Позиционные и непозиционные системы счисления

Математические понятия

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов..

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура»

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.

Объем и содержание понятия.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства. Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат». Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. Любое понятие имеет не только объем, но и содержание. Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи. Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами. Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z. Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В. 20 Если А ⊂В (А≠В), тоговорят, чтопонятиеа–видовоепоотношениюкпонятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а. Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ВиА≠В), поэтомувсякийпрямоугольникявляется четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник»

Определение понятий

появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий.

Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде: а есть (по определению) b. Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, итогдаопределение выглядит так: В 21 а ⇔ b. опр. Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее. Обратимся ко второй части определения «прямоугольник». В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием. Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия. Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Знак «+» используется как замена частица «и». Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А = {х/ х ∈СиР(х)}

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их. 1. Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. 2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя. 3. Определение должно быть ясным. Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия. 4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового: Определяемое понятие Родовое понятие Видовое отличие ⇔ опр. + Определяющее понятие 22 1. Назвать определяемое понятие (термин). 2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие. 3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие. 4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.

Комбинаторика

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными

С теоретико-множественной точки зрения решение комбинаторных задач связано с выбором из некоторого множества подмножеств, обладающих определенными свойствами, и упорядочением множеств. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю начальных классов необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор возможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно. Учителю надо знать общие правила комбинаторики (в частности, правила суммы и произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул. Поэтому предложенный в данном пособии путь освоения способов решения комбинаторных задач состоит из нескольких этапов: сначала они решаются методом перебора и для записи возможных вариантов используются различные способы; затем появляются правила суммы и произведения и процесс решения комбинаторных задач несколько формализуется, и, наконец, рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по формулам.

Правила суммы и произведения

В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют в таком виде. Если объект а можно выбрать m способами, а объект b – k способами (не такими, как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m + k способами

Задача 1. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод? Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсина», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.

Правило нахождения числа элементов декартова произведения двух множеств называют в комбинаторике правилом произведения и формулируют в таком виде:

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b – k способами, то пару (а, b) можно выбрать m • k способами. Правило суммы и произведения, сформулированные для двух объектов, можно обобщить и на случай t объектов.

Задача 2. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина? Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсина), то ее, согласно правилу произведения, можно осуществить 5 • 4 = 20 способами

Задача 5. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3? Решение. Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Столько же способов выбора имеется для цифры десятков и цифры единиц. Итак, цифру тысяч можно выбрать одним способом, цифру сотен – двумя, цифру десятков – двумя, цифру единиц – двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1 • 2 • 2 • 2 = 8. Таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел

определение. Размещение без повторений из k элементов по m элементов – это кортеж, составленный из m неповторяющихся элементов k-элементного множества.

Число всевозможных размещений без повторений из k элементов по m элементов обозначают Аⁿ k и подсчитывают по формуле: А m k = k• (k-1)•…• (k- m+1). Выведем эту формулу. Пусть в множестве Х содержит k элементов. Будем образовывать из них различные размещения без повторений из m элементов. Тогда выбор первого элемента таких кортежей можно осуществить k способами; если первый элемент выбран, то выбор второго элемента можно осуществить k-1 способами (так как после выбора первого элемента кортежа в множестве Х остается k-1 элемент). Третий элемент размещения можно выбрать k-2 способами и т.д., m-й элемент можно выбрать k- (m1) способами. Но выбор упорядоченного набора из m элементов можно осуществить k• (k-1)•…• (km+1). Значит, А m k = k• (k-1)•…• (k- m+1). m множителей Например, число двузначных чисел, записанных с помощью цифр 7, 4 и 5 так, что цифры в записи числа не повторяются, есть число размещений без повторений из трех элементов по два: А 2 3 = 3• (3-1) = 3•2 = 6

Определение. Сочетание без повторения из k элементов по m элементов – это m-элементное подмножество множества, содержащего k элементов. Два сочетания из k элементов по m элементов отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число всевозможных сочетаний без повторений из k элементов по m элементов обозначают C m k . Как находить это число? Обратимся сначала к примеру. Образуем различные двухэлементные подмножества из элементов множества Х = {7, 4, 5}. Их будет три: {7, 4}{7, 5}{4, 5}. Из элементов каждого такого подмножества можно образовать 2! кортежей длины 2: (7, 4) (7, 5) (4, 5) (4, 7) (5, 7) (5, 4) Все полученные кортежи являются размещениями без повторения из трех элементов по два и их число равно А 2 3 = 3•2 = 6. Но, с другой стороны, это число равно произведению 2! • С 2 3 . Значит, А 2 3 = 2! • С 2 3 , откуда С 2 3 = 2! 2 А3 . Докажем справедливость этой зависимости в общем виде, т.е., что С m k = m! A m k . Пусть в множестве Х содержится k элементов. Образуем из них сочетания без повторений по m элементов. Они будут представлять собой m-элементные подмножества множества Х. Всего таких подмножеств будет С m k . Из элементов каждого m-элементного подмножества можно образовать m! Перестановок, т.е. кортежей длины m. В итоге получим m! С m k кортежей длины m, образованных из k элементов множества Х. Их число равно А m k . Таким образом, А m k = m! С m k , откуда С m k = m! A m k .

1) Сколько всего двузначных чисел? (Используются размещения с повторениями) 2) Сколько всего двузначных чисел, в записи которых цифры не повторяются? (Используется размещения без повторений) 3) На прямой взяли десять точек. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки? (Используются сочетания без повторений).

Позиционные и непозиционные системы счисления

В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятич-ная системы счисления являются позиционными

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В

В )той системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D , тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания.193 - это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III); следовательно, число 193 записывается как СХСIII.

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 232; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!