Основное уравнение гидростатики.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Определим теперь величину давления внутри покоящейся жидкости. С этой целью рассмотрим произвольную точку А, находящуюся на глубине ha. Вблизи этой точки выделим элементарную площадку dS. Если жидкость покоится, то и т. А находится в равновесии, что означает уравновешенность сил, действующих на площадку.

A – произвольная точка в жидкости,

ha – глубина т. А,

P0 - давление внешней среды,

r - плотность жидкости,

Pa – давление в т. А,

dS – элементарная площадка.

Сверху на площадку действует внешнее давление P₀ (в случае, если свободная поверхность граничит с атмосферой, то P₀=P_атм) и вес столба жидкости. Снизу – давление в т. А. Уравнение сил, действующих на площадку, в этих условиях примет вид:

Разделив это выражение на dS и учтя, что т. А выбрана произвольно, получим выражение для P в любой точке покоящейся жидкости:

;

где h – глубина жидкости, на которой определяется давление P.

Полученное выражение носит название основного уравнения гидростатики.

Во-первых, из основного уравнения гидростатики следует, что для любой точки жидкости в состав величины давления входит P0 - давление, которое приложено к граничной поверхности жидкости извне. Эта составляющая одинакова для любой точки жидкости. Поэтому из основного уравнения гидростатики следуетзакон Паскаля, который гласит: давление, приложенное к граничной поверхности покоящейся жидкости, передаётся всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Следует подчеркнуть, что давление во всех точках не одинаково. Одинакова лишь та часть (составляющая), которая приложена к граничной поверхности жидкости. Закон Паскаля – основной закон, на основе которого работает объёмный гидропривод, применяемый в абсолютном большинстве гидросистем технологических машин.

Вторым следствием является тот факт, что на равной глубине в покоящейся жидкости давление одинаково. В результате можно говорить о поверхностях равного давления. Для жидкости, находящейся в абсолютном покое или равномерно движущейся, эти поверхности – горизонтальные плоскости. В других случаях относительного покоя, которые будут рассмотрены ниже, поверхности равного давления могут иметь другую форму или не быть горизонтальными. Существование поверхностей равного давления позволяет измерять давление в любой точке жидкости.

Задачи по гидростатике.

Задача 1.Пробирка с пластилином плавает в воде. Как изменится глубина погружения пробирки, если из нее вынуть пластилин и приклеить снаружи ко дну пробирки?
1) уменьшится 2) увеличится 3) не изменится 4) сначала придет в колебательное движение, а потом увеличится 5) после затухания колебаний не изменится

Решение:
Вначале, как вытекает из условия равновесия

F_A = ρ_вgV₁ = (m + M)g,

объем вытесненной воды, равный объему погруженной части пробирки

V₁ = (m + M)/ρ_в = m/ρ_в + M/ρ_в, (1)

где m − масса пластилина, M − масса пробирки.
Запишем условие плавания пробирка-пластилин после того как пластилин прикрепили снаружи пробирки.

(m + M)g = F_A1 + F_A2,

где F_A1 = ρ_вgV₁^/ − выталкивающая сила в объеме погруженной пробирки,F_A2 = ρ_вgV₂^/ − выталкивающая сила в объеме погруженного пластилина.

(m + M)g = ρ_вgV₁^/ + ρ_вgV₂^/,

откуда

V₁^/ + V₂^/ = m/ρ_в + M/ρ_в.

Если сравнить с (1), то

V₁^/ + V₂^/ = V₁.

Объем вытесняемой жидкости останется неизменным, а объем, вытесняемый пробиркой уменьшится

V₁^/ = V₁ − V₂^/ = V₁ − m/ρ_пл..

Таким образом, если пластилин прикрепить к пробирке снаружи, то уровень погружения пробирки уменьшится.

Задача 2. В цилиндрическом сосуде с водой площадью 200 см²плавает в вертикальном положении цилиндр высотой 30 см и площадью основания 100 см². Какую работу (в мДж) надо совершить, чтобы полностью извлечь цилиндр из воды, если он сделан из материала плотностью 400 кг/м³? Плотность воды 1000 кг/м³.

Решение:
При извлечении цилиндра уровень воды в сосуде понизится. Найдем понижение уровня Δh из условия

SΔh = V_погр,

где V_погр − объем погруженной части цилиндра. Запишем условие плавания цилиндра (равенство архимедовой силы и силы тяжести):

ρ_вgV_погр = ρgV.

Отсюда

V_погр = (ρ/ρ_в)S_цH,

h_погр = (ρ/ρ_в)H,

Δh = (ρ/ρ_в) × (S_ц/S) × H,
где H – высота цилиндра. Работа совершается на пути

x = h_погр − Δh = H(ρ/ρ_в) × (1 − S_ц/S),

причем сила тяги линейно возрастает от

F₁ = 0 до F₂ = mg = ρgS_цH.

Получаем

A = (0 + mg)x/2 = ρ²gH²(1 − S_ц/S) = 360 мДж.

Ответ: A = 360 мДж.

Задача 3.В цилиндрическом сосуде с водой площадью S = 300 см² плавает в вертикальном положении цилиндр высотой Н = 20 см и площадью основания S_ц = 100 см². Какую работу надо совершить, чтобы полностью извлечь цилиндр из воды, если он сделан из материала плотностью ρ = 300 кг/м³?

При извлечении цилиндра уровень воды понизится

Найдем понижение уровня Δh из равенства

SΔh = V_п,

где V_п − объем погруженной части плавающего цилиндра.
Запишем условие плавания цилиндра:

F_A = mg,

или

ρ_вgV_п = ρVg,

откуда найдем

V_п = ρS_цH/ρ_в, h_п = ρH/ρ_в,

Δh = (ρ/ρ_в) × (S_ц/S) × H.

Работа совершается на пути

x = h_п − Δh = H(ρ/ρ_в) (1 − S_ц/S),

причем сила тяги линейно возрастает от

F₁ = 0 до F₂ = mg = ρSH.

Окончательно получаем

A = (0 + mg)x/2 = 120 мДж.

Задача 4.По каналу с радиусом закругления l = 30 м и шириной S = 3 м течет воды. Два манометра, находящиеся в одной горизонтальной плоскости у наружной и внутренней стенок канала, дают показания, отличающиеся на Δp = 400 Па. Чему равна скорость воды в канале?

Решение.
Для трубки тока, расположенной горизотально (h₁ = h₂), уравнение Бернулли имеет вид:

ρv₁²/2 + p₁ = ρv₂²/2 + p₂.

По условию задачи два манометра, находящиеся в одной горизонтальной плоскости у наружной и внутренней стенок канала, дают показания, отличающиеся на Δp = 400 Па, тогда

ρv₁²/2 − ρv₂²/2 = p₂ − p₁ = Δp. (1)

Скрость воды в канале на повороте должна подчиняться условию

ω = v/R = v₂/l = v₁/(l + S) = v/(l + S/2) = 2v/(2l + S),

где v − скорость течения воды в канале на середине реки, v₁ и v₂ − скорости у берегов, соотвественно
Таким образом,

v₂ = 2vl/(2l + S), v₁ = 2v(l + S)/(2l + S).

Перепишем уравнение (1)

Δp = (4v²/(2l + S)²) × (ρ/2) × ((l + S)² − l²) = (2ρv²/(2l + S)²) × (2lS + S²).

Выражаем искомую скорость

v = √{Δp(2l + S)²/(2ρ(2lS + S²))}.

Подставляем значения

v = √{400 × (2 × 30 + 3)²/(2 × 10³× (2 × 30 × 3 + 3²))} = 2,05 (м/с).

Задача 5. В открытых сообщающихся сосудах находится нефть плотностьюρ₁ = 800 кг/м³ и вода плотностью ρ₂= 1000 кг/м³. Определить уровень воды h₂, если разность уровней в сосудах h = 1,1 м?