Получение дифференциальных уравнений отдельных элементов системы и их передаточных функций

Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением

где -угол поворота выходного вала двигателя.

Введя соответствия между оригиналами ,  и изображениями и  аналогично предыдущему, получим в области Лапласа

,

и, следовательно,

Редуктор

Теперь подставим в найденные выражения для дифференциальных уравнений и передаточных функций элементов числовые значения параметров, заданных для данного варианта в таблице 1.

Измерительное устройство следящей системы

36

Электронный усилитель

В задании на курсовое проектирование коэффициент передачи  электронного усилителя не указан, его нам ещё предстоит определить, поэтому уравнение и передаточная функция ЭУ пока остаются в буквенном виде.

Электромашинный усилитель

.

Двигатель постоянного тока

= .

Редуктор

0.002

0.002

Теперь, зная математическое описание отдельных элементов САР, можно получить структурную схему системы.

Получение передаточной функции и дифференциального уравнения разомкнутой исходной системы

Передаточная функция разомкнутой системы определяется как произведение передаточных функций всех звеньев системы

Отсюда получим дифференциальное уравнение разомкнутой исходной системы

Определение общего коэффициента усиления (добротности) системы

Добротность системы k, может быть определена из выражения

где:  - максимальное значение скорости вращения задающей оси,

     - кинетическая ошибка следящей системы.

В правой части дифференциального уравнения разомкнутой исходной системы сомножитель 1.26·k_эу и есть добротность системы, поэтому

k =1.26·k_эу; .

Получение передаточной функции замкнутой исходной системы

С учётом полученного значения k_эу =317,46 передаточная функция исходной разомкнутой системы примет вид

Дифференциальное уравнение исходной разомкнутой системы при k_эу=317,46 будет выглядеть так

Передаточная функция исходной замкнутой системы в случае отрицательной единичной обратной связи определится из выражения

=

=

Значит, дифференциальное уравнение исходной замкнутой системы будет

.

Определение устойчивости исходной замкнутой системы. Нахождение граничного коэффициента усиления

Для определения устойчивости исходной замкнутой САР воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить из передаточной функции W_{з исх}(p), приравняв к нулю ее знаменатель.

=0 .

где: .

Согласно критерию Гурвица для устойчивости системы, заданной некоторым характеристическим уравнением, необходимо и достаточно, чтобы при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения были положительны и все главные диагональные миноры.

Первое условие выполняется, т.к. все коэффициенты положительные. Проверим знаки миноров.

    .

Так как минор Δ₃<0, то система неустойчива.

Определим граничный коэффициент усиления k_гр, при котором система находится на границе устойчивости. Для этого приравняем к нулю минор Δ₃ и из полученного равенства найдем k_гр.

.

Отсюда

.

Итак, исходная система неустойчива, поэтому необходим синтез корректирующего устройства.

Мы поможем в написании ваших работ!