Спектральная плотность стационарного случайного процесса
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
Корреляционная функция стационарного процесса
Корреляционная функция 
случайного процесса 
определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных сечений процесса, взятых в моменты t1 и t2. При этом математическое ожидание вычисляется с использованием двумерной плотности вероятности 
. Для стационарного случайного процесса двумерная плотность вероятности и, соответственно, корреляционная функция зависят не от t1 и t2в отдельности, а только от их разности 
= t2 - t1. В соответствии с этим корреляционная функция стационарного процесса определяется выражением
(3.1)
где 
- математическое ожидание стационарного процесса; х1, х2 - возможные значения случайного процесса соответственно, в моменты времени t1, t2 ; 
= t2 – t1 - интервал времени между сечениями; 
- двумерная плотность вероятности стационарного процесса. Второе выражение для 
получено путём раскрытия квадратных скобок первого выражения и учета свойств математического ожидания.
В научно-технической литературе используется также такая характеристика случайного процесса, как ковариационная функция K 
(t), под которой понимается математическое ожидание произведения двух значений процесса, взятых соответственно в моменты t1 и t2:
(3.2)
так что справедливо соотношение
(3.3)
Если 
, то понятия и 
совпадают. Если же дополнительно обладает эргодическим свойством, то корреляционная функция может быть определена по одной длинной реализации:
(3.4)
где Т - интервал наблюдения единственной реализации x(t) процесса ; 
- эта же реализация x(t), задержанная на время 
.
Формула (3.4) может быть положена в основу построения Структурная схема устройства, измеряющего корреляционную функцию, которое называется коррелометром. Для построения коррелометра требуются перемножитель, устройство задержки с переменным временем задержки 
и интегратор (рис. 3.1). Это устройство измеряет 
или 
в зависимости от того, равно нулю или нет.
Рис. 3.1
Корреляционная функция стационарного случайного процесса, как и вообще корреляционная функция случайного процесса, является действительной функцией аргумента 
. При этом характеризует с двух сторон. Во-первых, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций. А во-вторых, позволяет судить о степени линейной связи между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими друг от друга на интервал времени . Размерность совпадает с размерностью квадрата случайного процесса. Рассмотрим свойства корреляционной функции.
1. Корреляционная функция при = 0 равна дисперсии процесса
(3.5)
Это свойство вытекает непосредственно из формулы (3.1), если в ней положить 
= 0.
2. Корреляционная функция стационарного процесса является чётной функцией аргумента :
(3.6)
Это свойство непосредственно вытекает из определения стационарного процесса, для которого важны не сами значения моментов 
и t2, а расстояние во времени одного сечения от другого |t2-t1 |.
3. Корреляционная функция при любом t не может превзойти своего значения при = 0:
(3.7)
Это свойство физически означает, что наибольшая степень линейной связи обеспечивается между одним и тем же сечением, то есть при =0. Правда, если является периодическим процессом, то может найтись еще какое-либо 
, соизмеримое с периодом процесса, для которого выполняется жесткая функциональная связь между и 
. Поэтому в формуле (3.7) в общем случае может выполняться не только неравенство, но и равенство.
4. Корреляционная функция может быть представлена в виде
(3.8)
где r(t) нормированная корреляционная функция, имеющая смысл коэффициента корреляции, зависящего от и заключенная в пределах
. (3.9)
Она характеризует только степень линейной связи между сечениями случайного процесса, взятыми через интервал . В свою очередь, дисперсия 
процесса характеризует только среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса.
5. Для широкого класса стационарных случайных процессов удовлетворяется условие
. (3.10)
Физический смысл выражения (3.10) состоит в утверждении того факта, что линейная связь между сечениями случайного процесса при значительном удалении одного сечения от другого во времени отсутствует.
6. На практике важным параметром является интервал корреляции 
, который характеризует эффективную ширину корреляционной функции. С общих позиций интервал корреляции определяется выражением
(3.11)
Численно 
равно основанию прямоугольника с высотой 
, имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой 
, при 
. Интервал корреляции определяет тот временной интервал между сечениями случайного процесса , при превышении которого эти сечения считаются некоррелированными.
Спектральная плотность стационарного случайного процесса
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса 
называется функция частоты 
, являющаяся прямым преобразованием Фурье от корреляционной функции этого процесса
(3.12)
Если существует прямое (3.12) преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной 
определяет :
(3.13)
Формулы (3.12) и (3.13) принимают симметричный характер, если вместо круговой частоты w использовать частоту f. При этом 
, а 
. Тогда имеем:
(3.14)
(3.15)
Воспользовавшись выражением (3.15), дадим физический смысл 
. Положив =0, получим
(3.16)
Как известно, 
определяет среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса. Поэтому функция частоты 
, от которой берется интеграл по всем частотам, в результате чего находится , характеризует среднюю мощность процесса, приходящуюся на единицу полосы частот. Размерностью 
является размерность квадрата процесса, поделенная на размерность частоты. Если 
напряжение, то размерностью 
является [В2/Гц]. Заметим, что размерность совпадает с размерностью энергии [В2/Гц] = [В2 С]. Поэтому в литературе иногда называют энергетическим спектром.
Рассмотрим основные свойства спектральной плотности случайного процесса.
1. Спектральная плотность стационарного случайного процесса является действительной неотрицательной функцией частоты:
(3.17)
Это свойство вытекает из физического смысла 
, определяющей средний квадрат флюктуаций в единичной полосе частот. Для действительного процесса - средний квадрат флюктуаций есть всегда положительное число.
2.. Спектральная плотность стационарного процесса является четной функцией частоты:
(3.18)
Это свойство обусловлено тем, что преобразование Фурье от четной функции, каковой является , есть, в свою очередь, четная функция.
3. Пару преобразований Фурье, связывающую между собой спектральную плотность и корреляционную функцию, можно записать в виде косинус-преобразования. Используя это свойство, запишем выражения (3.12), (3.13) и (3.14), (3.15) в виде:
(3.19)
(3.20)
и
(3.21)
(3.22)
Формулы (3.19), (3.20) и (3.21), (3.22) называются формулами Винера - Хинчина по фамилиям ученых, которые впервые их получили.
4. Реальные радиотехнические устройства не различают знак частоты. Два колебания с одинаковой амплитудой и частотами, отличающимися только знаком, всегда воспринимаются устройством, как одно колебание с положительной частотой, но с удвоенной амплитудой.
Поэтому если 
- спектральная плотность, определенная на 
, а по-прежнему определена на всей оси частот от 
до 
, то имеет место формула
(3.23)
Спектральную плотность 
, определенную на 
, будем называть физическим спектром, а спектральную плотность 
, определенную на 
, - математическим спектром случайного процесса.
Формулы Винера-Хинчина для запишутся в виде:
(3.24)
(3.25)
На рис. 3.2 показана связь между и для случая низкочастотного широкополосного (рис. 3.2,а) и высокочастотных узкополосных процессов (рис. 3.2,б).
Рис. 3.2
5. Ширина 
оценивается эффективной шириной спектра 
:
(3.26)
которая определяет основание прямоугольника с высотой 1, имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой 
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 505; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!