Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов

Тема №3 Основы теории обнаружения и различения сигналов

ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Обнаружение сигналов как статистическая задача

Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала s(t) и шума n(t), представляющая собой случайный непрерывный процесс

(7.1)

где s(t) - полностью известный сигнал; l - случайный параметр, равный 1, когда сигнал присутствует, и равный 0, когда сигнал отсутствует; n(t) - шум с известным законом распределения.

Обнаружитель анализирует реализацию x(t) процесса x(t) в течение заранее выбранного (конечного) интервала времени Т и затем на основании анализа принимает решение: существует ли сигнал в наблюдаемой реализации или нет.

В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей математической статистики является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами. В результате наблюдения над некоторой случайной величиной получается совокупность выборочных (x₁, ..., x_n) значений этой величины, называемая выборкой; число n выборочных значений, содержащихся в данной выборке, называется объемом выборки.

В случае обнаружения сигналов реализация x(t) является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале s(t) в смеси) с ограниченным спектром. Представим x(t) выборочными значениями (x₁, ..., x_n), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом Dt = 1/2F, где F - эффективная ширина спектра колебания x(t). При этом объем выборки определяется соотношением

n = T/ Dt = 2TF . (7.2)

На основании анализа выборки (x₁, ..., x_n) обнаружитель должен оценить параметр l. Очевидно точность оценки зависит от объема выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограничено, а с увеличением объема выборки при T = const погрешность оценки не устремляется к нулю.

Выборка, у которой n ® ¥ при T = const, называется непрерывной. Вид выборки (дискретная или непрерывная) определяется удобством математического анализа. Заметим, что если для дискретной выборки какая-либо формула получена в виде суммы, то соответствующий результат для непрерывной выборки может быть получен при замене суммы интегралом, если в этой формуле положить Dt ® 0 или n ® ¥ при T = const. Дискретизация проводится в соответствии с теоремой Котельникова: для дискретизации аналогового сигнала без потерь информации частота отсчетов должна быть в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала.

Поскольку в задачах обнаружения оценка параметра l является дискретной (l = 0 или l = 1), при конечном объеме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза Н₁ - сигнал во входной смеси есть (l = 1) и гипотеза Н₀ - сигнала нет (l = 0). При этом вероятности Р(Н₁) и Р(Н₀) являются соответственно априорными вероятностями наличия и отсутствия сигнала.

Ошибки при обнаружении сигнала

Вообще при обнаружении сигнала могут быть четыре ситуации:

1) правильное обнаружение (по), когда сигнал на входе обнаружителя существует и принимается решение о его наличии;

2) правильное необнаружение (пн), когда сигнала на входе нет и принимается решение об его отсутствии;

3) пропуск сигнала (проп), когда сигнал на входе существует, однако принимается решение об его отсутствии;

4) ложная тревога (лт), когда сигнала на входе нет, но принимается решение о его присутствии.

Первые две ситуации образуют событие А, соответствующее принятию безошибочного решения. Последние две ситуации образуют событие , соответствующее принятию неверного или ошибочного решения. С помощью графа исходов (рис.7.1) можно рассчитать вероятность принятия ошибочного решения или вероятность ошибки Р_ош .

Рис.7.1. Граф исходов при обнаружении

На рис.7.1 обозначены:

Р(Н₁), Р(Н₀) - априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала;

Р_по = Р(А/Н₁) - условная вероятность правильного обнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнал существует;

Р_пн = Р(А/Н₀) - условная вероятность правильного необнаружения, соответствующая вероятности правильного решения А при условии, что в действительности сигнала нет;

Р_проп = Р( /Н₁) - условная вероятность пропуска, соответствующая вероятности ошибочного решения при условии, что в действительности сигнал есть;

Р_лт = Р( /Н₀) - условная вероятность ложной тревоги, соответствующая вероятности ошибочного решения при условии, что сигнала в действительности нет.

Из графа исходов непосредственно по формуле полной вероятности следует, что

или

. (7.3)

Таким образом, вероятность ошибки Р_ош зависит как от априорных вероятностей Р(Н₁), Р(Н₀), так и от условных вероятностей Р_проп , Р_лт .

Рассмотренные условные вероятности Р_по , Р_пн , Р_проп и Р_лт позволяют характеризовать качество оптимального обнаружения. Обычно в этих целях используют вероятности Р_по и Р_лт, с учетом того, что Р_проп = 1 - Р_по и Р_пн = 1 - Р_лт .

Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов

Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех возможных обнаружителей можно выбрать наилучший.

Наиболее общим критерием оптимального обнаружения является критерий Байеса, или иначе - критерий минимума среднего риска.

С точки зрения критерия Байеса оптимальным считается такой обнаружитель, который имеет минимальную вероятность ошибочных решений с учетом их «веса» или степени нежелательности.

Используя условные вероятности Р_по , Р_лт и выражение (7.3), можно записать следующее выражение для среднего риска процесса обнаружения

, (7.4)

где С_проп и С_лт - веса ошибочных решений.

Вынесем в выражении (7.4) за скобки Р(Н₁)С_проп , тогда

, (7.5)

где L₀ - весовой множитель, равный

Из анализа (7.5) следует, что условие минимизации заключается в получении максимального значения разности (Р_по - L₀Р_лт ), которую называют взвешенной разностью.

Таким образом,

. (7.6)

Критерий Байеса является наиболее общим. На его основе, как частные случаи, могут быть получены и другие критерии.

Если принять веса ошибок одинаковыми С_проп = С_лт = 1, то из (7.4) получим, что средний риск равен суммарной вероятности ошибки

. (7.7)

Условие минимума суммарной вероятности ошибки (7.7) называется критерием идеального наблюдателя. Он используется при решении задач передачи сообщений, где одинаково нежелательны как пропуски, так и искажения элементов сообщения.

По аналогии с (7.6) для критерия идеального наблюдателя можно записать вместо (7.7) следующее условие оптимизации

. (7.8)

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана-Пирсона, являющийся частным случаем критериев Байеса и идеального наблюдателя. Сущность критерия заключается в том, что фиксируется условная вероятность ложной тревоги Р_лт , после чего максимизируется условная вероятность правильного обнаружения Р_по .

Критерий записывается в виде

Р_лт = const , Р_по = max , (7.9)

Широкое применение критерия Неймана-Пирсона в радиолокации объясняется тем, что:

во-первых, как правило, неизвестны априорные вероятности Р(Н₀) и Р(Н₁), а также С_проп и С_лт ;

во-вторых, в обзорных РЛС большую часть интервала наблюдения принятый сигнал обусловлен только шумом, поэтому ложная тревога является крайне нежелательной и ее величина должна быть ограничена заранее, исходя из тактических соображений. Обычно задают Р_лт = 10^-10 …10^-6 , используя выражение Р_лт » t_ш / Т_лт ; где t_ш - длительность шумового выброса, Т_лт - период появления ложной тревоги.

Таким образом, в результате наблюдения выборки (x₁ ,..., x_n ) по выбранному критерию оптимальности должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А- сигнал есть, - сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два соприкасающихся пространства X и .Если точка М, соответствующая k-й выборке (x₁ ,..., x_n), попадает в пространство X - принимается решение А, в противном случае - решение . В соответствии с критерием (7.6) можно записать

, (7.10)

где р(x₁ , ..., x_n / l = 1) и p(x₁ , ..., x_n / l =0) - условные n-мерные плотности вероятности дискретной выборки (x₁ , ..., x_n ) при наличии сигнала (l = 1) и при его отсутствии (l = 0) соответственно.

Выполнение условия (7.10) возможно при положительной подынтегральной разности

то есть

. (7.11)

Следовательно, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину

, (7.12)

определяемую отношением функций правдоподобия L(l = 1) и L(l = 0) и называемую отношением правдоподобия. Если L сравнить с некоторым порогом L₀ , то получим правило принятия решения

. (7.13)

Таким образом, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия Байеса. В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель (рис.7.2) должен сформировать отношение правдоподобия (блок ОП) и подать его на пороговое устройство ПУ, где осуществляется процедура сравнения L с порогом L₀ , в результате которой выносится одно из двух возможных решений: - нет сигнала или А - есть сигнал. Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, идеального наблюдателя, Неймана - Пирсона) сказывается лишь на значении порога L₀ , никак не влияя на основную часть обнаружителя - блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации x(t). В радиолокации значение порога L₀ устанавливается исходя из критерия Неймана-Пирсона.

Рис. 7.2.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1885; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!