Канонические уравнения одномерного метода для осесимметричной деформации

Тема 5. Методы решения задач ОМД

Одномерный метод

Канонические уравнения одномерного метода для плоской деформации

Рассмотрим частные случаи деформации: плоское деформированное состояние; осесимметричная деформация. Уравнения равновесия и условие пластичности при плоском деформированном состоянии:

(1)

При плоском деформированном состоянии напряжения зависят от x и y, т.е. напряжения изменяются в плоскости хоу.

В одномерном методе решаются совместно уравнения равновесия с условием пластичности. Предполагается, что зависят от x или y, то есть изменяется по одной из осей координат.

Для упрощения (1) введем допущение: не изменяется вдоль координаты y, то есть (x). Это допущение справедливо только для тонкого слоя. Это слой, у которого

Рис. Схема одномерного метода для плоской деформации

Чем тоньше слой, тем более точный результат дает одномерный метод. Указанное выше допущение позволяет проинтегрировать уравнение равновесия:

Так же принимаем, что не зависит от x (зависит от у). Тогда

;

(2)

определяются из граничных условий на контактной поверхности.

Примем, что касательные напряжения по толщине меняются линейно.

Из условия пластичности:

Делаем допущения:

Приходим к упрощенному условию пластичности:

(3)

Для выбора знака в (3) необходимо привлечь физические уравнения связи:

;

По условию несжимаемости при плоском деформировании .

; ;

Здесь – знак.

Если вдоль ширины слоя происходит удлинение, то берем «+»: «+» в (3). Если – укорочение, то берем «-»: «-» в (3).

Уравнения (2), (3) – каноническая система уравнений для одномерного метода. С использованием одномерного метода решим ряд задач.

Сжатие тонкого слоя между плоскими бойками (трение по Зибелю)

Расчет напряжений

Будем использовать уравнения (2), (3) из предыдущего пункта.

Рис. Сжатие тонкого слоя между плоскими бойками

Металл растекается от середины к краям, то есть - напряжения подпора. Закон трения Зибеля:

Будем рассматривать правую часть слоя, то есть когда x 0. Для левой части решение будет таким же.

На контактной поверхности:

Каноническое уравнение:

Интегрируем последнее уравнение:

Константу интегрирования C определим из граничных условий: ;

(1)

Напряжение меняется по ширине заготовки по линейному закону.

- упрощенное условие пластичности;

(2)

Эпюры напряжений, построенные по (1) и (2), приведены на рис.

Рис. Эпюры напряжений, построенные по (1) и (2)

Напряжение зависит от трения. Если трения нет, то не будет и подпора. Увеличение сил трения ведет к увеличению нормального напряжения , а значит возрастает и усилие осадки.

Расчет усилия осадки

Для определения усилия P необходимо на контактной поверхности просуммировать все нормальные напряжения . Для этого берем интеграл:

l – длина заготовки (вдоль координаты z);

l b – площадь контактной поверхности;

- учитывается влияние трения и соотношение размеров на усилие.

Среднее давление: ;

- коэффициент напряженного состояния;

- из условия текучести Мизеса;

; ;

. (3)

(3) – формула Зибеля для осадки тонких полос.

Широко применяется для расчета давлений при деформации тонких заготовок..

На среднее давление влияют факторы:

1. Свойства металла - или ;

2. Коэффициент трения или ;

Рис. Зависимость коэффициента напряженного состояния от факторов деформации

Отношение является определяющим при расчете давлений и усилий.

Для уменьшений усилий уменьшают коэффициент трения за счет применения технологических смазок.

При отсутствии трения ( ) . Это объясняется следующим образом: определяется при испытании на сжатие цилиндрических образцов. В этом случае металл течет в радиальном направлении во все стороны.

Рис. Течение металла при осадке цилиндра

При осадке длинных заготовок металл течет только в ширину (плоская деформация).

Рис. Течение металла при осадке длинных заготовок

Из–за ограниченности течения металл при осадке таких заготовок требуется дополнительное давление: . 15% - за счет плоской схемы течения.

При малых h усилие осадки может быть очень большим.

Пример: какое усилие необходимо для осадки бритвенного лезвия между двумя параллельными плитами: h = 0,1 мм; b = 20 мм; l = 50 мм; = 500 Мпа?

(10 Мпа = 1кгс/ ) (1 кгс = 10 Н) (Па = Н/ ).

Канонические уравнения одномерного метода для осесимметричной деформации

Осесимметричная деформация – когда поле напряжений и поле скоростей имеет центральную ось симметрии. С точки граничных условий это означает, что заготовка имеет форму тела вращения, а все внешние нагрузки должны быть симметричны относительно оси вращения. Это может быть волочение круглых прутков или труб; осадка дисков или колец; вытяжка листовая деталей типа цилиндров и т. п.

Осесимметричные задачи удобно решать в цилиндрической системе координат. По оси симметрии направлена ось z, в направлении радиуса ось ; третья координата угол .