Выявление основной тенденции ряда

Тема 8. Ряды динамики

Вопросы темы:

8.1. Понятие и классификация рядов динамики

8.2. Статистические показатели ряда динамики

8.3. Выявление основной тенденции ряда

8.4. Расчет индексов сезонности

Понятие и классификация рядов динамики

Социально-экономические процессы и явления находятся в динамике – постоянном движении и изменении.

Ряд динамики (временной ряд) – это ряд расположенных в хронологическом порядке значений статистического показателя, отображающий изменение изучаемого явления во времени.

Ряд динамики состоит из двух элементов:

· показатель времени (t) – моменты (даты) или периоды (год, квартал, месяц, сутки) времени, к которым относятся статистические данные;

· уровни ряда (y_t), – значения статистического показателя, характеризующие состояние явления на момент или за период.

Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически.

Ряды динамики классифицируют по следующим признакам (см. рис. 8.1).

Рисунок 8.1. Классификация рядов динамики.

 

Моментные ряды – статистические данные представлены по состоянию на определенный момент времени.

Интервальные ряды – их уровни характеризуют результат за определенный интервал времени (сутки, месяц, год и т. п.).

 

Пример 8.1.Моментный ряд динамики, характеризующий численность персонала фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2014 г., представлен в таблице:

Дата	1.01.14	1.02.14	1.03.14	1.04.14	1.05.14	1.06.14
Численность персонала, чел.	780	970	810	880	930	940

       Конец примера

‼Моментные ряды абсолютных величин нельзя суммировать. Например, бессмысленно складывать численность персонала по состоянию на 1 января, 1 февраля и т.д. Эта сумма ничего не выражает, т.к. в ней многократно повторяются одни и те же единицы совокупности (имеет место повторный счет).

 

Пример 8.2.Интервальный ряд динамики, характеризующий динамику объема розничного товарооборота в регионе, представлен в таблице:

Дата	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Товарооборот, млрд. руб.	28,3	31,9	38,3	42,3	45,2	47,1

Сумма уровней интервального ряда – реальный показатель. Например, общий объем розничного товарооборота за 2008-2013 гг.

Уровни ряда динамики должны быть сопоставимы по методологии учета и расчета показателей, территориальным границам, кругу охватываемых объектов, единицам измерения и другим признакам. Для приведения уровней ряда к сопоставимому виду применяют смыкание рядов динамики(см. учебник и практикум с.240-241).

 

Статистические показатели ряда динамики

Показатели, характеризующие ряд динамики, делят на абсолютные, относительные и средние. Абсолютные и относительные показатели используются для анализа изменений явления во времени (аналитические). Средние показатели дают обобщающую характеристику явления.

Аналитические показатели

Аналитические показатели уровня ряда получают сравнением уровней. Сравниваемый уровень ( ) называют текущим, а уровень, с которым происходит сравнение, – базисным. За базу сравнения обычно принимают предыдущий уровень ( ) или начальный уровень ряда ( ).

При сравнении каждого уровня с предыдущим получают цепные показатели. Цепные показатели динамики характеризуют интенсивность изменения уровня во времени.

При сравнении с одним уровнем (базой) получают базисные показатели. Базисные показатели динамики показывают результат всех изменений в уровнях ряда за время от базисного периода до текущего.

1. Абсолютный прирост ( ) показывает абсолютную скорость роста (снижения) уровней ряда, определяется как разность сравниваемых уровней:

где  – уровень i-го периода (кроме начального);

 – уровень базисного периода;

 – уровень предыдущего периода.

2. Темп роста ( ) показывает интенсивность изменения уровней ряда, определяется как отношение текущего уровня к предыдущему или к базисному:

Темп роста, записанный без процентов, называют коэффициентом роста. Он показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше базисного или какую часть от него составляет.

!! Темп (коэффициент) роста всегда положительное число:

· если  – то значение уровня не изменилось,

· если  – значение уровня повысилось,

· если  – значение уровня понизилось.

3. Темп прироста (Т_пр) – отношение абсолютного прироста ( ) к базисному или предыдущему уровню:

Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился текущий уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

Темп прироста (в отличие от темпа роста) может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Между темпом роста и темпом прироста существует взаимосвязь:

4. Абсолютное значение одного процента прироста – отношение абсолютного прироста ( ) к соответствующему цепному темпу прироста, выраженному в процентах:

Из формулы видно, что  представляет собой одну сотую часть предыдущего уровня. Его расчет имеет экономический смысл только на цепной основе.

 

Обобщающие показатели

Каждый ряд динамики – это совокупность меняющихся во времени значений статистического показателя, которые можно обобщать в виде средних величин. Для обобщения данных по рядам динамики рассчитывают:

- средний уровень ряда ( ); - средний абсолютный прирост (

- средний темп роста ( - средний темп прироста .

1. Средний уровень ряда динамики ( ) рассчитывается в зависимости от вида ряда: моментный или интервальный, равноотстоящий или неравноотстоящий.

Способы расчета среднего уровня( ) ряда динамики

Вид ряда	Интервальный ряд (по средней арифметической)	Моментный ряд (по средней хронологической)
С равноотсто-ящими уровнями	По средней арифметической простой: где n – число уровней (длина ряда).	По средней хронологической простой: где n – число уровней ряда.
С неравноотстоящимиуровнями	По средней арифметической взвешенной: где  – длительность интервала между соседними уровнями.	По средней хронологической взвешенной: где  – длительность интервала между соседними уровнями.

2. Средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд,показывает абсолютную скорость[1] изменения явления во времени. Определяется по средней арифметической простой из цепных абсолютных приростов:

где n – число уровней ряда.

3. Средний темп роста ( )характеризует интенсивность изменения уровней ряда. Способ его расчета зависит от того, являются равными расстояния между уровнями ряда, или нет:

1) для равноотстоящих рядов  определяется по средней геометрической из цепных коэффициентов роста, выражается в процентах или числом (коэффициент роста):

 

или после сокращения получим:

2) для неравноотстоящих рядов определяется по средней геометрической, взвешенной по продолжительности периодов между уровнями ряда:

где – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста.

4. Средний темп прироста определяют на основании среднего темпа роста:

Выявление основной тенденции ряда

В общем случае в ряду динамики выделяют следующие составляющие:

где  – тенденция (тренд);

 – сезонная компонента;

 – циклическая компонента;

 – случайная компонента (или погрешность измерения, не поддающаяся статистическому анализу).

При анализе рядов динамики в целях прогнозирования стремятся выявить детерминированные составляющие (тенденцию, сезонные и циклические колебания) и уменьшить случайную.

Основная тенденция показывает общее направление развития. Иногда она ясно прослеживается, но может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания курса рубля к иностранной валюте могут заслонить наличие тенденции к его росту или снижению.

Для выявления основной тенденции применяют:

- метод укрупнения интервалов;

- методы сглаживания: метод скользящей средней и аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интерваловоснован на увеличении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Уровни нового ряда получают суммированием уровней исходного ряда либо заменой на средние уровни. Например, ряд недельных данных преобразуют в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменяют годовыми уровнями.

Методы сглаживания ряда динамики сводятся к замене фактических уровней расчетными уровнями.

Метод простой скользящей среднейсостоит в замене абсолютных значений уровней ряда средними арифметическими способом скольжения. Сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д., т.е. «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя.

Средняя из нечетного числа уровней относится к середине интервала. Если интервал сглаживания четный, то отнесение средней к определенному времени невозможно, – она относится к середине между датами. Для этого применяют центрирование – нахождение средней из двух смежных скользящих средних, которую относят уже к определенной дате.

Пример 8.3.Имеются данные о количестве заказов на ремонт бытовой техники. Произведем сглаживание ряда методом трехчленной и четырехчленной скользящей средней. По данным за первые три дня вычисляем трехчленные суммы, затем – среднюю:

Число месяца	Количество заказов	Трехчленные скользящие суммы	Трехчленные скользящие средние	Четырехчленные скользящие суммы	Четырехчленные скользящие средние (не центрированные)	Четырехчленные скользящие средние (центрированные)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	6 12 8 14 9 7 10 8 8 6 11 7 10 15 8	- - 26 34 31 30 26 25 26 22 25 24 28 32 33	- 26/3=8,7 11,3 10,3 10 8,7 8,3 8,7 7,3 8,3 8,0 9,3 10,7 11 -	- 40 43 38 40 34 33 32 33 32 34 43 40 -	- 40/4=10 43/4=10,75 9,5 10 8,5 8,25 8,0 8,25 8,0 8,25 10,75 10 - -	- - (10+10,75)/2=10,4 10,1 9,8 9,3 8,4 8,1 8,1 8,1 8,1 9,5 10,4 - -

       Получаем сглаженный ряд из трехчленных скользящих средних:

       Число его членов меньше на 2, зато тенденция просматривается лучше.

 

       Сглаженный ряд из четырехчленных скользящих средних:

Конец примера

Недостаток метода простой скользящей средней: сглаженный ряд динамики сокращается, т.к. невозможно получить сглаженные уровни для его начала и конца. Этого недостатка лишен метод аналитического выравнивания.

 

Аналитическое выравниваниесостоит в представлении уровней ряда динамики в виде функции времени (статистической модели):

Осуществляется по любому рациональному полиному:

.......

где а₀, а₁, ...а_n – параметры,

t – условное обозначение времени – порядковый номер, например:

Год	2012	2013	2014	2015
t	1	2	3	4

Параметры модели находят методом наименьших квадратов, суть которого состоит в выборе таких параметров а₀, а₁, ...а_n, при которых сумма квадратов отклоненийфактических уровней ряда от расчетных значений была бы минимальной:

где – фактическое значение уровня ряда динамики;

 – расчетное (теоретическое) значение уровня ряда;

  n – длина ряда динамики.

Используя необходимое условие экстремума (равенство нулю первой производной), получают нормальную систему метода наименьших квадратов–систему алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров а₀, а₁, ...а_n. Решение этой системы относительно а₀, а₁, ...а_n даёт искомые значения параметров.

Для выравнивания ряда динамики по прямой используют линейную функцию, уравнение тренда будет иметь вид:

Условие минимальности суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных:

Рассмотрим S как функцию переменных и произведем дифференцирование по этим параметрам:

Получаем систему нормальных уравнений МНК для нахождения параметров:

Решим систему относительно параметров тренда  для получения формул их расчета. Выразим из первого уравнения  :

и подставим во второе:

Выразим

Формулы 8.1 и 8.2 используются для расчета параметров уравнения тренда (сначала находят а затем ).

 

Для рядов динамики расчеты можно упростить, если показатели времени подобрать так, чтобы их сумма была равна нулю:

При нечетном числе уровней ряда показатели времени подбирают так, чтобы начало отсчета находилось в середине ряда:

Год	2011	2012	2013	2014	2015
t	-2	-1	0	1	2

Если число уровней ряда четное, то показатели времени подбирают так:

Год	2010	2011	2012	2013	2014	2015
t	-5	-3	-1	1	3	5

Тогда формулы для расчета параметров уравнения тренда примут вид:

Пример 8.4.Имеются данные о динамике выручки предприятия за последние 5 лет:

Год	Выручка, млн. руб.
2009 2010 2011 2012 2013	13,3 13,5 14,8 16,1 16,6
Итого	74,3

Произведем выравнивание ряда по прямой.

Решение

Рассчитаем параметры уравнения  по формулам:

Для расчета коэффициентов заполняем графы 2,3,4:

Год	Выручка, млн. руб. (y)	t
A	1	2	3	4	5	6	7
2009 2010 2011 2012 2013	13,3 13,5 14,8 16,1 16,6	-2 -1 0 1 2	4 1 0 1 4	-26,6 -13,5 0 16,1 33,2	13,02 13,94 14,86 15,78 16,7	0,28 -0,44 -0,06 0,32 -0,1	0,08 0,19 0,00 0,10 0,01
Итого	74,3	-	10	9,2	74,3	-	0,39

Тогда

Получаем уравнение основной тенденциивыручки предприятия:

Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычислим уровни ряда динамики и запишем в столбец 5 таблицы:

После расчета основной тенденции строят график, где изображают фактические и теоретические уровни ряда:

       Конец примера

Основная тенденция (тренд) показывает воздействие систематических факторов на уровень ряда. Колеблемость уровней около тренда объясняется воздействием прочих факторов. Ее абсолютную величину измеряют с помощью среднеквадратического отклонения:

Определим ее для примера 8.4, рассчитав в графах расчетной таблицы 6 и 7 отклонения и их квадраты:

Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации:

Для примера 8.4:

Расчет индексов сезонности

Устойчивые изменения уровней ряда с периодичностью, равной году, называют сезонными колебаниями. Сезонность – результат влияния природно-климатических условий и связанных с ними особенностей производства и потребления.

Для изучения сезонных колебаний анализируют месячные и квартальные уровни ряда динамики за один год или несколько лет и описывают с помощью индексов сезонности (I_s).

Совокупность исчисленных индексов сезонности характеризует сезонную волну развития явления,и наглядно может быть представлена графически.

---

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 667; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!