Элементы теории массового обслуживания

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 16Следующая ⇒

Рассматривается абстрактная модель, которую можно видеть на рис. 2.5, где λ – среднее число сообщений поступающих на вход в единицу времени.

Обслуживающий прибор

Очередь

Рис. 2.5. Модель системы массового обслуживания

Каждая заявка обслуживается случайное время T. Среднее время обслуживания μ – интенсивность обслуживания, которая вычисляется по формуле

Рассмотрим случай, который продемонстрирован на рис. 2.6, где D₁, D₂ – время пребывания заявки в системе.

D₁

D₂

Рис. 2.6. Пример обслуживания заявок в системе

Если λ<μ, то система устойчива (средняя длина очереди конечна), если λ³μ, то система неустойчива (очередь постоянно накапливается), если λ=μ, то система устойчива только в том случае, если интервалы между поступлением заявок и интервалы времени между окончаниями обслуживания не случайны.

Для устойчивой системы можно определить задержку d, где где D – время пребывания в очереди. Также задержку можно вычислить по формуле (т. Литтла) где и среднее число заявок в системе.

Система массового самообслуживания с постоянным временем обслуживания и пуассоновским входным потоком. Синхронная и асинхронная системы.

Данная система обозначается как M|D|1, где M – тип входного потока – простейший пуассоновский входной поток, D – закон распределения времени обсуживания, в данном случае - постоянная величина, 1 – число обслуживающих приборов. Существует 2 варианта системы – синхронная и асинхронная. На рис. 2.7. сверху представлена синхронная система, а под ней – асинхронная.

Для синхронной системы: все время работы системы разбито на интервалы одинаковой длины – окна. Длительность окна равна времени обработки одной заявки и это время приято за единицу времени. Обслуживание в такой системе может начаться только в начале окна. В LTE и многих других современных системах используются разделение на окна и именно синхронные системы.

В асинхронной системе обслуживание может начаться в любой момент времени. Первая заявка в системе начинает обрабатываться сразу же, в момент ее поступления.

Работу систем поясним диаграммой, которая изображена на рис .

X₄ 4

X₃

X₁ 1 X₂

*******

Рис.2.7. Временная диаграмма систем

Предполагается, что на вход системы поступает пуассоновский поток интенсивности , т.е. среднее число заявок. X₁, X₂, X₃, X₄ – независимые случайные величины. Интервал времени между заявками распределен по экспоненциальному закону.

– средний интервал между заявками. .

, т.к. величина распределена по экспоненциальному закону.

– интегрированная формула распределения.

Формула плотности вероятности для экспоненциального распределения: .

~ равномерно распределенная от [0,1] случайная величина. X ~ F(t).

F(t)

Рис. 2.8 Интегрированная функция распределения

Выполним анализ асинхронной системы на качественном уровне. Положим t задается от интенсивности входного потока.

Для нахождения d₀рассмотрим ситуацию, когда в системе появляется одно единственное сообщение:

т.к. D = 1 = const и d₀= 1

Для нахождения _кр воспользуемся утверждением:

, = 1

Тогда система устойчиво работает, если < 1, _кр

_кр= 1 =1

d₀ ₀

Рис. 2.9. Анализ асинхронной системы на качественном уровне

_{кр =}_µ,d₀=1

Проведем анализ синхронной системы на качественном уровне.

Найдем d₀. Для нахождения d₀ рассмотрим ситуацию, когда в системе появляется заявка:

D₂ D

D₁

Для нахождения _кр снова воспользуемся утверждением из теории массового обслуживания:

_кр

Синхронная система

Асинхронная система

_кр= 1 =1

1 ₀

1,5 ₀

Рис. 2.10. Сравнительный анализ двух систем

2.6Анализ зависимости среднего числа заявок и средней задержки от интенсивности входного потока для синхронной системы M|D|1

1 допуск 3 лабораторной работы. Смоделировать синхронную и асинхронную систему M|D|1 и сравнить результаты моделирования с теоретическими формулами, которые будут получены далее.

≜ = f (

Смоделировать можно следующим образом:

, .., , где – число заявок в системе в -ый момент времени.

= lim

Предел существует при 1. При =0 предел существует и равняется 0.

> 1

0 1 2 Т

КАК НАЗВАТЬ РИСУНОК?

Пусть к началу окна в системе было заявок и поступило заявок. Покажем, как можно вычислить количество заявок к началу следующего окна .

= – 1 +

Скорректируем данное выражение. Необходимо учесть случай, когда в системе нет заявок.

= - I ( >0) + (1)

I – идентификатор события, если , то I = 1, иначе I = 0.

Замечание. Для любого момента времени – случайные величины не зависят от .

1 1 1 1

{x>t} = x x x

x1 x2 x3

= x>1 =

Значит в I момент времени не должно быть заявки.

=n} = – распределение Пуассона.

Интервалы времени разделены по экспоненциальному закону. Число заявок, поступающих через фиксированное время, распределено по закону Пуассона. Если рассматривать систему обслуживания на примере магазина, закон работает в случае, если желание людей подойти к кассе никак не скоординировано.

M = · =n = = = 1 (как суммы всех возможных вероятностей) = =

· =| = n – 1 (замена)| = =
M =

D = M = + ² = - ² = - 2 + ² = - ²

D = - ²

= = = = = = + = | =n – 1(замена)| = + = +

Получим, что D = ²+ = .

Замечание. Для Пуассоновского распределения D и M имеют одно численное значение.

Анализ (1) будет предполагать:

1) <1, то есть система устойчива

2)Наблюдаем работу системы в бесконечный момент t

3) из п.1-2 M [ ] = M [ ]

Вспомним:

= – I ( >0)+ (*)

M[ = , D[ =

<1,

Возьмем мат.ожидание от правой и левой части (*).

M [ ] = M [ ] - M[I( >0)] + M[ .

Было получено, что [ ] = [ ], поэтому можно сократить. В дальнейшем индекс будем опускать для краткости обозначения, т.к. рассматриваем момент времени .