Уравнение поверхности и линии в пространстве

Геометрическое истолкование уравнений и неравенств с двумя переменными.

Введение системы координат на плоскости позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных действительных чисел. Это соответствие позволяет задавать геометрические объекты с помощью ур-ий, нер-в или их систем и использовать при док-ве теорем или решений алгебраических задач.

Это существенно упрощает рассуждение и позволяет пользоваться определенными алгоритмами. В этом заключается суть метода координат. Для того, чтобы воспользоваться этим методом необходимо задавать геометрические объекты с помощью ур-ий или нер-в.

Фигуры на плоскости – мн-во точек. Рассмотрим исходную фигуру Ф на пл-ти, где задана АСК.

Условием, определяющим фигуру Ф в данной системе координат наз-сяур-иенер-ва или их система, в которой удовлетворяют координаты точек фигуры Ф и не удовлетворяет координатыточек, не принадлежащих фигуре Ф.

Условиек, определяющее фигуру Ф, наз-ся уравнением фигуры Ф в системе координат. При решении геометрических объектов методом координат часто решаются 2 задачи.

1 задача: фигура Ф задана как мн-во точек, обладающих некоторым свойством. Требуется найти аналитическое условие, определяющее эту фигуру, т.е. составить ее ур-ие.

2 задача: задано аналитическое условие, определяющее фигуру, требуется выяснить геометрические свойства этой фигуры.

При изучении метода координат в кач-ве фигур чаще всего рассматриваются линии: прямая, окружность , синусоида и т.д.. Условием, определяющим линию в АСК является уравнение F(x,y)=0. Изучение линий и решение задач с ними является предметом аналитической геометрии.

Алгоритм решения задач 1 типа.

Дано: некоторая линия, заданная как м-во точек, обладающая характеристическим свойством.

Найти: уравнение этой линии.

Алгоритм: 1) выбираем систему координат С₁К₁

2) Выбираем точку М₁, принадлежащую нашей линии и обозначаем координаты точки М(х, у)

3) характер.св-во записываем с помощью координат. Получаем зависимость между Х и У произвольной точки линии. Эта зависимость является ур-ием, которое удовлетворяет точки линии.

4) упрощаем ур-ие, если возможно, делая равносильные переходы.

5) доказываем, что полученное ур-ие – это ур-ие гамма ( . Доказываем , что , если координаты (х,у) удовлетворяют уравнению, то точка М принадлежит

Пример 1. Окружность – мн-во точек плоскости, равноудаленных от точки С на расстояние R. РИСУНОК

1.Выбираем декартову систему координат С(х_0,у₀)

2.Точка М (х,у)

3. |CM| =R

5. M N |CN|

С(0,0) – каноническое ур-ие окружности

, где ( -2x₀=A, -2y₀=B)

При любых значениях А, В,С, - это уравнение окружности ?

3. не имеет смысла в действительных числах.

Пример 2. Найти аналитические условия, которые определяет фигура. РИСУНОК

1.ПДСК

2.М(х,у) F (фигура)

5. N , значит , она не попадает хотя бы в 1 полосу. Следовательно, ее координаты не будут удовлетворять нашему ур-ию.

Задача 2’. 1. АСКРИСУНОК

2. .М(х,у) F

4, 5 пункт см.выше

3 пример. ху=0 а в АСК РИСУНОК

М-(х,у) х=0 или у= 0

пара пересекающихся прямых

4 пример. рассмотрим фигуры в ПДСК

А)р=3 РИСУНОКб) РИСУНОК в) РИСУНОК

Пример 5. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла проведен перпендикуляр к этому отрезку. Найти геометрическое место точек оснований этих перпендикуляров .РИСУНКИ

Выберем ПСК так, чтобы вершина угла ….

1.ПСК 0-полюс

2.М(

Алгебраическая линия и ее порядок.

Линия на плоскости определяется на плоскости f(x,y)=0 отношению двух переменных относительно АСК. Это означает, что координаты точки, принадлежащей линии удовлетворяют этому уравнению.

Определение. Линия на плоскости наз-ся алгебраической, если в некоторой АСК она задается ур-иемf(x,y)=0, где f(x,y) – это многочлен относительно х , у

Многочлен f(x,y) состоит из вида ax^sy^p, где а – действительное число, sиp– целыне положительные числа.

Число s+p – наз-ся степенью одночлена. Наибольшая степень s+p – это степень многочлена.

Степень многочлена f(x,y) наз-ся порядком линии заданным ур-иемf(x,y)=0.

Теорема. Порядок алгебраической линии не зависит от выбора АСК. Док-во: пусть в данной АСК (0; ) ур-ие линии f(x,y)=0, где f(x,y) – многочлен, состоящий из одночленов ax^sy^p, где s+p

Получится новое:g(x’, y’,)=0 . Степень многочлена gувеличиваться не может, но может уменьшаться. При обратном переходе степень повыситься не может. Вывод: они равны.

Прямая.

Любой ненулевой вектор параллельный прямой наз-ся направляющим вектором этой прямой.

Любая прямая на плоскости в АСК может быть задана одним из след.образов:

1)точка и направляющий вектор

2) 2 точки.

Задача 1. Напишем ур-ие прямой по точке и направляющему вектору. РИСУНОК

1 способ. 1.АСК A(x_0,y₀)

2.M(x,y)

3. –каноническое ур-ие прямой

a₂(x-x₀)=a₁(y-y₀)

a₂x-a₂x₀₌a₁y -a₁y₀

2 способ.1.АСКA(x_0,y₀)

2.M(x,y)

4. – параметрические уравнения прямой.

5. .

3 способ. Рассмотрим каноническое ур-ие.

a₂(x-x₀)=a₁(y-y₀) a₂x-a₂x₀₌a₁y -a₁y₀ a₂x-a₂x₀-a₁y -a₁y₀=0

a:Ax+By+C=0, гдеA=a_2,B=a₂, C=a₁y₀+a₂x₀– общееуравнениепрямой

Прямая – алгебраическая линия первого порядка.

Теорема. Линия на плоскости в АСК заданная уравнением Ах+Ву+С=0 задает прямую с направляющим вектором.

М₀(х_0,у₀) A +B +C=0 С =-A -B

- A - B А(x-x₀)+В(y-y₀)=0 А(x-x₀)= - В(y-y₀)

Это каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с координатами х₀, у₀ в направлении . любое уравнение 1 степени задает прямую.

Задача 2.Напишем уравнение прямой по двум точкам. РИСУНОК

1.АСКA(x_1,y₁)В(x_2,y₂)

2. M(x,y)

3. – уравнение по двум точкам.

Задача 3. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрим прямую . Число равное отношению наз-сякоэффициентом прямой

a₂(x-x₀)=a₁(y-y₀) : а₁

- уравнение с угловым коэффициентом

Аналитическое условие определяющее полуплоскость.

Пусть в АСК на плоскости задана ур-ием прямая: . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Теорема. Если на плоскости в АСК прямая задана своим общим ур-ием , то нер-во задают полуплоскость, ограниченную этой прямой. РИСУНОК

составим определитель этих координат

2) M(x,y)

+ B +A

-С

Пример: задана прямая уравнением пересекает ли она отрезок с концами ? РИСУНОК

Уравнение поверхности и линии в пространстве

Задание АСК в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками действительных чисел их координат.

Это соответствие позволяет задавать геометрические фигуры в пространстве с помощью уравнений неравенств или их систем.

Пусть в пространстве задана некоторая АСК и фигура F.

Условием, определяющим фигуру Fв заданной АСК называется уравнение, неравенство или их система, которым удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой фигуре F.

Условием, определяющее фигуры Fназывается уравнением этой фигуры в данной АСК.

Пример. Z=0 – плоскость Оху .z 0 – полупространство