Условные плотности вероятности достаточной статистики

При различении детерминированных сигналов

Достаточная статистика y, определяемая при различении детерминированных сигналов, согласно выражению (9.9) зависит от реализации x(t), которая из-за действия шума меняется. В общем случае y следует рассматривать как случайную величину, которая получится, если на место реализации x(t) подставить случайный процесс x(t):

(9.11)

При гауссовском белом шуме n(t) процесс x(t) является гауссовским случайным процессом и случайная величина h, определяемая линейным оператором преобразования, каковым является интегрирование, также имеет гауссовское распределение. И так как величина l неизвестна, случайная статистика h определяется двумя условными плотностями вероятности: p_sn1(y) при l = 1и p_sn2(y) при l = 0.

Найдем числовые характеристики этих распределений при условии, что энергии сигналов s₁(t) и s₂(t) равны, и следовательно q₁² = q₂² = q².

1. Пусть l = 1. Тогда . При этом

(9.12)

(9.13)

где коэффициент взаимной корреляции между сигналами s₁(t) и s₂(t):

(9.14)

2. Пусть l = 0. Тогда x(t) = s₂(t) + n(t). При этом

m₂=<h/l=0>= – q²(1-r_s) , (9.15)

(9.16)

Таким образом, числовые характеристики зависят не только от отношения сигнал/шум, но и от коэффициента взаимной корреляции между сигналами s₁(t) и s₂(t).

Графики условных плотностей вероятности достаточной статистики p_sn1(y) и p_sn2(y)

Рис.9.5

Располагая p_sn1(y) и p_sn2(y), можно найти вероятность полной ошибки Р_ош. Методика здесь используется та же, что и при определении Р_ош при обнаружении сигнала (7.3). Отличие состоит в том, что использование таких терминов как пропуск сигнала и ложная тревога, теряет смысл, так как сигнал s₁(t) всегда присутствует на входе различителя.

Согласно (7.3) выражение для Р_ош запишем в следующей форме:

Р_ош = Р(Н₁)Р(s₂/s₁) + Р(Н₂)Р(s₁/s₂) , (9.17)

где Р(Н₁), Р(Н₂) - априорные вероятности наличия соответственно сигналов s₁(t) и s₂(t) на входе различителя; P(s₂/s₁) - вероятность принятия решения о том, что на входе сигнал s₂(t), когда в действительности существует s₁(t); P(s₁/s₂) - вероятность принятия решения о том, что на входе сигнал s₁(t), когда в действительности существует s₂(t). Если Р(Н₁) = Р(Н₂) = 0,5, то выражение (9.17) примет вид

Р_ош= 0,5[Р(s₂/s₁) + P(s₁/s₂)]. (9.18)

Если к тому же равны и энергии сигналов s₁(t), s₂(t), то порог h = 0 и, в силу симметричности кривых p_sn1(y), p_sn2(y) относительно начала координат (рис.9.5), условные вероятности P(s₂/s₁), P(s₁/s₂), определяемые формулами

(9.19)

(9.20)

равны между собой

(9.21)

Тогда

(9.22)

Вероятность полной ошибки Р_ош, таким образом, определяется условной вероятностью принятия решения при различении одного из сигналов, если их энергии равны.

Потенциальная помехоустойчивость оптимальных различителей

При различных видах манипуляции

В теории дискретной радиосвязи для характеристики потенциальной помехоустойчивости различителя, оптимального по критерию идеального наблюдателя, используется зависимость вероятности полной ошибки Р_ош от отношения сигнал/шум q:

Р_ош = f(q). (9.23)

При различении детерминированные сигналы s₁(t) и s₂(t) могут отличаться амплитудой, частотой или начальной фазой, представляя собой амплитудно-манипулированные (АМн), частотно-манипулированные (ЧМн) или фазо-манипулированные (ФМн) колебания. Представляет интерес найти зависимости (9.23) различителей АМн, ЧМн и ФМн сигналов и сравнить эти зависимости между собой.

В различителе АМн сигналов будем полагать, что s₂(t) = 0. В этом случае символ “1” связан с передачей сигнала s₁(t), а символ “0” - с паузой (рис.9.6,а). Работа такого различителя фактически сводится к оптимальному обнаружению сигнала s₁(t) по критерию идеального наблюдателя

Р_ош= Р(Н₁)Р_проп+ Р(Н₀)Р_лт, (9.24)

в котором для вычисления (9.23) можно считать, что присутствие и отсутствие сигнала априорно равновероятно. Принимая Р(Н₁) = Р(Н₀) = 0,5. В этом случае величина порога h, необходимого для работы обнаружителя, будет определяться только отношением сигнал/шум:

(9.25)

В свою очередь, вероятности Р_проп и Р_лт при использовании порога (9.25) будут равны между собой (рис.9.7,а). Действительно, согласно (8.4) и (8.5) имеем

(9.26)

(9.27)

так как Ф(-z) = 1 – Ф(z).

Подставив (9.26) и (9.27) в формулу (9.24), получаем зависимость вероятности полной ошибки от отношения сигнал/шум при различении Амн сигналов

Р_ош _Амн= 1 – Ф(q/2). (9.28)

Вероятности ошибок ЧМн и ФМн различителей могут быть найдены на основании материала параграфа 3 данной лекции. Требуется только найти коэффициенты взаимной корреляции r_s , которые будут различны для ЧМн и ФМн сигналов.

В различителе ЧМн сигналов символ “1” связан с сигналом s₁(t) = a₀×cos w₁t , а символ “0” – с сигналом s₂(t) = a₀_×cos w₂t , которые имеют одинаковую длительность Т, но отличаются между собой частотами w₁ и w₂(рис.9.6,б). Если длительность символов Т достаточно велика, то

Тогда согласно (9.22)

(9.29)

При этом m₁= q², m₂= - q², D₁= D₂= 2q² (рис.9.7,б).

В различителе ФМн сигналов будем связывать символ “1” с сигналом s₁(t) = a₀cosw₀t, а символ “0” - с сигналом s₂(t) = a₀cos(w₀t + p) = - a₀cosw₀t, которые имеют одинаковую длительность Т, но отличаются между собой начальной фазой на величину p (рис.9.6,в). Это приводит к тому, что сигнал s₁(t) противоположен по знаку к сигналу s₂(t) и, значит

Тогда согласно (9.22)

Р_{ош фмн} = 1 - Ф(q) . (9.30)

При этом m₁= 2q², m₂= -2q², D₁ = D₂ = 4q² .

Графики (9.28) - (9.30) для сравнения между собой представлены на рис. 9.8 в линейном (а) и логарифмическом масштабе (б). Вторая форма представления графика обычно используется в расчетах. Из рис.9.8 следует, что у различителя ФМн сигналов кривая Р_ош _фмн= f(q) идет левее и ниже остальных. Это означает, что помехоустойчивость ФМн различителя наибольшая.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 458; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!