Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра
Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.
Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра hсф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе qвых в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума
где S(t) - импульсный детерминированный сигнал с энергией 
t0 – момент окончания сигнала; n(t) - белый шум с корреляционной функцией 
.
Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:
.
Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:
, (6.13)
где Sвых(t0) – выходное значение сигнала в момент t0, при котором выходной импульс достигает максимума; 
– дисперсия выходного шума в момент t0.
В силу принципа суперпозиции величины и Sвых(t0) могут быть найдены раздельно. В частности
|
|
|
(6.14)
Для определения 
воспользуемся формулой (4.14), в которой положим 
и учтём, что 
Тогда
(6.15)
где сначала проинтегрировали по t'2 с учетом фильтрующих свойств дельта-функции, а затем t0 - t'1 заменили на 
.
Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим
(6.16)
Существует неравенство Буняковского-Шварца
(6.17)
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
(6.18)
где k - коэффициент пропорциональности.
Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим
(6.19)
Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульсную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:
(6.20)
Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):
или 
|
|
|
что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству
(6.21)
где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.
На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики 
, когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t0 (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t0 и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).
Рис. 6.2
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 2112; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!