, теорияларды дәлелдегенде және есеп шығарғанда кең қолданылады. Математиканы оқыту үрдісінде аналогияны қолдану үшін: а) берілген әр түрлі объектілер мен қатынастардың ұқсастықтарын құру керек; ә) аналогияда болатын сөйлемдердің сәйкес элементтерін табу керек; б) берілген сөйлемге аналогияда болатын сөйлем құру керек; в) берілген есепке аналогияда болатын, яғни берілген есептің мәліметтеріне ұқсас шарты мен қорытындысы бар есеп құру керек; г) аналогия бойынша есеп шығаруда есептің шығарылуына ұқсас талдау жасау керек. Жаңа ұғымдарды енгізгенде аналогияны пайдаланса, меңгеру едәуір жеңілдейді, мәселен: 1. Тік төртбұрыш диагоналінің квадраты оның екі өлшемінің квадратының қосындысына тең. 1а. Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналдарының квадраты оның үш өлшемінің квадратының қосындысына тең. 2. Тік төртбұрыштың диагоналдары тең. 2а. Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналдары тең. 3. Параллелограмның қарама- қарсы қабырғалары өзара тең кесінді- лер. 3а. Параллелепипедтің қарама-қарсы жақтары өзара тең параллелограмдар. 4. Параллелограмның диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді және т.с.с. 4а. Параллелепипедтің диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді және т.с.с. 3) Ғылыми зерттеу әдісі ретінде – анализ бен синтезматематикалық зерттеулерде ерекше маңызды роль атқарады. Анализдеп белгісізден белгіліге қарай көше отырып пайымдалатын ғылыми оқыту әдісін айтады. Анализ – логикалық тәсіл, зерттеу әдісі ретінде үйретілетін объектіні ойша немесе тәжірибелік түрде құрамды бөліктерге бөліп, әр бөлік бүтіннің бөлік ретінде жеке зерттелуін айтады. Анализ (грекше analygts) – жіктеу, бөлшектеу, талдау дегенді білдіреді. Синтез (грекше sinthesis) – біріктіру, жинақтау, теру дегенді білдіреді. Синтез деп жеке элементтерді бір тұтасқа жинақтауға көмектесетін логикалық тәсіл. Математиканы оқытуда анализ бен синтез мәні өте зор, ол есептерді шешу әдісі ретінде, теореманы дәлелдеу, математикалық ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. әр алуан формада кездеседі. Анализ бен синтез – іс жүзінде бірін-бірі толықтыратын бір тұтас аналитикалық – синтетикалық әдіс. Мәселен, анализ кезінде күрделі есептер жай есептерге бөлшектенеді, ал синтез жай есептерді бір ғана мағыналы, бір тұтас бір есепке біріктіреді. Анализді бүтіннен оның құрамды бөліктеріне жіктейтін ойлау әдісі, ал синтез – жеке бөліктерді бір бүтінге біріктіретін ойлау әдісі деп түсінеміз. Анализ бен синтез математиканы оқыту процесінде ұғымдарды қалыптастыруға, теоремаларды дәлелдеуде және есептерді шығаруда кеңінен пайдаланады. Анализ бен синтез математиканы оқып – үйренудің аса маңызды әдістері болып табылады. Синтетикалық әдіс арқылы есептерді шешу және теоремаларды дәлелдеу барысын қысқа да ықшамды тұжырымдауға мүмкіндік береді. Мұнда кейбір жағдайларда синтетикалық жолмен баяндауды аналитикалық тәсілмен ауыстырып отыру керек. Бұл оқушылардың танымдық қызметін белсендіреді және есептерді шешу жолдарын саналы түрде іздестіре отырып, сапалы түрде түсінуіне мүмкіндік береді. 4) Индукция (лат. Inductio-ой салу) - жеке фактілер жайындағы ғылыми білімнен немесе дербес білімнен жалпы білімге, тәжірибелік нәтижелерден теориялық жалпылау мен қорытындыға, жекеден жалпыға, белгіліден белгісізге қарай қозғалудың логикалық әдісі. Мысалы, 1+3=4, 5+7=12, 9+11=20, …, . Бұл мысалдардан «екі тақ санның қосындысы жұп сан болады» және 2+4=6, 6+8=14, 8+10=18, 12+14=26, … . «екі жұп санның қосындысы жұп сан болады» деген қорытындылар жасаймыз. Сонымен дербес фактілерден жалпы қорытындылар жасау әдісін индукция дейді. Индукция әдісі – математиканы баяндауға таңдап алынған аксиоманың негізіне жатады. Аксиомалар математикалық тұжырымдамалардың дұрыстығын анықтауға көмектеседі. Белгілі бір теореманың дұрыстығы ғасырлар бойы қалыптасқан дәстүр бойынша күнделікті тұрмыста кездесетін тәжірибемен көрнекі түсініктердің негізінде дәлелденеді, тек осыдан кейін ғана оған дедуктивтік қорытынды жасалады. Сондықтан индукция әдісіне қарағанда дедукция әдісі күрделірек. Орта мектептердің сыныптарында индукция, ал жоғары сыныптарында дедукция көбірек қолданылады. Ғылыми зерттеу жұмыстарындағы күрделі есептермен орта мектептегі есептерді, әртүрлі мәселелерді шешуге индукция мен дедукция қатар қолданып бірін–бірі толықтырады. Дедукция теориялық мәселелер формальды сипатталатын білімдер облысында (мысалы, математикада) үлкен роль атқарады.       Дедукция – жалпыдан жалқыға, бүтіннен бөлшекке көшетін пайымдау жолы. Дедукция – ғылыми–зерттеу әдісі. Дедукция кейбір берілген тұжырымдарға сүйеніп, тікелей логикалық тұрғыда қорытынды жасалатын ойлау формасы. Мысалы. «Кез келген натурал санның цифрларының қосындысы үшке бөлінсе, онда санның өзі де үшке бөлінеді» деген тұжырым дұрыс. Дедуктивтік ой қорытудың, мынадай түрлері бар: 1. Неғұрлым жалпы қағидадан жеке қағидаға қарай апаратын ой қорытындылары. Мәселен, НОД (р, q)=1 мысалы осының дәлелі. 2. Жалпы қағидадан жалпы қағидаға апаратын ой қорытындысы. Мысалы. Барлық жұп сандар 2-ге бөлінеді. Барлық тақ сандар 2-ге бөлінбейді. 3. Жеке қағидадан дербес қағидаға апаратын ой қорытындылары. Мысалы. 5-жай сан. 5-натурал сан. Кейбір натурал сандар жай сан болады.  Толымсыз индукция деп қарастырылатын жағдайлар өте көп болып, олардың барлығын түгел зерттеу мүмкін болмаған жағдайда, олардың тек кейбіреулерін ғана зерттеп солардан шығатын қорытындыны барлық фактілер үшін жасалатын қорытындыны айтамыз. Толық индукция деп математикада қарастырылатын жағдайларының саны шектеулі, ол жағдайлардың бәрін түгел қарастырып барып қорытынды жасауға болатын жағдайларды айтады. 5) Жалпылау деп обьектілер жиынына қатысты және оларды біріктіретін қасиеттерді анықтау тәсілін айтады. Обьектідегі тұрақты шаманы айнымалы шамамен алмастыру арқылы жалпылау жасауға болады. Мысалы, 2+3=3+2, 4+5=5+4, 7+8=8+7 сияқты нақты мысалдардан қосудың жалпы заңын өрнектеуге болады, яғни a+b=b+a немесе x+y=y+x теңдіктерін аламыз. Обьектіге қойылатын шарттарды кеңейту арқылы жалпылау жасауға болады. Абстракциялаудеп зерттелетін заттар мен құбылыстардың елеусіз қасиеттерін ойдан шығарып, оның елеулі қасиеттерін анықтауды айтады. Абстракциялау таным процесінде екі түрде көрінеді. Абстракциялаудың бірінші түрі затты сезімдік қабылдауда оның бірнеше қасиеттерін ескермей, басқа кейбір қасиеттерін іріктейді. Мәселен, кез-келген затты геометриялық дене ретінде қарастыра отырып, оның тең пішініне, мөлшеріне, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі орнына ғана назар аударады. Абстракциялаудың екінші түрі сезімдік танумен шектелмейді. Мұнда заттар мен құбылыстардың қасиеттерін іріктеп қана қоймай, оларды түрлендіреді. Мысалы, үшбұрыштарды бұрыштары бойынша сараптай отырып, оқушылар абстракциялау арқылы қабырғаларының әр түрлілігін ескермей, тек ұшбұрыш ұғымына ғана амалдар қолданады. Нақтылаудеп жалпыдан жекеге көшу ережесімен түсіндіріледі. Бұл ереженің мағынасы мынандай: егер қандай да бір обьектінің барлық элементтері А қасиетіне ие болса, онда осы обьектінің кезкелген бір а элементі де сол қасиетке ие болады.   34. Мұғалімнің сабаққа дайындалуы және жұмыс жоспарларын жасауы Мұғалімнің сабаққа дайындалуы және жұмыс жоспарларын жасауы. Оқу жылының алдында мұғалім өзіне берілген сыныптағы пәні бойынша жоспарлап жасайды. Негізінде 3 түрлі жоспар бар: күнтізбелік, тақырыптық, сабақ-жоспар конспектісі. Сабақ жоспарын жазарда мұғалім өз пәнінің типтік оқу жоспарымен, типтік бағдарламасымен таныс болуы қажет. Негізінде оқытудың типтік оқу жоспары директордың кабинетінде немесе мұғалімдер кеңсесінде ілулі тұруы қажет. Онда сынып бойынша пәндердің атаулары, апталық сағаттары, оқитын аптаның саны, пән бойынша сағат саны көрсетіледі. Күнтізбелік жоспар – бұл жоспар оқу жылы басталардан 5 кун бұрын мектеп директорының немесе оның орынбасарының қолымен бекітілуі қажет. Тақырыптық жоспар – әр тақырыптың сұрақтары ашылып, сыныпта шығарылатын есептер, үйге берілетін есептер нөмерлері, әдебиеттер, көрнекі құралдар, іске асырылатын пәнаралық байланыстар көрсетіледі. Мұғалімнің сабақ жоспар-конспектісі – сабақ конспектісін жазар алдында оқытылатын тақырып бойынша әртүрлі әдебиеттерді қарап керекті теориялық материал, бекітілген материал, есептер т.с.с жинап қарастыру керек. Оқу процесінің тиімділігі, сабақтың жүйелігі мен сапасы, бағдарламаның орындалу барысы, білімнің тереңдігі бүкіл оқу-тәрбие жұмысын дұрыс жоспарлауға байланысты. Сабаққа дайындалу – күрделі де қиын жұмыс, сабақ өз деңгейінде өту үшін мұғалімнің әдістемеден жақсы теориялық білімі және дұрыс дайындығы мен сабақты жоспарлай алатын дағдысы болу керек. Сабақ жоспарын жасау, сабақты ұйымдастыру мен бағдарламалық материалды оқыту мұғалімнен қажырлықты талап етеді. Сондықтан әрбір мұғалім сабақты жоспарлаудың тиімді тәсілдерін меңгеруі тиіс. Оқушыны білімді, білікті, тәрбиелі азамат етіп қалыптастыру бірітіндеп, сабақ сайын, күнбе–күн жүзеге асып отыратыны сөзсіз. Мұғалімнің сабаққа дайындығы үш кезеңнен тұрады. 1) мұғалімнің жаңа оқу жылына дайындығы. 2) мұғалімнің тақырыптық дайындығы. 3) мұғалімнің күнделікті сабаққа дайындығы. Мұғалімнің жаңа оқу жылына дайындығы. Алдымен мұғалім жаңа оқу жылының басында оқу бағдарламасымен, мектеп оқулығындағы оқу материалымен танысып, оқушыларды неге оқытатыны анықтайды. Оқу материалының мазмұнының жобасы бойынша жылдық жоспарын жасайды. Оқу процесінің жылдық жоспарында оқу материалы тоқсандарға бөлініп, тақырыптарды оқытуға бөлінетін сағат саны мен уақыты белгіленеді, қайталау мерзімі мен тәсілдері анықталады. Оқушыға, мұғалімге керекті әдебиет тізімін жасайды, оқулықтарға талдау жасап, алдағы жұмыстарды жоспарлайды. Оқу жылының басында кабинетті жабдықтайды, бағдарламаға сай оқулықтар, дидактикалық материал, жұмыс дәптері, есептер жинағы таңдап алынады. Мұғалімнің тақырыптық дайындығы. Тақырыптық жоспар нәтижесінде әрбір тақырыптың өзекті мәселелерін сабақтарға бөліп, қайталаудың түрлерін, бақылау жұмыстары мен үй тапсырмаларының мазмұнын анықтайды. Тақырыптық жоспар әр сабаққа арналған дидактикалдық материалды, көрнекі құралдар мен техникалық құралдарды уақытында даярлауға мүмкіндік береді, өткізілетін сабақ пен сыныптан тыс жұмыстардың сипатын анықтауға көмектеседі. Сабақтың тақырыптық жоспары оқушылардың жас ерекшеліктеріне және басқа да факторларға сай өңделіп, жетілдіріліп отырады. Мұғалімнің күнделікті сабаққа дайындығы – күнделікті сабақ жоспарын жасау. Сабақ жоспарын жасау сабақ мазмұнын, баяндау ретін, өздігінен орындайтын жұмыстарды, үйге берілетін тапсырмаларды, сабақта қойылатын сұрақтарды т.с.с. мұғалімнің алдын ала болжауына көмектеседі. Әрбір сабақтан соң, оның кемшіліктері мен жетістіктеріне тиісті қорытынды жасап, мұғалім өз ойларын қағазға түсіріп отыруы дұрыс. Бұл кейінгі сабақта қолданылатын әдістердің тиімділігін арттыруға септігін тигізеді. Мұғалімнің сабаққа даярланудың алғашқы сатысы оның мақсатын анықтау болып табылады. Сабақтың мақсаты бағдарлама мен оқулықтың тиісті тақырыбын зерттеу негізінде анықталып, сабақтың мазмұнын, оқыту әдістерін және бүкіл сабақтың барысын жасауға әсер етеді. Сабақ мақсатына мынадай талаптар қойылады: 1. Сабақ мақсаты: оқушылар қандай білімді меңгеруі керек (білімділік мақсаты), қандай іскерліктер қалыптастырылды (дамытушылық мақсаты), сабақтың оқушыларды тәрбиелеуге қосқан үлесі қандай (тәрбиелік мақсаты) тәрізді мәселелерге жауап беруі тиіс. 2. Сабақ мақсаты өте дәл тұжырымдалуға тиіс, яғни сабақта қандай білім, іскерлік пен біліктілік қалыптастырылатыны, тәрбиелік қызметінің мәні белгіленуі керек. Сабаққа даярлаудың келесі кезеңі оның мазмұнын анықтау. Оқулықтарда оқу материалының тақырыптарға бөлінуі, оқушылардың танымдық қызметін ұйымдастыру мен бағыт-бағдар беру тәсілдерінің оқулықта көрініс табуы бұл кезеңді іске асыруға жол ашады. Сонымен бірге оқу бағдарламасында берілген оқушылар үлгеруге тиісті білім мен іскерліктердің тізімі, пәнаралық байланыстар мазмұнының белгіленуі мұғалімнің сабаққа даярлануын едәуір жеңілдетеді. Сабақта өтілетін материалдың мазмұны мен мақсаты, оқушылардың дайындық дәрежесі, олардың жас ерекшеліктері, мұғалімнің іс-тәжірибесі оқытудың әдістері мен құралдарын анықтайды. Мұнда алдымен қандай материал оқушыларға дайын күйінде берілетінің, қайсысы оқушылардың өздігінен орындауына тапсырылатынын анықтаған жөн. Егерде оқушыларды теориялық материалмен алғаш таныстырғанда, олардың тірек болар білімдері мен іскерліктері жоқ болса, онда әңгімелеу, түсіндіру, дәріс т.б. баяндау әдістерін пайдаланады. Бұл жағдайда оқушылардың қызметі білім мен іскерлікті жаңғырту сипатында болады. Ал оқушылардың тиісті білім қоры бар болса, эвристикалық тәсілді қолдануға болады және т.с.с. Мұғалімнің сабақ жоспарында көрсеткен мәселелері оқушылардың кезекті білім, білік, дағды алуына және олардың ойын, инциативасының, шығармашылығының дамуына әсер етуі тиіс. Сабақ жоспарын жасағанда әр сыныптың нақты ерекшелігі ескеріліп, оқушылардың зерделі жұмысын ұйымдастырады. Төменде күнделікті сабақ жоспарын құрудың бір түрі келтірілген (ұсынылған). 1. Сабақтың тақырыбы. 2. Сабақтың мақсаты. 3. Сабақтың түрі. 4. Сабақтың көрнекілігі. 5. Сабақтың барысы: а) ұйымдастыру кезеңі, б) үй тапсырмасын тексеру, в) жаңа сабақты түсіндіру, г) сабақты бекіту, д) сабақтың қорытындысы, е) үйге тапсырма. Әр сабаққа, тек мектеп оқулықтарымен ғана шектелмей, басқа да кітаптардан әр түрлі есептерді, алынған білімді баянды ету үшін нақты сұрақтарды таңдап ала білу қажет. Оқушыларға қойылатын сұрақтарды дәл, нақты тұжырымды етіп қою және оқушыларды ықыласпен тыңдап, оның жауабын дәл сезініп, дұрыс баға беру керек.   36. Математикадан сыныптан тыс жұмыстар. Математикадан өткізілетін сыныптан тыс жұмыстар – жалпы білім беретін мектептердегі оқу–тәрбие процесінің маңызды құрамдас бөлігі. Математикадан жүргізілетін сыныптан тыс жұмыстардың негізгі мақсаты – оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыру, шығармашылық қабілеттері мен дербестіктерін жан–жақты дамыту. Сонымен бірге, оқушыларды өзіндік және ғылыми–зерттеу жұмыстарының ең қарапайым дағдыларын үйретуге баулуға жол ашу. Сыныптан тыс жұмыстардың маңызды міндеттері: а) оқушылардың танымдық белсенділігі мен пәнге деген ынтасын қалыптастыру; б) математикалық білімдерін тереңдету; в) дүниеге ғылыми көзқарастарын кеңейту болып табылады. Математикадан жүргізілетін сыныптан тыс жұмыстарды мазмұны жағынан екі топқа бөлуге болады. 1. Бағдарламадағы материалды қосымша өту. 2. Математиканы ерекше қабілетпен қызығып оқитын оқушылармен жүргізілетін жұмыстар. Бірінші бағыт әр түрлі себептермен білім деңгейі, біліктілігі төмендеген оқушылармен жүргізіледі. Мұндай оқушылармен дайындық мүмкіндігінше жүйелі түрде, әр оқушыға нақты көмек ретінде болуы керек. Оның негізгі мақсаты математика курсы бойынша оқушы білімі мен дағдарысындағы кемшіліктерді дер кезінде жою. Екінші бағыты математиканы ынтамен оқитын оқушыларға арналады. Ол төмендегідей мақсаттарға жауап береді. 1) оқушылардың математикаға қызығушылығын тудырып дамыту; 2) бағдарламалық материал бойынша оқушының білім көлемін кеңейту және тереңдете оқыту; 3) оқушылардың ғылыми зерттеушілік сипаттағы дағдарысы мен математикалық қабілетін дамыту; 4) оқушылардың жеке өзіндік ойын дамытып жетілдіруге тәрбиелеу. Мұндағы мақсат – оқушылардың дүниетанымын кеңейту, шығармашылық қызметке баулу, ізденушілік қасиеттерге тәрбиелеу.  Математикадан сыныптан тыс жұмыстардың негізгі түрлеріне: математикалық үйірме, математикалық апталық, математикалық кеш, математикалық сайыс, викториналар, конкурстар, математикалық олимпиадалар, көңілді математиктер клубы, т.с.с жатады. Математикалық үйірмелер - сыныптан тыс жұмыстардың ең негізгі түрі. Оларға математикаға қызығатын және бейімді оқушылар ерікті түрде қатысады. Математикалық үйірмелер арқылы оқушыларға бағдарлама көлемінде және математикалық қосымша мәселелерінен де түсініктер беріп, олардың білімін жан–жақты кеңейтуге болады. Үйірме жұмысы алдымен кең тынысты шараларды жүзеге асыруға бағытталуы тиіс, сонда ғана ол оқушылардың ынта – ықыласын толық қанағаттандыра алады. Үйірме жұмысын негізінен теориялық және практикалық бағыттарды жүргізуге болады. Теориялық бағыттағы үйірме жұмысы мұғалімнің немесе оқушының белгілі тақырып бойынша әңгімесін, баяндамасын қамтып, аптасына бір рет жүргізіледі. Әрбір жұмыстың ұзақтығы 1-1,5 сағаттан аспағаны дұрыс. Практикалық бағыттағы үйірме жұмысында әр түрлі мазмұндағы есептерді шешіп, мектеп және ауданаралық олимпиадаларға даярланады. Оқушылардың қызығушылығын арттыру мақсатымен ойын есептерін, логикалық есептерді және практикалық мазмұндағы есептерді көбірек шығарған жөн. Математика үйірмесіне көптеген талаптар қойылады. Үйірмеде берілген білім оқушылардың ой-өрісін арттыратындай, жоғары сыныптарда математиканы оқып үйренуіне көмектесетіндей дәрежеде болуы керек. Үйірме сабақтары барынша жүйелі, қарапайым, қызықты және ғылыми болуы тиіс. Үйірмеде оқушылар ерікті түрде пікір алмасып, өз ойларын жасқанбай ортаға салулары қажет. Математика үйірмесінің мазмұны мына мәселелерді қамту керек. - жалпы білім беретін теориялық бағдарламалар; - математика тарихынан хабарлар; - ұлы математиктердің өмірі мен қызметі; - қызықты, логикалық және тарихи есептерді шығару; - қиынырақ есептер шығару (стандарт емес есептер); - қолданбалы есептер қарастыру; - математикалық кеш өткізуге дайындық жүргізу; - оқушыларды математика жөніндегі жаңа әдебиеттермен таныстыру. IV-VIII сыныптардағы үйірме жұмыстары мен математикалық кештер оқушыларға ерекше қиындық келтірмейтіндей, олардың ғылымилығынан гөрі қызықтылығы басым болуы керек. Сыныптан тыс жұмыстардың маңызды түрлерінің бірі – математика апталығын өткізу. Математикалық апта оқушыларды пәнмен қызықтыратын, сонымен қатар оқу бағдарламасын терең оқып игеруге, шығармашылық белсенділігін, ізденімпаздығын дамытуға мүмкіндіктер туғызатын көптеген шаралар кешенін қамтиды. Ұйымдастырылған апталық және оны дұрыс өткізу маңызды оқу–тәрбие мәселелерін шешуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар оқу материалын толықтыру, тереңдету, түрлендіру, математиканың практикада қолданысы, оқушыларға өзіндік жұмыстардың дағдыларын дамыту және олардың тәрбиелеу мүмкіндіктерінің пайда болуы сөзсіз. Бұл шараларға дайындалу және оны өткізу барысында математика мұғалімдерінің педагогикалық біліктілігі көтеріледі және де оқытушы мен оқушылардың арасында, сондай–ақ жалпы мектеп педагогтары мен оқушылар ұжымдарының арасында да өте тығыз және емін–еркін шығармашылық байланыстар қалыптасады. Жұмыс мектеп математиктерінің әдістемелік бірлестігінің апталық өткізу туралы шешімімен басталады. Апталықты өткізу үшін алдын ала математика мұғалімдері мен бірнеше оқушылар кіретін ұйымдастыру тобы құрылады, ұсыныстар мен мүмкіндіктерге қарай апталықтың бағдарламасы жасалады, әр сала бойынша жауаптылар тағайындалады, барлық дайындық жұмысы істелініп бітетін ең соңғы мерзім белгіленеді. Апталықты ұйымдастыруға сынып жетекшілері, пән мұғалімдері, ата–аналар және т.б. көмек көрсете алады. Математикалық апталықтың мазмұны барынша мектеп оқушыларын көп жұмылдыратындай түрлі–түрлі болуы керек. Бұл олардың ынталығы мен қызығушылығын жетілдіруге себеп бола алады. Апталыққа дайындалу барысында оқушылардың ізденімпаздығы мен ынталылығын білдіретін іс-әрекеттерге барынша мүмкіндік жасау керек. Даярлық кезінде оқушыларға жеке немесе ұжымдық тапсырмалар беріледі. Мәселен, қабырға газетін шығару, қолжазба журнал шығару, стенділер даярлау, көрнекі құралдар көрмесін ұйымдастыру жұмыстарын тапсырма ретінде беруге болады. Әдетте, математикалық апталық альбомдар, қабырға газеттерінің сайысынан басталып, математикалық ойындар, жарыстар мен олимпиадалар өткізумен аяқталады. Жеңімпаздар арнайы атап өтіліп, оларға жүлде тапсырылады. Математикалық апталықты мынадай жоспарда өткізуге болады. 1. Дүйсенбі «Математика – ғылымдар патшасы» - конференция. 2. Сейсенбіде «Әр түрлі санау жүйелері» - үйірме. 3. Сәрсенбіде «Ойшылдар, алғырлар, тапқырлар» - математикалық сайыс. 4. Бейсенбіде математикалық олимпиада. 5. Жұмада қызықты есептер, жұмбақ есептер, ребустар, кроссвордтар жарысы және т.б. 6. Сенбіде «Қызықты математика» - математикалық кеш. Математикалық кеш - сыныптан тыс жұмыстардың кең тараған түрінің бірі. Математикалық кештің мақсаты – оқушылардың алған білімдерін тереңдете түсу, олардың практикада, өмірде кең түрде қолданылуын көрсету, оқушылардың жаңа ғылыми және техникалық идеялар әлеміне енуіне көмектесу, өз ойын жеткізе білуге үйрету. Бұл кештердің білім беру, үйрету бағытымен қоса тәрбиелік мәні болуы тиіс, яғни оқушылардың ғылыми көзқарастарын қалыптастыруға, еңбек сүйгіштікке баулуға ықпал етуі керек. Кешке арналған газеттер, ребустар, викториналар, сөз жұмбақтар күні бұрын даярланып ілінеді. Оны оқушылар алдын ала оқып біліп талдауы қажет. Кешке арналған оқушылардың эстетикалық талғамына сай газеттер сайысын ұйымдастыру керек, сондай–ақ оқушылардың өздері жасаған фигуралардан, қызықты математикалық кітаптардан көрмелер ұйымдастырылады. Кештерді көбінесе эстафеталық түрде өткізген жөн. Параллель сыныптардың, не жарысқа қатысушы жақтардың өз бағдарламасы, өзіндік ерекшеліктері, құпиясы болуы керек. Кештің бүкіл мазмұны таңдап алынған тақырыбына сай болған жөн. Міндетті түрде әрбір кештерде кеш болатын жерде «Білімінді тексер!», «Ауызша есептеп үйрен!», «Сен білесің бе?!», «Бірден сызып шық», т.б. тақырыптарда газеттер, викториналар ілінеді. Кештің қызықты мазмұнды өтуіне зор мән берген жөн. Қызықты математика кештері әсіресе, V-IX сынып оқушылардың қызығушылығын арттырумен бірге, ғылыми мәліметтерді уағыздаудың маңызды құралы болуы тиіс. Қызықты математика кештерінің бағдарламасы әдетте көркемделген, әр алуан айшықты материалдарды қамтиды және мұнда қысқаша хабарламалар, викториналар, математикалық жұмбақтарға кең орын беріледі. Математикалық олимпиада оқушылардың математикалық білімінің артуына ерекше жағдай жасап, олардың ойлауын, қызығушылығын, білімге құштарлығын тәрбиелеуде және олардың білімдерін тереңдетуде үлкен рөл атқарады. Олимпиадалық есептерді үнемі шығару арқылы оқушылардың өзіндік жұмыстар жүргізуіне, ғылыми көпшілік әдебиеттерді пайдалана білуге бейімделіп, білім–білік дағдысы артады. Математикалық олимпиада математиканы оқытудың жалпы деңгейін жақсартады, оқушылардың алған білімінің сапасының артуына мүмкіндіктер жасайды. Математикалық олимпиадалар – дайындығы неғұрлым жоғары оқушылармен жүргізілетін жарыс. Мұнда белгілі табыстарға жету үшін алдын ала даярлық жұмысын жүргізген жөн. Мәселен, алғашқы кезеңде бұрынғы олимпиадада пайдаланылған есептер мен жаттығулардың мазмұны ілінеді және сол есептер мен жаттығулар бойынша ұдайы кеңестер жүргізіледі.   38. Математика сабағын талдау. Өзінің немесе әріптесінің жұмысына бақылау жасау үшін мұғалім сабақты талдай білуі керек. Сабаққа талдау жасау арқылы өзінің немесе әріптесінің қызметіндегі кемшіліктер мен жетістіктерді бақылап, өзі үйренеді. Математика сабағын талдау мынадай түрде жүргізілуі мүмкін. 1. Жалпы мағлұматтар: сынып, тақырып, мақсаттар, сабақтың түрі, құрылымы. 2. Сабақтың басталуы (ұйымдастыру кезеңі): формасы, ұзақтығы, тиімділігі. 3. Үй жұмысын тексеру: оның мақсаты. Қалай тексерілді? Үй жұмысын тексерудің ұзақтығы, тиімділігі. 4. Сұрақтар мен тапсырмалардың қойылуы мен мазмұны. Бағалар қалай қойылды? Қойылған бағаның оқушының білім деңгейі мен біліктілігіне сәйкестігі. Мұғалімнің дұрыс және бұрыс жауаптарға әсері. 67 5. Оқушылардың алдына сабақтың мақсаты қойылды ма? Жаңа материалдың мазмұны мен көлемі. Баяндау әдісі. Көрнекі құралдарды қолдану. Оқулықпен жұмыс, оның қажеттілігі мен тиімділігі. Сабақтың негізгі маңызды жерін бөліп көрсету. 6. Оқығанды тиянақтау. Оның қорытындысы неде? Сұрақтардың, есептердің таңдап алынуы және олардың көлемі, есептермен жұмыс жасау әдісі. Өзіндік жұмыс болды ма? Оның ұйымдастырылуы, мақсаты. 7. Келесі сабаққа тапсырма. Оның мақсаты. Мазмұны мен көлемі. Оқушылардың тапсырманы түсінігіне мұғалімнің көзі жетті ме? Тапсырманы орындау сабақтың мазмұны және әдістемесімен қамтамасыз етілді ме? 8. Мұғалім сабақты қалай аяқтады. Сабақ жоспарының орындалуы. Мақсатқа қол жетуі. 9. Қорытындылар мен ұсыныстар. Сабақты талдаған кезде қозғалатын басқа да сұрақтар. Жалпы сабақ құрылымының үйлесімділігінің бағасы және басқа кезеңдеріне жіберілген уақыт. Уақыт босқа кетіп қалған жоқ па? Оқу жұмысының формасын, әдістерін таңдап алуды негіздеу және олардың сабақ мақсаттарына сәйкес келуі. Оқушыларды саралап оқыту: тапсырманың көлемі, қиындық дәрежесі оқушыларға көмек көрсету дәрежесі. Сабақтың тәрбиелік мәні: логикалық ойды дамыту, дүние тану көзқарасының практикамен байланысы, өнегелік тәрбие жағы және т.б. Мұғалімнің сабаққа дайындығы, оның педагогикалық іскерлігі, мұғалім мен оқушылардың еңбек ету барысындағы мәдениеттілігі, ұқыптылығы, мінез-кейпі, оқушылармен қарым-қатынасы. Сабаққа гигиеналық талаптарды сақтау: тазалық, жарықтың түсуі, оқушыларды дұрыс отырғызу және т.с.с. Мұғалімнің сөзі дәл және айқын ба? Ол нақты жауаптарды талап ете ала ма? Математика кабинетінің мүмкіндіктерін пайдалану және сабақты ұйымдастыру туралы басқа да сұрақтар. Мұғалім талдау барысында өз сабағына сырттай қарауға, оны тұтастай алғанда, құбылыс ретінде тануға жекелеген оқушылармен, сыныппен бірлесе отырып, тәжірибелік өзгерістер жасаудағы өзінің теориялық білімінің, тәсілдерінің жиынтығын мақсатты саралауға мүмкіндік алады. Бұл өзінің күшті және әлсіз жақтарын бағалауға, жүзеге аспайтын қорларды анықтауға, қызметтің жекелей стилінің кейбір сәттерін нақтылауға мүмкіндік береді. Сабақты талдау процесі көп қырлы: ол – мұғалімнің өзінің, оның нақты бір сабақтағы қызметінің, ұйымдастыру, танымдық қабілеттерінің, өтілген материалдарды оқушының игеруіне әрекет етуінің, қажетті дағды мен білік қалыптастыруының, оқушылардың білім алу ерекшеліктерін сыныптың әлеуметтік қалыптары мен құндылықтарын, қарым – қатынастың басым жағдайын, жекелеген оқушылардың мәртебесін, оқу пәнінің ерекшеліктеріне негізделген «мұғалім-оқушы», «оқушы-оқушы», «оқушы-мұғалім» жүйесіндегі қарым – қатынас заңдылықтарына сүйенуді есепке алудың психологиялық ерекшеліктері. Сезіну және өз бетінше тану процесі ретіндегі сабақты талдау өздігінен мұғалімнің талдау қабілетін қалыптастырады, қызығушылығын дамытады және оқыту мен тәрбиелеудің проблемаларын үйренудің қажеттігін анықтайды. Күрделі педагогикалық құбылыстарға бақылау жүргізе білу, оларды талдау, жинақтау және ғылыми түрде негізделген қорытынды жасау кәсіби–педагогикалық шеберлікті жетілдірудің шынайы құралы болып табылады.   39. Орта мектеп геометрия курсының логикалық негіздерін оқыту әдістемесі. Мектепте 7-сыныптан бастап геом.ң жүйелі курсы оқытылады: 7-9 планиметрия, 10-11 стереометрия. Геометрия сөзі (гео-жер, метрео-өлшеймін) жерді өлшеймін деген сөзінен шыққан. Планиметрия жазықтықтағы фигураларды қарастырады, ал стереометрия кеңістіктегіні де қарастырады. Мектеп планиметрия курстында 9 аксиома бар. Стереометрия курсында 3 аксиома. Барлығы 12 аксиома. Негізінде Гильбердтің аксиоматикасында 5 топтан тұратын 20-дан астам аксиомалары бар. Мектеп геом курсын өте қатаң түрде құрмай негізгі ұғымдардың санын көбейтіп, аксиомалар санын азайтып қарастырған. Мектеп геом курсында «аксиома» деген сөзді алғашқы сабақтарда қолданбай оның орнына негізгі қасиет деген сөзді бірінші тараудың соңына енгізеді. Алғашқы теоремаларды ауызша дәлелдеп, шарты мен қорытындыны бөлуді 3-ші теоремадан бастайды. 10 сыныпта стреометрия курсы басталғанда планиметрия аксиомаларына стреометрия аксиомалары қосылады. 10 сыныптың алғашқы сабақтары кеңістік аксиомаларына арналады.   40. Орта мектепте оқушылардың кеңістікті ойлау қабілетін қалыптастыру Қазіргі мектеп әрбір мұғалімнен жаңаша жұмыс істеуін, батыл шығармашалық ізденісін, оқушылардың белсенділігі мен қызығушылығын арттыруды талап етеді. Сондықтан, мұғалім өз білімін жан-жақты жетілдіре отырып, оқушыны қызықтырып оқыту керек-ақ. Ұлы неміс педагогы А.А.Дистервег: «Жаман мұғалім ақиқатты өзі айтып береді, ал жақсы мұғалім оқушының өзін ізденуге жетелейді, ойлауға үйретеді» – деген. Адамзат баласының өз ұрпағын оқыту, тәрбиелеудегі ең озық, тиімді, ізденістерін, тәжірибелерін жалғастырып, тың жолдарын іздеу, классикалық педагогиканың озық үлгілерін жаңашылдықпен дамыту жалғаса бермек. Педагог- ғалым Беспалько өзінің «Слагаемые педагогической технологии» деген еңбегінде былай дейді: «Оқу - тәрбие үдерісінің алдын ала жүйелі түрде жоспарлануы және оның тәжірибеде жүзеге асуы – белгілі бір педагогикалық жүйенің тәжірибеде жүзеге асу жобасы». Мұғалім өзінің инновациялық іс -әрекетін қалыптастырып, оны меңгеріп, сол жаңа педагогикалық технологияларды оқу-тәрбие үрдісінде жүйелі пайдалану арқылы оқушылардың білім сапасын арттыруы қажет. Оқу-тәрбие үдерісінде педагогикалық технологияларды ендірудің алғашқы шарты: мұғалімдердің иннновациялық іс-әрекетін қалыптастыру болып табылады. Педагогикалық технологияларды меңгерген әрбір мұғалім өз сабағын нәтижелі даму жағынан көре алады.Баланың жеке қабілеті мен әлеуметтік белсенділігінің дамуына жол ашып, шығармашылық тұлға қалыптастыру міндетінде жемісті нәтижеге жетеді. Келешекте қоғамымызда жеке тұлға қалыптастырудың негізгі міндеттерін бастауыш мектеп шешуі тиіс.Бастауыш мектеп – баланы оқуға үйрету мен тәрбиелеу оның тұлға ретінде өзін-өзі ашуға, жалпы дамуының қалыптасуына жағдай жасайтын негізгі саты. Қазіргі таңдағы мұғалім оқушы үшін «дайын» білім көзі болмай, керісінше кіші мектеп оқушыларының танымдық іс-әрекетінің ұйымдастырушысы және үйлестірушісі бола білуі қажет. Кіші мектеп жасындағы оқушының негізгі ерекшелігі – білімді қызығушылықпен алуы. Бүгінгі таңда өмірде болып жатқан өзгерістерге байланысты қоғамның шығармашылық әрекетпен шығармашыл тұлғаға мұқтаж екендігі дәлелденуде. Әдетте психологияда ойлаудың үш түрі қарастырылады: көрнекі көркем, сөйлеу-логикалық.Ең алғашқысы (3жасқа дейінгі балаларда болатын) практикалық-қимылды ойлау. 4-7 жас аралығында көрнекі-көркем ойлау басым болады. Мектептің алғашқы жылдарында сөйлеу-логикалық ой көрнекі-көркем ойлаумен қабаттаса дами бастаса,орта және жоғарғы сынып оқушыларында бұл маңызды орын алады.Тапсырма сөйлеу арқылы орындалады. Ойлауды дамытудың негізі–сөйлеу тілі. Ойлаудың даму барысында кейінгі ой алдыңғысын мүлде жоққа шығармайды. Оқушылардың ойлауын дамытуда дидактикалық зерттеу әдістерінің орны ерекше. Атап айтсақ, ойын арқылы зерттеу. Бастауыш сыныптарда оқыту барысында халық педагогикасында қалыптасқан балаларға арналған ойындар олардың білімін арттыруға септігін тигізеді. Халық ойындарының көптеген түрлерін сабақтан тыс бос уақыттаұйымдастырған жөн. Аталған әдісті сабақ үстінде дидактикалық ойын ретінде қолдануға әбден болады. Сондай- ақ жұмбақтар арқылы зерттеу әдісінің деоқушылардың ойын қорыта білуге назар аудара отырып, ассоциация жасатуда орны ерекше. Жұмбақты қолдану баланың ойлау қабілетін зерттейтін өте тиіміді әрекет. Жұмбақтардың тиімділігі сол ол әр баланың зейінінің ойлау қабілеттерін ашуда аңғарылады.Мысалы:Жабық астында жарты күлше. (Ай). Отқа жанбас, суға батпас (Мұз). Басына үлпілдетіп таққан шашақ, Бұралып тал шыбықтай тұрған жасап. (Қамыс). Қар астында қыстады, Жасылмен бөрік тыстады. (Бәйшешек).Бұл жұмбақтар балаларды табиғат маусымдарында кездесетін ерекшеліктермен таныстыруды көздейді. Шығармашылық тапсырмалар арқылы зерттеу әдісі - соңғы кезде тиімді қолданылып жүрген әдістің бірі. Шығармашылық тапсырмалардың басым көпшілігі дидактикалық ойын ретінде ұйымдастырылғандықтан, бала жаны оны танымдық тұрғыдан гөрі өмір заңдылығы деп ұғынуы тиіс. Теориялық зерттеу әдістерінің қайнар көзі саналатын балаларды ой еңбегіне тәрбиелеу түгелдей оқыту-тәрбие жұмыстарының кезінде жүргізіледі. Ойлау қабілетін зерттеудің маңыздылығы мұғалім мен оқушының белсенді әрекеттерінен туады. Ойлау дамудың жеке көрсеткіштерінің бірі болып табылатындықтан, баланың жанын ұғынуда орны зол болмақ. Ізденіс кезеңіндегі қолданылатын әдістер байқау, сұрақ-жауап, іздендіру, зерттеу, жалқылау, жалпылау, салыстыру, эвристикалық десек, қайсыбірінің болмасын бала танымын арттыруда орны ерекше. Психологиялық зерттеу әдістері саналатын ойлау түрлерін психологияда кең тараған бағыттарына затты әрекеттік, көрнекі-бейнелі, сөздік логикалы түрлері жатады. М. Жұмабаев: «Ойлау – жанның өте бір қиын құбылысы, ол зерек ойлау, зерек қабылдау» - деп бекер зерделемесе керек. Қолданылатын «Артық сөзді алып тастау», «Төртінші артық», «Үй әдістемесі» тапсырмалары ойлауға жетелейді. Жетелеп қана қоймай, ой түйіндеуге шақырады. Ойлау әрекеті жайлы Е.И. Рогов «Настольная книга практического психолога в образовании» еңбегінде ойлаудың ерекше есте сақтау, байқағыштық, танымдық қажеттілі, икемділік уәждеріне назар аудара отырып, оқушының логикалық ойлау қабілетін арттырудағы субъект ретінде дамуындағы ақыл-ой, шығармашылық, мотивация, субъект-субъектілік, білімге құштарлық, еңбексүйгіштік, мақсатқа жету, субъект ерекшелігінің мүмкіндік ұстанымы, мен концепциясы, құзырлылық, өзін-өзі басқару, басқа адамды субъект деп тану, дарындылық, өзін -өзі дамыту, ассоциативті есте сақтау эмоцианалды белсендік жайлы жан-жақты тоқталады. Мысалы, К. Йерасектің баланың мектепке дайындығын бағдарлау тест тапсырмасының ауызша түрі қызық-ақ: Жануардың қайсысы үлкен – жылқы ма, ит/Жылқы 0 ұпай, қате жауап = -5 ұпай; Күндіз жарық па, әлде түнде.../Қараңғы – 0 ұпай, қате жауап =-4 ұпай/ т.б. В.С. Мерлиннің әдістемесі балалардың логикалық ойлауын жеткізуді анықтауды көздейді. Осындай тапсырмалар орындау барысында оқушылардың субъектілік алғы шартына назар аударылады. Олардың пәнге деген қызығушылығы артады, ой-өрісі дамып, бойларында шығармашылық пен дарындылық пайда болады. Сабақ кезінде оқушылардың ойлау, есте сақтау қабілетін дамытуға назар аударылады.Бұл уақытта заттың орнын дұрыс белгілеу және оларды ыждаһаттылыққа тәрбиелеу көзделеді. Өтілетін тақырыпты тақтаға жазып, оның негізгі мазмұны түсіндіріледі. - Балалар, суреттен нелерді көрдіңдер? - Құстарды. - Кәне, бұл суреттегі құстардың аттарын атаңдаршы. - Үйрек, тауық, қаз, қораз, күркетауық. Осы арада оқушыларға жабайы және үй құстары туралы мәліметтер беріледі. - Балалар, мына суреттегі құстар нешеу? - Барлығы бесеу. - Қазір біздер «Орынды тап» ойынды ойнаймыз. - Үйрек нешінші орында? - Бірінші. - Тауық ше? - Екінші. - Қораз ше? - Үшінші. - Қаз ше? - Төртінші. - Күркетауық ше? - Бесінші. Балаларолардыңорындарынцифрменбелгілейді. Оданкейінқалташаға салады. «Орынды тап» бұлойындызаттарды, құстардысөреге қояды. Аққораз-ау, аққораз, Сауысқандайсаққораз, Таңатқаншашақыр да: Тауықтардыбаққораз. Оқушыларөлеңде «Қораз» дегенсөзнешерет, ал бірнеше қайталанатын сөздер нешеу екендігін айтулары тиіс. Сабақтыоданәрі«Тез табамыз», «Кім тез»ойындарымен жалғастыруға да болады. Шығармашылық тапсырмалардың ішінде заттардың формасын, түрін, түсін анықтау көзделсе, кеңістікте бейнені құрастыру тапсырмалары беріледі. Мұнда тапсырманың тәрбиелік мәніне деназар аударылады. Қиылған әр түрлі геометриялық фигуралардан бұйым шығару мақсаттары алынады. Қажетті көрнекілікте тіктөртбұрыштар, үшбұрыштар, үлкен-кіші көлемдегі дөңгелектер болып табылады. Қиылған пішіндерді қарау, талдау, қандай бейне жасауға, бейнені белгелі бір затқа ұқсата құрастыру, егер оның бір немесе бірнеше бөлшегін өзгертсе, басқа зат құралатындығын балалар өздері айтуы тиіс. Осы және басқа фигураларды құру арқылы баланың бейнелік көзқарасы қалыптасады. Бала заттар мен құбылыстардың ара қатынасы, олардың кеңістікте орналасуына мән береді. Шығармашылық тапсырмаларды қолдау арқылы балалардың ойлау қабілетін дамытуға әбден болатындығын тәжірибе көрсетіп отыр. Бастауыш сынып оқушыларының ойлау қабілетін зерттеу әдістері қазіргі мектептегі дамыта оқыту бағдарламасының танымдық қабілеттерді арттырудағы бірден-бір негіз. Ғалым Выготский: «Әр баланың өзінің деңгейі болатындай әр балаға берілетін тапсырманың көлемі оның деңгейіне лайықталып беріледі.Әр баланы өзінің даму зонасында жетілдіру керек» деген екен. Сондықтан әр баланың жан-дүниесіне үңілуден бастап, өзіндік ерекшеліктерін зерттеп,біліп алған соң,олардың қабылдау деңгейіне қарай іріктеп, талдап, қолданған жөн. Сабақ жасөспірімдердің интеллектуалды өмірінде құр ғана сабақ болып қоймас үшін, ол қызықты болу керек. Осыған қол жеткенде ғана мектеп жасөспірімдер үшін рухани өмірді тілеген ошағына, мұғалім осы ошақтың құрметті иесі мен сақтаушысына айналады»-деген екен дана Сухомлинский. Олай болса,қызықты сабақтар–мұғалімнің ашқан жаңалығы, өзіндік қол таңбасы,әдістемелік ізденісі,көтерілген белесі, абырой атағы, мақсат–мұраты. Шығармашылық ойлау нәтижесіне жетелейтін, бірден – бір мұғалімнен ерекше шеберлікті қажет ететін әрекет.   41. Орта мектепте геометриялық түрлендірулерді оқыту  Геометриялық фигуралардың өлшемдерін анықтап және қасиеттерін оқып-үйренумен қатар, оларды түрлендіруді де қарастыруға болады. Шеңберді мысалға ала отырып бейне және кері бейне ұғымдарын енгізіп алады. Анықтама. Егер жазықтықтың әрбір Х нүктесі қандай да бір заңдылықпен осы жазықтықтың  нүктесіне бейнеленсе, онда жазықтықты (геометриялық) түрлендіру берілген дейміз. Бұл жағдайда әртүрлі Х және У нүктелері әртүрлі  және нүктелеріне бейнеленеді. Егер түрлендіруде қандай да бір нүкте өзіне-өзі бейнеленсе, онда бұл нүкте түрлендірудің қозғалмайтын нүктесі деп аталады. Ал егер түрлендіруде жазықтықтың әрбір нүктесі қозғалмайтын нүкте болса, онда мұндай түрлендіру тепе-тең түрлендіру деп аталады. Түрлендірулер әртүрлі болуы мүмкін: фигураның пішінін өзгертетін түрлендірулер және фигураның пішінін де өлшемін де сақтап, тек оның оорналасу жағдайын өзгертетін түрлендірулер де бар. Анықтама.Жазықтықтағы нүтелер жұбының арақашықтығын сақтайтын түрлендіруді қозғалысдеп атайды. 1-теорема.Түзуде жататын нүктелерді қозғалыс түзуде жататын нүктелерге бейнелейді және олардың орналасу ретін сақтайды. Дәлелдеу. А, В, С нүктелерін қозғалыс сәйкесінше А′, В′, С′ нүктелеріне бейнелейді делік. В′ нүктесі А′ пен С′нүктелерінің арасында жататынын дәлелдейік (2-сурет) В′нүктесі А′ пен С′ арасында жатпайды делік. Сонда үшбұрыштар теңсіздігі бойынша А′С′˂А′В′+В′С′. Бірақ қозғалыс А′С′=АС,А′В′=АВ,В′С′=ВС арақашықтықтарын сақтайтындықтан, АС˂АВ+ВС болып шығады. Бұл В нүктесі А мен С-ның арасында жатқандаорындалатын АС= АВ+ВС теңдігіне қайшы келеді. Демек, В′ нүктесі А′ пен С′ арасында жатады. Теорема дәлелденді. 1-салдар.Қозғалыс түзуді түзуге, сәулеге, кесіндіні кесіндіге бейнелейді (көшіреді). 2-салдар. Қозғалыс сәулелердің арасындағы бұрышты сақтайды. 2-теорема.Бірінен соң бірі орындалған екі қозғалыстың нәтижесі де қозғалыс болады. Дәлелдеу. Бірінші қозғалыс М нүктесін М′ нүктесіне, ал екінші қозғалыс М′ нүктесін М′′ нүктесіне бейнелесін (4-сурет). Бұл екі қозғалысты М нүктесін М′′ нүктесіне көшіретін бір түрлендірумен ауыстыруға болады. Және бұл жағдайда жазықтықтың әртүрлі нүктелері іртүрлі нүктелерге бейнеленеді де, біз шындығында да түрлендіру аламыз. Осы әдіспен құрылған түрлендірулердің қозғалыс болатынын дәлелдеу қалады. Бірінші қозғалыста М′ және N′ нүктелеріне бейнеленетін жазықтықтың әртүрлі М және N нүктелерін қарастырайық. Екінші қозғалыстың нәтижесінде бұл М′ пен N′ нүктелері сәйкесінше М′′ және N′′ нүктелеріне бейнеленсін, МN=М′N′=М′′N′′ болғандықтан, М мен N нүктелерін М′′ және N′′ нүктелеріне көшіретін түрлендіру қозғалыс болады. Теорема дәлелденді. Анықтама. Егер қозғалыс арқылы екі фигураның бірін екіншісіне бейнелеуге болса, онда бұл фигуралар тең деп аталады. Анықтама. Егер F фигурасының барлық нүктелері бір бағытта және бірдей қашықтыққа ығыстырылса, онда F фигурасы параллель көшірілген делінеді.   Параллель көшіру– ол фигураның барлық нүктелері бір векторға ығыстырылған түрлендіру. 4-теорема.Параллель көшіру қозғалыс болады. Жазықтықтағы фигураларды түрлендіру Егер F фигурасының әрбір нүктесін қандай да бір заңдылықпен жазықтықтағы басқа бір нүктелерге көшіру (жылжыту, ен ауыстыру) арқылы F` фигурасын алсақ, онда F финурасын F` финурасына түрлендірілді деп есептейміз. Ал осы тәсілмен жазықтықтағы әрбір М нүктесін М`нүктесінде көшіретін болсақ,онда жазықтықты түрлендіру берілді деп есептейміз.Мұнда жазықтықтың әрбір М нүктесіне тек бір ғана М`нүктесін сәйкес қоямыз.М`−ты М нүктесінбейнесі деп, ал М нүктесін М` нүктесінің түпбейнесі деп атайды.Осы сияқты, F фигурасын F` фигурасына түрлендірсек,онда F` фигурасы F-тің бейнесі деп, ал F фигурасы F`-тің түпбейнесі деп аталады.Енді жазықтықты түрлендірудің төрт мысалмен танысалық. Центрлік және осьтік симметриялаp Жазықтықта қандай да бір О нүктесін белгілейік.Осы жазықтықта кез келген А нүктесі үшін ОА түзуі бойынан ОА=ОА' теңдігі орындалатындай етіп,А' нүктесін алайық.Онда А және А' нүктелері О нүктесіне қатысты симметриялы нүктелер деп аталады.Мұнда О нүктесін симметрия центрі деп атайды. (1−сурет)                                А'                                                                                                                     О · А  

Сурет

Жазықтықтағы әрбір нүктені белгілі бір О центріне қатысты симметриялы нүктелерге көшіретін түрлендіруді цетрлік симметрия деп атайды.Егер F фигурасының кез келген нүктесін О центріне қатысты симметриялы нүктелерге көшірсек, онда жалпы жағдайда, өзге F' фигурасы алынады.Бұл F және F' фигураларын О центріне қатысты симметриялы фигуралардеп атайды..Егер F фигурасын О нүктесіне қатысты симметриялы F' фигурасына түрлендіргенде бұл фигура өзіне өзі көшетін болса, яғни F=F' болса, онда F фигурасының симметрия центрі бар болып есептейміз, ал О нүктесі F фигурасының симметрия центрі деп аталады.

       Теорема, 1.Центрлік симметрия сәйкес нүктелердің арақашықтығын өзгертпейді.

       Дәлелдеу.Теорема шартын былай түсіну қажет: егер центрі О нүктесінде болатын симметрия кезінде А және В нүктелері сәйкес А' және В' нүктелеріне көшетін болса,онда АВ=А'В' теңдігі орындалады.Міне,осы тұжырымды дәлелдеуіміз қажет.

       Шынында да,< АОВ=<А'ОВ',АО=ОА', ВО=ОВ' теңдіктерінің ΔАОВ=ΔА'ОВ'(үшбұрыштар теңдігінің I белгісі).Осыдан АВ=А'В' теңдігі шығады.Теорема дәлелденді.

 

42. Геометриялық түрлендірулерді есеп шығаруға қолдану әдістемесі (гомотетия)

 

 

43. Орта мектепте оқушылардың теоремаларды дәлелдеуге үйрету әдістемесі

Оқушыларға әр түрлі дәлелдеулео әдісін үйретудің басты мақсаты – математикалық теорияларды игеру және оларды өздігінен теоремаларды дәлелдеуге машықтандыру. Сондықтан оқушыларға дәлеледеу әдістерін үйрету үшін теоемаларды дәлелдеудің мағынасынан шығатын оларды баяндау қағидаларын сақтау қажет. Дәлелдеудің мағынасы - теореманың шартынан қорытындысына логикалық көшуі екені мәлім. Олай болса, бұл көшуді іске асыру үшін оқушы теореманың шарты қайсы, қорытындысы қайсы екенін ажырата білуі тиіс. Теореманы дәлеледеудің басты қағидасы – оқушыларға теореманың шарты мен қорытындысын айырып көрсету, оларды саналы ажыратуға қол жеткізу. Теореманы дәлеледегенде оның шарты орындалды деп есептеледі. Ол шарт дәлелдеуге пайд.ды. Мұнда ескеретін екінші қағида – дәлелдеу барысында теореманы толық пайдалану тәсілдерін баяндау. Дәлелдеуді баяндау кезінде осы базаға сүйену үшін, оқушылар материалды түбегейлі игеруі тиіс. Сондықтан әрбір жаңа дәлелдеуді баяндаудан бұрын сүйенетін материалды қайталап, еске түсірген жөн. Олай болса, мұғалім дәлелдеуді баяндауға даярлану үстінде қанша материал қажет екенін, оларды пайдалану тәсілдерін белгілеп алғаны дұрыс ( 3- қағида). Т.д. 4 – ші қағидасы дәлелдеу кезінде ан.н ұғымды оның анықтамасымен алм.у. Т.д. 5 – ші қағидасының мәні талдау сипатына ыңгайлы анықтаманы пайдалану.

 

44. Көпбұрыштар, классификациясы, орта мектепте оқыту әдістемесі

Көпбұрыш – жазықтықтағы кез келген тұйық сынық сызық. Сынық сызықтың әрбір бөлігі көпбұрыштың қабырғасы, ал олардың ұштары көпбұрыштың төбелері деп аталады. Егер сынық сызық қарапайым болса, онда көпбұрыш қарапайым көпбұрыш деп, ал күрделі болса, жұлдыз тәрізді көпбұрыш деп аталады. Көпбұрыш жазықтықты бірнеше облысқа бөледі. Қарапайым көпбұрыш жазықтықты біреуінде түзу толығынан жататын, ал екіншісінде толық жатпайтын екі облысқа бөледі. Біріншісін көпбұрыштың сыртқы облысы, екіншісін ішкі облысы дейді. Көпбұрыш осы облыстардың шекарасы болады. Көпбұрыш пен оның ішкі облысын біріктірсек, екі өлшемді көпбұрыш шығады. Егер көпбұрыштың төбелері кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзудің бір жағында жатса, онда оны дөңес көпбұрыш дейді. Төбесі арқылы өтетін қабырғалардың ішкі облыс жағынан жасайтын бұрышын көпбұрыштың ішкі бұрышы дейді. Бір қабырғаның ұштары болмайтын екі төбені қосатын кесіндіні көпбұрыштың диагоналы дейді. Егер көпбұрыштың барлық қабырғалары мен ішкі бұрыштары өзара тең болса, онда оны дұрыс көпбұрыш деп атайды. Дұрыс көпбұрыш әрқашанда дөңес болады. Тек үшбұрыштың ғана қабырғаларының теңдігінен бұрыштарының теңдігі шығады. Жалпы жағдайда олай болмайды. Қабырғалары тең, бірақ бұрыштары әр түрлі n бұрышты көпбұрыш (n>3) және бұрыштары тең, бірақ қабырғалары әр түрлі n бұрышты көпбұрыш болуы мүмкін. Дұрыс көпбұрыштың барлық төбелері арқылы өтетін сырттай шеңбер сызуға болады.

Көпбұрыш түрлері

45-46. Сан ұғымын кеңейту. Сандық системаларды оқыту әдістемесі.

Сан – математиканың нег. ұғымдарының бірі. Сан ұғымын санау процессінде пайда болған. Сандарға әр түрлі амалдар қолданылады. Бастауыш сыныптарда қосу, азайту, көбейту, бөлу амалдары өтіледі. Орта сыныпта – квадраттау, түбірден шығару, логарифмдеу, дәрежелеу. Жоғары сыныпта – жорамал сандар. Сан жүйелерін оқытуға арналған арнайы « сандық системалар» деген пән бар. Бұл пәнде сандар жүйесінің аксиоматикалық құрылымы қарастырылады. Д. Пеано аксиомасы негізінде н.с. жиыны енгізіледі. Мектепте 1 сыныптан бастап әрине сандар , ең алғаш н.с. қолданылады. Ол сандарды оқушыларға түсіндіргенде нақты мыс. арқылы түсіндіреміз. Натурал сандар (н.с.) бір типті немесе бірнеше типті заттардың құрамың анықтау үшін алынады. М.лы: 1,2,10,20,100,256,1000 тағы сол сияқты сандар. Н.с. ұғымы онанда қарапайым ұғымдар үшін анықтамайтын мат – ғы алғашқы ұғым – ң 1 – і болып табылады. Н.с. міндетті түрде олардың өсу ретімен орналастырылады: әрбір н.с. келесіне ( алдыңғысынан 1 сан қосқанда шығарылып алынады). Өсу ретімен жазылғанда н.с. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10... Н.с. натурал қатарды құрайды. Мұндағы көпнүкте бұл қатардың шектелмегендігін көрсетеді. Бұны н.с. жиыны шексіз деп түсінеміз. 1 – ең кіші н.с. Н.с.қатарында ең үлкен сан болмайды. Н.с. 10 – дық санау жүйесінде жазу үшін 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 цифр қатысады. Санды білдіретін цифрларды оңнан солға қарай алғанда тұрған орнына байланысты сонда неше 1,10,100,1000 бар екенін анықтайды. Жалпы к – ншы орында тұратын цифр оңнан бастап санағанда 1  дәрежесі бірліктің бар екенін анықтайды. М.лы: 347 = 3 ·  + 4 · 10 + 7; 5096 = 5 ·  + 0 ·  + 9 · 10 + 6. Алгебрада және арифметикада сандар арасында әр түрлі амалдар қолданылады: + , - , : , · ,дәрежеге шығару, түбірден шығару т.б. Олардың алғашқы 4 ариф – қ немесе рационалдық амалдар д.а. Бірақ олардың алғашқы 2 – уі ғана қосу және көбейту н.с. жиынында сөзсіз орындалады. Н.с. қосындысы және көбейтіндісі натурал сандар болады. Азайту және болу амалдары н.с. жиынында кейде орындалады, кейде орындалмайды, Мұнда бұл соңғы 2 амал әрдайым орындалу үшін н.с. жиынын кеңейтуіміз керек. Кеғейтудің 2 жолы бар:1) қосу және көбейтуден кейін азайту амалын орындаймыз; 2) + және көбейтуден кейін болу амалын орындаймыз. Біздің мектептерде сан жүйесін кеңейтудің бірінші жолы қолд.ды, ал прибалтиканың авторлары Нурк, Тельгмалардың математика оқулығында «Сан ұғымының кеңейтудің екінші жолы қарастырылады».

 

47. Мектептің математика курсындағы бөлшек сандар және оларды оқыту методикасы (МОМ)

Натурал сан ұғымының алғашқы кеңейтілуі ратурал сандар жиынына бөлшек сандар жиынын қосуға болады. Бөлшек сандардың пайда болу шамалары өлшеудің және кез келген натурал санды басқа бір натурал санды басқа бір натурал санды басқа бір натурал санға бөлудің қажеттілігінен туды. Қандай да бір шаманы өлшеу оны сапалық жағынан өзімен біртекті, бірлік өлшем ретінде қабылданатын басқа шамамен салыстырудан тұрады. Жай бөлшек деп p/q түріндегі санды атаймыз (мұндағы p мен q натурал сандар). p саны бөлшектің алымы, q саны бөлшектің бөлімі. Бөлшектің бөлімі нөлге тең болмайды. Кез келген натурал p саны бөлщектің дербес жағдайы, өйткені оны p=p/1 деп жазуға болады. Бөлшек – алымының бөліміне бөліндісі болады. Бөлімдері 10, 100, 1000,… сандары болатын бөлшектер ондық бөлшектер д.а. Ондық бөлшектер мына түрде жазылады: 3,4; 0,63; 27,081 және т.с.с. 

Егер бөлшектің алымын да бөлімін де бірдей натурал санға көбейтсек немесе бөлсек, онда бөлшектің шамасы өзгермейді. Бөлшектің алымы мен бөлімін бірдей натурал санға бөлуді бөлшектің қысқарту д.а.

 

48. Орта мектепте теріс сандарды енгізу әдістемесі

Оң және теріс сандар.
Натурал сандар санау нәтижесінде пайда болғаны баршамызға мәлім.Сан ұғымының тарихи дамуы мұнымен шектелмеді. Сан ұғымының ұлғайуына байланысты талап еткен жағдайлар шексіз . Сондықтан теріс сан ұғымының жарық көруіне бірден -бір себеп.
Теріс сан ұғымы алгебралық теңдеулер шешу практикасында пайда болған.Алғашыда + және – таңбалары болмаған.Оң сандарды қызыл түсті таяқшалармен , ал теріс сандарды қара түсті таяқшалармен көрсеткен. Үндістанда теріс сан борыш, оң сан мүлік ретінде қарастырылып амалдар қолданған .
Арифметикалық есептеулер жүргізу, теңдеулер шешу, алгоритмдер жасау барысында Қытай математиктері математика тарихында тұңғыш рет теріс сандар ұғымын енгізді. Олар теңдеудің оң, теріс коэффиценттерін және сандардың оң, терісін ажырату үшін әр түрлі таяқшалар мен таңбалар пайдаланған. Қытай математиктері теріс сандарды қосу, азайтудың қарапайым ережелерін тағайындады. Математикаға теріс таңбаны енгізу және оларға амалдар қолдану ережесін тағайындау жалпы сандар жөніндегі ілімнің қалыптасуына мол үлесін қосты. Қазір теріс сандар бүтін сандардың бір бөлігі.
Теріс сандарға үнді математиктері мүлде басқаша қараған. Олар теңдеулерді теріс шешімдері болуын мойындаған, теңдеу шешімдеріне төрт амалдың барлық ережелерін қолдана отырып, оң сандарды мүлік деп, теріс сандарды борыш деп мойындаған, алайда тиісті теориялық негіздеме келтірмеген. «Нөл» ұғымын тұңғыш рет енгізген - үнділер.
Біздің эрамыздың VII ғасырында өмір сүрген үнді математигі Брахмагупта баяндаған қосу және азайту ережелері мынандай:

Қәзіргіше жазу Брахмагупта ережелері
1. а+в=с Екі мүліктің қосындысы мүлік.
2. (-а)+(-в)=-с Екі борыштың қосындысы борыш.
3. а+(-в)=а-в Мүлік пен борыштың қосындысы олардың айырмасына тең.
4. а+(-а)=0 Мүлік пен оған тең борыштың қосындысы нольге тең.
5. 0+(-а)=-а Ноль мен борыштың қосындысы борыш борыш болады.
6. 0+а=а Ноль мен мүліктің қосындысы мүлік мүлік болады.
7. 0-(-а)=а Нольден азайтылған борыш мүлікке айналады.
8. 0-а=-а Нольден азайтылған мүлік борышқа айналады.

Үнді математигі Бхаскара көбейту және бөлу ережелерін былайша тұжырымдаған: «Екі мүліктің немесе екі борыштың көбейтіндісі мүлік болады; мүліктің борышқа көбейтіндісі зиян болады.Бұл ереже бөлуге де қолданылады.»
Алайда, есептерді теңдеулер құру арқылы шығарғанда теріс сандар кеңінен пайдаланылып отырғанына қарамастан, Үндістанда теріс сандарды ерекше бір,онша нақты деуге келмейтін сандар деп есептеп, оларға азды-көпті күмәндана қараған.
Европалық математиктер де теріс сандарды көп уақытқа дейін мақұлдамады, өйткені олар бұл сандарды «мүлік-борыш» деп түсінуге таңырқай да күмәндана қарады. Расында да, мүліктерді, борыштарды «қосуға» немесе «азайтуға» болар, ал мүлікті борышқа «көбейтудің» немесе «бөлудің» қандай нақты мағынасы болмақ.
Міне сондықтан да теріс сандардың математика саласында тиісті орнын алуы өте қиын болды.

Ноль ақиқат сандар мен абсурд сандардың аралығында болады»-деп жазды.
XVII ғасырда математика, механика, астрономия кең өрістеп дамыды.Теріс сандарды қолдану нәтижесінде математикалық есептеу жұмысы едәуір жеңілденді де, ол сандардың математикадағы мәні барған сайын арта түсті. XVII ғасырдың 20-шы жылдарының өзінде Стевин шәкірті,фламанд математигі А. Жирар теңдеулерді шешкенде теріс шешімдерді де ескеріп отырды және теріс сандарды оң сандармен қатар пайдаланды.
Француз математигі, физигі, философы Декарттың 1637 жылы басылып шыққан «Геометрия» деген атақты шығармасында оң сандар мен теріс сандардың геометриялық түсініктемесі баяндалады; оң сандар сан осінің бойында, бас нүкте нольдің (0) оң жағында жатқан нүктелермен, ал теріс сандар нольдің сол жағында жатқан нүктелермен кескінделеді.
Оң және теріс сандарға геометриялық түсініктеме беру теріс сандар табиғатын айқынырақ түсінуге және олардың барлығын мойындауға септігін тигізді. Теңдеулердің оң және теріс шешімдерін қарама-қарсы бағытталған кесінділермен кескіндеп көрсетуі арқылы Декарт бұл шешімдерді тең праволы, бірдей нақтылы деп есептейтіндігін әйгілейді, бірақ сонда да дәстүр бойынша олардың біреулерін ақиқат,екінші біреулерін жалған деп бұрынғыша атай берді.
сандардың дәйекті қатаң теориясы дамыған кезде жаппай танып мойындады.

Ян Видман 1489ж. басылып шыққан «Барлық сауда адамдарына арналған тез және әдемі есеп-қисап» деген еңбегінде бірінші рет қосу үшін «плюс» және азайту үшін «минус» таңбаларын қолданады.
Қазіргі таңда сол қосу үшін «плюс» және азайту үшін «минус» таңбалары өзгеріссіз біздің де ұғымызға жетті
Міне сол оң сандар мен теріс сандар ұғымы 6-сынып математикасында оқушының ұғымына алғашқы рет кездеседі.
Оң сандар және теріс сандар тақырыбында.
Оң сандар ұғымы биік ,жоғары ,жылы, пайда.... сөздерімен түсінік берсек.
Теріс сандар ұғымын аласа. төмен, терең, зиян ... сөздерімен түсінік береміз.
Рационал сандарды көбейту тақырыбында сабақ беру барысында.
Асық ойыны қазақ халқының дәстүрлі ұлттық ойынын байланыстыру арқылы оң сандар мен теріс сандарды көбейтуде байланстырдым.
Асық ойны: Жүгіресің,секіресің,көздейсің,тигізесің,ерегесесің,жеңесің
Жеңілесің,ұтасың,ұтыласың,асыққа бай боласың,жоқ боласың. Таза бәсеке,тазатәрбие. Өтірігі ,арамдығы,жалғандығы жоқ. Болмайды да. Ұлттық тәрбие. Ұлттық ойын. Спорт ойыны,спорттық бәсеке. Шеберлікке,Мергендікке, батылдыққа,шешендікке ,ырымға ырысқа тәрбиелейді.
Сіздерге сол ойын түрлерін көрсеткім келеді .
1. Жаңа сабақты түсіндіргеннен кейін әр оқушыға асық таратып беремін.
Жаңа сабақты бекіту бөлімінде
Ақ түсті асық оң сандар
Көк түсті асық теріс сандар
Таңбалары әр түрлі екі санның көбейтіндісін асықты пайдаланып көрсетеді.
Осылайша төрт жағдайында көрсетіп шығады. Оқушының есте сақтау қабілеттілігі көрнекілік түрде және өзінің орындау барысында болады.
2. Жинақтау бөлімі. Бес аық ойынын ойнату арқылы жинақтадым.
Бес асық ойын ережесі.
Кім бірінші ойынды бастайтынын анықтап аламыз.
Асықтарды екі қолмен қағу арқылы.
Кім көп асық қағып алады сол ойынды бастайды.
1. Бірлік ойыны деп аталады.
Бес асық аламыз да шашып жібереміз. Бір асықты жоғары лақтырып жердегі асықтарды бір-бірлеп қағамыз.
2. Екілік ойыны деп аталады.
Асықтарды шашып жіберіп , екі асықтан қағамыз
3. 3 асықты бір қағамыз. 1 асықты жеке қағып аламыз.
4. 4 асықты жинақтап жерге қоямыз . 1 асықты жоғары лақтырып 4 асықты бірден қағамыз.
5. Асудан өткізу.Сол қол саусақтарын мәре белгісін келтіріп. Оң қолмен , бір асықты жоғары лақтыра отыра .кезекпен өткізу керек . Ең соңында белгіленген асықты өткізу керек .
Осылайша ойын жалғаса беріледі.

 

 

Мектепте иррационал сандарды енгізу методикасы

Мысал. Рационал сандардың арасында квадраты 2-ге тең санның болмайтынын дәл/к. Дәл/уі. Дәл/ді қарсы жору арқылы жүр/з. Рационал сандар арасында ква/ты 2-ге тең болатын сан бар деп жориық. Ол санды m/n (мұндағы m – бүтін сан, n – натурал сан) қысқармайтын бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл рационал санды екінші дәрежеге шығарайық. Сонда н/е m²=2n² аламыз. 2n²- жұп сан, демек, оған тең m² саны да жұп. Ендеше, m санының өзі де жұп болғаны (өйткені, егер m тақ сан болса, онда m² саны да тақ болар еді). Ал m жұп санын m=2k (мұндағы к-бүтін сан) түрінде жазуға болады. Енді осы мәнді m²=2n² теңдігіне қойсақ, (2k)²=2n² н/е 4k²=2n² н/е 2k²=n² аламыз.2k² саны жұп сан, ендеше n² саны да жұп. Нәтижесінде, m/n бөлшегінің алымы ж/е бөлімі жұп сандар болады, яғни бөлшек қысқартылады. Бұл m/n бөлшегінің қысқартылмайтын бөлшек екеніне қайшы. Демек, квадраты 2-ге тең рационал сан бар деген жорамал қате. Тура осылай «квадраты 3, 5, 7, 9, 10, 11 болатын рационал сан болмайды» деген тұжырым айта аламыз. Қажет жағдайда квадраты осы сандарға тең болатын сандардың әрқайсысы шексіз периодты емес ондық бөлшек екенін көрсетуге болады. Ан/ма. Кез келген шексіз периодты емес ондық бөлшек иррационал сан д/а. Иррационал сандар жиыны жоғарыда аталған сандармен шектелмейді. Мысалы, бірлік кесінді ретінде диаметрдің ұзындығын алып, кез келген шеңбердің ұзындығын өлшесек, өлшеу нәтижесінде шексіз периодты емес бөлшек аламыз. Демек, кез келген шеңбер ұзындығының диаметрге қатынасын беретін πсаны да иррационал сан. Анықтама. Барлық рационал тжәне иррационал сандар нақты сандар жиынан құрайды.  

 

 

51. Орта мектептің 7-9 сыныптарындағы теңсіздіктер және оларды оқыту әдістемесі

Сызықтық теңдеулер.Бір айнымалы сыз/қ теңдеу деп ax=b түр/гі теңдеуді айтады.Мұндағы a мен b нақты сандар; a айн/ң коэф/ті, b -бос мүше д ат. ax=b теңдеуі үшін үш жағдай кездесуі мүмкін: 1. a≠0 бұл жағдайда теңдеудің түбірі b/a тең;2. a-0,b=0 бұл жағдайда теңдеу 0x=0 түріне келеді,ал бұл х-тің кез келген мәнінде дұрыс болатын теңдік, яғни теңдеудің түбірі кез келген сан.3.a=0 b≠0 бұл жағдайда теңдеу 0x=b түрінде болады да, оның түбірі жоқ екендігі көрінеді.Квадрат теңдеулер. ax+bx+c=0түріндегі теңдеуді квадрат теңдеу деп атайды, мұндағы a, b мен с нақты сандар және а ≠0, ал х айнымалы. Егер а =1 болса, онда квадрат теңдеу кетірілген деп аталады. Егер b мен c коэф/ң бірі нөлге тең б/са, онда квадрат теңдеу толымсыз деп аталады. Толымсыз квадрат теңдеул/ді теңд/ң сол жақ бөлігін сыз/қ көбейтк/ге жіктеу арқылы да шешуге болады; егер мұндай жағдай жіктеу мүмкін емес болса, онда теңдеудің шешімі болмайды. Квадраттық теңсіздік.А.ма:  ax+bx+c>0,  ax+bx+c<0,ax+bx+c≥0,  ax+bx+c≤0түріндегі теңсіздіктер квадрат теңсіздіктер д.а. мұндағы a, b мен с нақты сандар және а ≠0, ал х айнымалы. Кв теңсіздікті шешу үшін ax+bx+c кв.үшмүш/ң таңбасы қалай өзгеретінін білу қажет. Ол параболалық н.е интервалдар әдісі арқылы шешіледі. Бөлшек – рационал теңдеулер Теңдеудің екі жағы да рационал өрнектер болса, ондай теңдеуді рационал теңдеу деп атайды. Теңдеудің екі жағы да бүтін рационал өрн/р болса, онда ол бүтін рационл теңдеу, ал теңдеуде бөлшек рационал өрнек бар болса, ол бөлшек рационал теңдеу д.ат. А.ма: ax+by=c түрінде берілген теңдеу екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу д.а, мұндағы х,у- айнымалылар, а,в,с- нақты сандар және а мен в бір мезгілде нөлге тең емес. Екі айн/сы бар сыз/қ теңдеуді шешу дег/з – бер/н теңдеуді дұрыс теңдікке айналд/н сандар жұбының жиынын табу. Екі айнымалыдан тұратын теңсіздікті екі айнымалысы бар теңсіздік д.а. Екі айн/сы бар теңсіз/ті шешу бер/н теңс/ті дұрыс сандық теңс/ке айналд/н сандар жұбының жиынын табу н.е берілген теңсізд/ң шешімі жоқ екенін дәл/у б.т. Екі айн/сы бар сыз/қ теңдеул/де айным/ң дәреже көрсеткішт/ң қосындысы 1-ден артық болуы мүмкін. Ондай теңд/р екі айн/сы бар сыз/қ емес теңд/р д.а.

 

 

52-53. Орта мектептің 10-11 сыныптарындағы теңдеулер мен теңсіздіктер және оларды оқыту методикасы.

Тригонометриялық теңдеу деп тригонометриялық функциялардың белгісіз аргументтері түрінде берілген теңдеулерді айтамыз. Қарапайым тригонометриялық теңдеу деп мына түрдегі теңдеулерді айтамыз: sinу=а , cos у=а, tgy = a; ctgy=a. Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуде келесі орындауларды қарастырамыз.[1]1) sinу=х , cos у=х, tgy = х; ctgy=х функцияларының кері тригонометриялық функцияның қаралатын анықталу облысына енетін болса, онда оған жалғыз у сәйкес келеді: y=arcsinа , y=arccosа, y=arctga; y=arcctga. Егер а саны қаралатын функцияның анықталу облысына енбесе, онда теңдеудің шешімі болмайды. 2) Егер arcsinа , arccosа, arctga; arcctga функцияларының әрбір қарапайым тригонометриялық теңдеулеріндегі мәніне осы теңдеулердің шешімі болатын барлық мәндері кіреді. Мысалы: 1) sinу=π , 2) sinу=√2/2 , 3) sinу=- π/2, 4) sinу= -0,4 теңдеулерінің шешімі бар ма? Шешуі: sinу=а теңдеуінің шешімі болмайды, егер а саны sinу=х кері тригонометриялық функциясының анықталу облысына енбесе, яғни, /а/>1. sinу=х функциясының анықталу облысы [-π/2;π] аралығын қамтиды. Егер /π/>1 болса, онда sinу=π теңдеуінің шешімі болмайды. / /2/ <1 болғандықтан, sinу= /2 теңдеуінің шешімі болады. /-π/2 / > 1 болғандықтан, sinу= -π/2 теңдеуінің шешімі болмайды./-0,4/ < 1 болғандықтан, sinу=-0,4 теңдеуінің шешімі бар болады. Қарапайым тригонометриялық теңсіздік деп мына түрдегі теңсідіктерді айтамыз: sin x > а; cos x <a; tgx < a; ctgx>a. «Теңсіздіктерді шешу үшін, алдымен қарапайым түрге келтіріп және оларға теңсіздік қасиеттерін қолдана отырып,сонан соң ғана есепті шығарамыз, яғни шешімін табамыз».

Айнымалы түбір белгісінің астында немесе бөлшек дәрежеге шығару амалының астында болатын теңдеулерді иррационал теңдеулер д.а.Мектеп математика курсында иррационал теңдеулерді шешудің негізгі 2 әдісі қарастырылады:теңдеудің екі жағын да бірдей дәрежеге шығару;жаңа айнымалы енгізу.

Белгісіз шама дәреже көрсеткішіне енетін теңдеулерді көрсеткіштік теңдеулер д.а.Мұндай теңдеулерге, мысалы, 3^х =2^х-1; 5^х-6 -1 = 0 т.б. теңдеулер жатады.

Белгісіз шама логарифм таңбасының астында, негізінде болатын теңдеулерді логарифмдік теңдеулер деп атайды. Мұндай теңдеулерге, мысалы: loq₂х=5, loq_х(х-1)=0 т.с.с. теңдеулер жатады. Логарифмдік теңдеулер де транцендент теңдеулер болып табылады.Логарифмдік теңдеудің қарапайым түрі : loq_aх=в, (1), мұндағы, а мен в - берілген сандар, ал х-белгісіз шама. Егер а- оң сан болып, және 1-ге тең болмаса, ондай теңдеудің жалғыз түбірі болады: х=a^b.Логарифмдік теңдеулердің көбінесе мына екі түрі кездеседі: loq_a(х)f(x)= loq_a(x)q(x)  (2) loq_a(х)f(x)= loq_b(x)f(x)    (3). Логарифмдік теңдеулердің шешулері әдетте не алгебралық теңдеудің, не (1) теңдеуінің шешуіне келтіріледі.

 

54. Қозғалыс, оның қасиеттері. Оқыту әдістемесі

Анықтама.Жазықтықтағы нүтелер жұбының арақашықтығын сақтайтын түрлендіруді қозғалысдеп атайды.

Яғни, егер қозғалыс Х пен У нүктелерін  және нүктелеріне бейнелесе, онда ХУ=  орындалады. (1-сурет)

1-теорема.Түзуде жататын нүктелерді қозғалыс түзуде жататын нүктелерге бейнелейді және олардың орналасу ретін сақтайды.

Дәлелдеу. А, В, С нүктелерін қозғалыс сәйкесінше А′, В′, С′ нүктелеріне бейнелейді делік. В′ нүктесі А′ пен С′нүктелерінің арасында жататынын дәлелдейік (2-сурет)

В′нүктесі А′ пен С′ арасында жатпайды делік. Сонда үшбұрыштар теңсіздігі бойынша А′С′˂А′В′+В′С′. Бірақ қозғалыс А′С′=АС,А′В′=АВ,В′С′=ВС арақашықтықтарын сақтайтындықтан, АС˂АВ+ВС болып шығады. Бұл В нүктесі А мен С-ның арасында жатқандаорындалатын АС= АВ+ВС теңдігіне қайшы келеді. Демек, В′ нүктесі А′ пен С′ арасында жатады. Теорема дәлелденді.

 

FF′

---

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 892; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!