Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

("а, b Î Q₊) а + b= b + а;

("а, b, с Î Q₊) (а + b)+ с = а + (b+ с)

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множествеQ₊.

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а= b + с.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а> b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q₊ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q₊ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда m < р.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а <b в том и только в том случае, когда т q < nр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q₊ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q₊.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.

Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,представленных дробями и , где т < р : /

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а:b=с тогда и только тогда, когда а = bс.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробямии : .

Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.

Множества натуральных чисел

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел явля­юсь расширением множества N натуральных чисел, необходимо вы­полнение ряда условий.

Первое условие- это существование между N иQ+ отношения включения. Докажем, что

N ÌQ+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезкеевыражается натуральным числомm. Разобьем единичный отрезок направных частей. Тогдаn-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке Х точноmпраз, т.е. длина отрезкахбудет выражена дробью . Значит, длина отрезках выражается и натуральным числомm, и положительным рациональным числом . Но это

должно пбыть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида являются записями натурального числаm.

Следовательно, N ÌQ+.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: 6/1 12/2, 18/3 24/4, 30/5 и т.д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 129.

Рисунок 129.

Числа, которые дополняют множество на­туральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т.е. результаты арифметических дейст­вий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но вы­полненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть аиb- натуральные числа,а+b- их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чиселаиbпо правилу сложения вQ+. Так как а = ,b= , то + = =а+bУбедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично.

Третье условие, которое должно быть выполнено при расшире­нии множества натуральных чисел - это выполнимость вQ+опера­ции, не всегда осуществимой вN. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множествеN, в множествеQ+вы­полняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби — можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа mиnи найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

m:n = : = = .

Обратно, если дана дробь , то ее можно рассматривать как част­ое натуральных чиселmиn:

= = : = m:n.

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде на­турального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть - неправильная дробь. Тогдаm>n. Еслиmкратноn, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если числоm не кратноn, то разделимm наnс остатком:

m=nq + r, гдеr<n.

Подставим nq + rвместоmв запись и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел: = = + =q+ .

Так как r<n, то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь — оказалась представленной в виде суммы нату­рального числаqи правильной дроби . Это действие называется

выделением целой части из неправильной дроби. Например, = = + =3+ .

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо

3 + пишут 3 и называют та­кую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

3 =3+ = + = = .

Мы поможем в написании ваших работ!