По дисциплине «Математический анализ 2»

Экзаменационные вопросы по дисциплине «Математический анализ»

2 семестр

1. Дифференциальные уравнения высших порядков (основные понятия). Задача Коши.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Метод Лагранжа.

5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, метод подбора частного решения.

6. Системы дифференциальных уравнений, основные понятия, задача Коши.

7. Скалярное поле. Характеристики скалярных полей: линии и поверхности уровня, производная по направлению, градиент.

8. Криволинейный интеграл первого рода, его геометрический и физический смысл, свойства.

9. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

10. Поверхностный интеграл первого рода, его геометрический и физический смысл, свойства.

11. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

12. Векторное поле. Характеристики векторных полей: векторные линии, векторные трубки, ротор, дивергенция.

13. Криволинейный интеграл второго рода, его физический смысл, свойства.

14. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

15. Циркуляция векторного поля. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.

16. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, свойства.

17. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

18. Дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского – Гаусса. Ротор векторного поля. Теорема Стокса.

19. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого и второго порядков.

20. Специальные виды векторных полей.

21. Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.

22. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

23. Понятие функции комплексной переменной. Предел функции комплексной переменной.

24. Производная функции комплексной переменной. Аналитичность. Свойства аналитических функций.

25. Преобразование Лапласа. Оригинал. Изображение. Таблица оригиналов.

26. Свойства преобразования Лапласа.

27. Восстановление оригинала по изображению.

Задачи для подготовки к экзамену

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) .

2. Найти частное решение (частный интеграл): а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения: а) , б) , в) , г) , д) , е) .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения: а) , б) , в) , г) , д) , е) .

5. Найти решение задачи Коши: а) , , б) , .

6. . Решить систему дифференциальных уравнений: а) б) в) г)

7. Вычислить , где L- дуга окружности от точки А(-1, 0) до точки В(0, -1).

8. Вычислить , где L- дуга астроиды от точки А(1, 0) до точки В(0, 1).

9. Вычислить , где L- первая арка циклоиды

10. Вычислить , где L- отрезок прямой от точки А(0, -2, 1) до точки В(4, 0, 2).

11. Вычислить , где L – дуга астроиды от точки А(2, 0) до точки В(0, 2).

12. Вычислить , где L – дуга параболы от точки А(0, 0) до точки В(1, 2).

13. Вычислить , где L – отрезок прямой от точки О(0, 0, 0) до точки В(-2, 4, 5).

14. Вычислить , где L – дуга линии от точки А(1, 0) до точки В(е, 1).

15. Вычислить , где L – дуга эллипса; обход контура совершается против движения часовой стрелки.

16. Вычислить , где Q – часть плоскости , отсеченная координатными плоскостями.

17. Вычислить , где Q – внешняя сторона сферы , лежащая в первом октанте.

18. Вычислить , где Q – часть плоскости , лежащая в первом октанте (нормаль внешняя).

19. Вычислить , где Q – часть поверхности параболоида , отсекаемая плоскостью (нормаль внешняя).

20. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемой плоскостью и координатными плоскостями.

21. Вычислить поток векторного поля через часть плоскости , отсеченной координатными плоскостями, нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz.

22. Вычислить поток векторного поля через всю поверхность тела в направлении внешней нормали.

23. Вычислить , где Q – внешняя сторона сферы .

24. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора.

25. Вычислить циркуляцию векторного поля по окружности, полученной в результате пересечения сферы с плоскостью , при положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости.