Свойства функции и плотности распределения вероятности

1) .

2) .

3) 0.

4) .

5) , , где и – функции распределения вероятности случайных величин и .

6) В любой точке непрерывности функции , .

7) .

8) .

9) .

10) , ,

где и – плотности распределения случайных величин и .

Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что называют функцию ,

Аналогично определяют ,

Равенство называют теоремой умножения плотностей вероятности.

Случайные величины и называются независимыми, если для любых чисел , случайные события и независимы (см. стр.12).

Случайные величины независимы, если выполняется любое из условий:

или .

Для двумерных случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математические ожидания , и дисперсии , составляющих, а также условные математические ожидания и корреляционный момент.

Условным математическим ожиданием для дискретного случайного вектора называется сумма:

Для двумерных непрерывных случайных величин условным математическим ожиданием называется интеграл:

Величина называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин и .

Если – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения , то

где .

Для дискретного случайного вектора

Величина называется коэффициентом корреляции случайных величин и .

Если , то случайные величины и называются некоррелированными.

Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции

1) .

2) Если и независимы, то . Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.

3) Если , то

4) .

5) .

6) .

7) .

Свойства математического ожидания и дисперсии

1) , где – постоянная.

2) .

3) .

4) .

Если , то .

Случайная величина называется неотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.

5) Если , то .

6) , где – постоянная.

7) .

8) .

Если , то .

9) . – постоянная.

10) .

11) .

Двумерная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения

Здесь , , , ,

– коэффициент корреляции случайных величин и . Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.

Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения

Здесь – площадь области .

Пример 1.Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице

	–1	0	2
–1	0,2	0,1	0,3
1	0,1	0,1	0,2

Определить:

1) Законы распределения составляющих и , , ;

2) условный закон распределения случайной величины при условии, что ;

3) ;

4) коэффициент корреляции .

Решение.1) Случайная величина может принимать два значения и .

Событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение , представляет собой сумму трех несовместных событий: , , . По теореме сложения вероятностей вероятность события, состоящего в том, случайная величина примет значение , будет равна сумме вероятностей этих событий. Практически для нахождения достаточно просуммировать вероятности первой строки двумерного закона распределения.

Аналогично находятся вероятности и других значений случайных величин и .

Законы распределения составляющих будут иметь вид

	–1	1
	0,6	0,4

	–1	0	2
	0,3	0,2	0,5

2) Условный закон распределения случайной величины при условии, что – это перечень возможных значений случайной величины и условных вероятностей , которые вычисляются по формуле ,

Условный закон распределения случайной величины при условии, что будет иметь вид

	–1	1

Сравнивая закон распределения случайной величины и условный закон распределения случайной величины , видим, что закон распределения случайной величины зависит от того, какое значение принимает случайная величина . Следовательно, – зависимые случайные величины.

3) Условное математическое ожидание дискретной случайной величины равно .

Для решаемой задачи .

4) Коэффициент корреляции .

Корреляционный момент для дискретной двумерной случайной величины равен .

Для решаемой задачи

Вычислим коэффициент корреляции

Пример 2.Пусть задан треугольник АВС с вершинами А(0,0), В(1,0), С(0,1). Обозначим область, ограниченную треугольником АВС через D. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области , то есть

Найти постоянную , одномерные плотности , случайных величин и , коэффициент корреляции , условную плотность и условное математическое ожидание .

Рис. 3

Решение.1) Постоянную найдем из условия нормировки

, ,

где – площадь треугольника . Значит

2) Уравнение прямой ВС имеет вид . Тогда область можно аналитически задать следующим образом:

или .

4) .

Пример 3.Пара случайных величин и имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей :

Известно, что . Найти .

Решение.Совместная нормальность пары случайных величин и обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина нормальна с параметрами