Интегралы от непрерывных функций.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Раздел 5. Определённый интеграл.[1,4 доп. лит.]

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

П.1. Площадь криволинейной трапеции.

, , – непрерывна на

– криволинейная трапеция; ,

высота прямоугольника,

Площадь ступенчатой фигуры

Определённый интеграл, основные свойства.

П.1. Разбиение отрезка.

– разбиение отрезка – частичные отрезки.

, длина отрезка .

– новое разбиение отрезка в состав которого входят все точки разбиения

– продолжение разбиения

П.2. Понятие определённого интеграла.

(1)

Сумму (1) будем называть интегральной суммой для функции .

Определение 1. Число будем называть пределом интегральной суммы (1) при , если для , что для всякого разбиения и для будем , если

(2)

Определение 2. Если для существует предел (2), то этот предел называется определенным интегралом (интегралом Римана) функции на и обозначается

(3)

Функции, для которых существует (3), называются интегрируемыми по Риману на отрезке обозначается

П.3. Необходимое условие интегрируемости.

Теорема 1. Чтобы функция f была интегрируемой на отрезке [a; b], необходимо, чтобы она на этом отрезке была ограничена.

Но это условие не является достаточным.

Например.

– функция Дирихле.

Такой интеграл не существует, функция не интегрируема по Риману, хотя и ограничена.

П.4. Критерий Коши.

Теорема 2.Функция f интегрируется по Риману тогда и только тогда, когда для что для выполняется условие если где диаметры разбиений и

Доказательство.

1)Пусть

2) Пусть

(*)

Функция ограничена на значит . Построим последовательность разбиений с диаметром и рассмотрим последовательность интегральных сумм . Из условия (*) следует, что последовательность ограничена, т.е. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать тогда имеем

Критерий установлен.

П.5. Достаточное условие интегрируемости.

Пусть отрезки, полученные при разбиении отрезка

колебание функции на

интегральное колебание функции на

Теорема. Чтобы ограниченная на функция f была интегрируема на достаточно, чтобы , что для выполнялось условие , если , диаметр разбиения .

Доказательство. Пусть , продолжение разбиения первый индекс означает, что точка лежит в отрезке , а второй – номер точки на этом отрезке.

Рассмотрим теперь два произвольных разбиения и , диаметры которых и не превосходят Пусть . Очевидно является продолжением разбиения и . Значит, имеем

В силу критерия Коши интегрируема на .

П.6. Классы интегрируемых по Риману функций.

Теорема 4. Если , то .

Доказательство. Так как , то , частичный отрезок разбиения , значит f – равномерно непрерывна на отрезке (теорема Кантора). Поэтому, можем сказать, что . Тогда имеем

Теорема 5. Пусть функция f непрерывна на отрезке за исключением, быть может, точек (конечного числа точек), если при этом f ограничена на отрезке , то f интегрируема на .