Если токи в параллельных проводниках текут в противоположные стороны, то легко показать, что проводники будут отталкиваться друг от друга.
Лекция 16
Тема 3.3. Магнитное поле в вакууме
Магнитное поле. Закон Био – Савара – Лапласа. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Магнитное поле прямого тока. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Магнитное поле движущегося заряда. Действие магнитного и электростатического полей на движущийся электрический заряд, Сила Лоренца. Формула Лоренца.
Ускорители заряженных частиц.
Как мы установили, электрические заряды создают в окружающем пространстве силовое электростатическое поле. Постоянные магниты или токи также создают вокруг себя поле, которое называется магнитным иналичие которого в пространстве обнаруживается по силовому действию на внесенные в него постоянные магниты или проводники с током. Почему поле называют магнитным? Потому, что магнитная стрелка, как это обнаружил датский физик Х. Эрстед, под действием поля, создаваемого током, определенным образом ориентируется в поле.
Если электростатическое поле оказывает действие как на покоящиеся, так и на движущиеся заряды, то магнитное поле – только на движущиеся в нем электрические заряды. Характер этого воздействия на проводник с током определяется его формойи расположением в поле, а также направлением протекающего по нему электрического тока. Далее, если при изучении действия электростатического поля использовались точечные заряды, то исследовании действия магнитного поля на проводник с током выбирают замкнутый плоский контур с током, называемый рамкой с током (рис. 3.3.1). Размеры рамки с током должны быть малыми по сравнению с расстоянием до тока (магнита), создающего магнитное поле. В магнитном поле рамка с током ориентируется вполне определенным способом, эта ориентация обычно характеризуется направлением нормали n к плоскости рамки и определяют по правилу правого винта: оно считается положительным, если винт вращается в направлении тока, протекающего по рамке (см. рис. 3.3.1).
|
|
|
n
Рис. 3.3.1.
Как показывает опыт, магнитное поле поворачивает рамку с током, ориентируя ее определенным образом. Направление поля считается положительным, если оно совпадает с положительным направлением нормали к рамке. Если же речь идет о постоянных магнитах (например, о магнитной стрелке), то за направление поля принимают направление силы, действующей на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в рассматриваемую точку поля. Однако на южный полюс стрелки действует другая сила, направленная в противоположную сторону и равная по величине той силе (поскольку полюса стрелки находятся в близких точках поля), которая действует на северный полюс. Значит, на стрелку действует пара сил, поворачивающая стрелку таким образом, что направление от южного полюса к северному будет совпадать с направлением поля.
|
|
|
Пара сил действует со стороны поля и на рамку с током. Вращающий момент M пары сил, действующих на нее со стороны магнитного поля, зависит как от его свойств в данной точке поля, так и от свойств самой рамки
M = [pmB], (3.3.1)
где B –вектор магнитной индукции, который является количественной характеристикой магнитного поля, а pm – вектор магнитного момента рамки с током. Для плоской рамки с током I
pm = ISn, (3.3.2)
где S –площадь контура рамки, n – единичный вектор нормали к плоскости рамки. Направление этого вектора совпадает с направлением положительной нормали рамки.
Если в данную точку поля помещать разные рамки с током, то вращающие моменты, которые будут на них действовать, будут, конечно, отличаться друг от друга, однако отношение максимального вращающего момента к величине вектора магнитного момента для любой рамки с током оказывается одним и тем же
|
|
|
B = Mmax/pm, (3.3.3)
поэтому оно и было выбрано в качестве количественной силовой характеристики магнитного поля, которая называется магнитной индукцией. Из выражения 3.3.3 виден физический смысл понятия магнитной индукции: это максимальный вращающий момент, действующий на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлении поля.
Коль скоро магнитное поле является силовым, то его по аналогии с электростатическим полем графически изображают с помощью линий магнитной индукции, под которыми понимают линии, касательные к которым в любой точке поля совпадают с направлением вектора В. Направление линий магнитной индукции определяют по правилу правого винта: оно совпадает с направлением поступательного перемещения винта при его вращении вокруг собственной оси в направлении протекания тока в рамке. Линии магнитной индукции охватывают проводники с током и всегда замкнуты в отличие от линий напряженности электростатического поля, которые всегда разомкнуты, начинаясь на положительных и заканчиваясь на отрицательных зарядах.
|
|
|
Поскольку электроны в атомах и молекулах не неподвижны, то, по представлению французского физика А. Ампера, с их движением связаны микротоки, которые создают магнитное поле внутри вещества, которое тем или иным образом ориентируется во внешнем магнитном поле, созданном макротоками. В итоге вектор магнитной индукции будет характеризовать уже результирующее магнитное поле, разное для разных веществ, которое создается как микро, – так и макротоками.
Магнитное поле макротоков описывают вектором Н напряженности магнитного поля. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции и вектор напряженности связаны друг с другом следующим соотношением
B = μ0μH, (3.3.4)
где μ0 – магнитная постоянная, а μ – магнитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз поле макротоков Н усиливается за счет микротоков в среде. Вектор напряженности магнитного поля Н является аналогом вектора электрического смещения D, а вектор магнитной индукции В – аналогом вектора напряженности электростатического поля Е.
Возникает вопрос о том, как вычислить магнитную индукцию dB проводника с током I, элемент которого длиной dl создает поле в некоторой точке А, отстоящей от элемента на расстояние r, где r – модуль радиус-вектора r, проведенного из элемента в т. А. Французские ученые Био и Савар изучали эту проблему экспериментально, а французский ученый Лаплас обобщил результаты их исследований. По закону Био – Савара – Лапласа
dB=μ0μI[dl, r]/4πr3, (3.3.5)
dl
α r
I А
 |
dB
Рис. 3.3.2.
где α – угол между векторами dlи r. Как следует из рис. 3.3.2, dBперпендикулярен как dl, так и r, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Направление вращения головки винта дает направлениеdB, если его поступательное движение совпадает с направлением тока в элементе (правило правого винта). Модуль вектора dB может быть получен по следующему уравнению
dB =(μ0μ/4π)Idlsinα/r2. (3.3.6)
Как и для электростатического поля, для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция, создаваемая несколькими токами или движущимися электрическими зарядами равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым из них.
Расчет магнитной индукции в общем случае представляет собой сложную задачу, однако она решается более-менее легко тогда, когда известна симметрия тока. Разумеется, при решении используется принцип суперпозиции полей, создаваемых отдельными элементами проводника с током. Рассмотрим 2 случая.
1. 
Магнитное поле в центре кругового проводника с током.
dl
R dB, B
Рис. 3.3.3.
Легко понять, что все элементы тока создают в центре кругового тока магнитное поле одинакового направления. Поскольку все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору, из-за чего sinα = 1, и находятся от центра на одном и том же расстоянии R, то из уравнения 3.3.6 получаем следующее выражение
B = μ0μI/2R. (3.3.7)
2. Магнитное поле прямого токабесконечной длины. Пусть ток течет сверху вниз. Выберем на нем несколько элементов с током и найдем их вклады в суммарную магнитную индукцию в точке, отстоящей от проводника на расстоянии R. Каждый элемент даст свой вектор dB, направленный перпендикулярно плоскости листа «к нам», также будет направлении и суммарный вектор В. При переходе от одного элемента к другому, которые располагаются на разной высоте проводника, будет изменяться угол α в пределах от 0 до π. Интегрирование даст следующее уравнение
B = (μ0μ/4π)2I/R. (3.3.8)
Как мы говорили, магнитное поле ориентирует определенным образом рамку с током. Это происходит потому, что поле оказывает силовое воздействие на каждый элемент рамки. И поскольку токи на противоположных сторонах рамки, параллельных ее оси, текут в противоположных направлениях, то и силы, действующие на них, оказываются разнонаправленными, вследствие чего и возникает вращающий момент. Ампер установил, что сила dF, которая действует со стороны поля на элемент проводника dl, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl на магнитную индукцию В:
dF = I[dl, B]. (3.3.9)
Выражение 3.3.9 называют законом Ампера. Направление вектора силы, которая называется силой Ампера, определяют по правилу левой руки: если ладонь руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление вектора силы. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле
dF = IBdlsinα, (3.3.10)
где α – угол между векторами dlи B.
Пользуясь законом Ампера, можно определить силу взаимодействия двух токов. Представим себе два бесконечных прямолинейных тока I1 и I2, текущих перпендикулярно плоскости рис. 3.3.4 в сторону наблюдателя, расстояние между которыми равно R. Понятно, что каждый проводник создает в пространстве вокруг себя магнитное поле, которое по закону Ампера действует на другой проводник, находящийся в этом поле. Выберем на втором проводнике с током I2 элемент dl и рассчитаем силу dF1, с которой магнитное поле проводника с током I1 действует на этот элемент. Линии магнитной индукции поля, которое создает проводник с током I1, представляют собой концентрические окружности (рис. 3.3.4).
В1
dF2 dF1
B2
R
Рис. 3.3.4.
Вектор В1 лежит в плоскости рисунка и направлен вверх (это определяется по правилу правого винта), а его модуль
B1 = (μ0μ/4π)2I1/R. (3.3.11)
Сила dF1, с которой поле первого тока действует на элемент второго тока, определяется по правилу левой руки, она направлена в сторону первого тока. Поскольку угол между элементом тока I2 и вектором В1 прямой, для модуля силы с учетом 3.3.11 получаем
dF1 = I2B1dl = (μ0μ/4π)2I1I2dl/R. (3.3.12)
Легко показать, рассуждая аналогичным образом, что сила dF2, с которой магнитное поле второго тока действует на такой же элемент первого тока
dF2 = I1B2dl = (μ0μ/4π)2I1I2dl/R. (3.3.13)
Видно, что правые части уравнений 3.3.12 и 3.3.13 одинаковы, значит, одинаковы по величине и силы dF1 = dF2. Из рис. 3.3.13 видно, что эти силы направлены в сторону друг друга. Таким образом, мы приходим к выводу, что два параллельных тока, текущих в одну сторону, притягиваются друг к другу силой
dF = (μ0μ/4π)2I1I2dl/R. (3.3.14)
Если токи в параллельных проводниках текут в противоположные стороны, то легко показать, что проводники будут отталкиваться друг от друга.
Поскольку магнитная проницаемость вакуумаμ = 1, то сила взаимодействия двух параллельных токов, рассчитанная на единицу длины
dF/dl = (μ0μ/4π)2I1I2/R, (3.3.15)
что позволяет найти численное значение магнитной постоянной μ0. В самом деле, если взять I1 = I2 = 1 А, R = 1 м и измерить силу взаимодействия в пересчете на единицу длины проводников, то окажется, что dF/dl = 4π*10-7 Н/м. Тогда μ0 = 4π*10-7 Н/А2 = 4π*10-7 Гн/м, где генри(Гн)–единица измерения индуктивности (познакомимся чуть позже).
Закон Ампера позволяет определить и единицу измерения магнитной индукции В. Для этого выберем элемент dl проводника с током I и ориентируем его перпендикулярно направлению внешнего магнитного поля. Тогда для силы, действующей со стороны поля на этот проводник, можно записать dF = IBdl, откуда B = (dF/dl)(1/I). Единицей измерения магнитной индукции является тесла (Тл) – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует силой в 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по проводнику протекает ток в 1 А. 1 Тл = 1 Н/(А*м).
Далее, мы уже записывали соотношение 3.3.4, связывающее магнитную индукцию с напряженностью магнитного поля B = μ0μH. В вакууме μ = 1, тогда Н = В/μ0. Единицей измерения напряженности магнитного поля является А/м: 1 А/м – напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4π*10-7 Тл.
Как уже отмечалось ранее, магнитное поле в пространстве создается как проводниками с током, так и движущимися зарядами, поскольку ток есть направленное движение отдельных зарядов. Обобщение большого числа опытных данных позволило установить, чему равна магнитная индукция заряда Q, движущегося свободно, т. е. с постоянной скоростью v
В = μ0μ/4π(Q[vr])/r3, (3.3.16)
где r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения. Вектор В перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы v и r: его направление совпадает с направление поступательного движения правого винта при его вращении от v к r. Модуль вектора магнитной индукции может быть вычислен по формуле
В = μ0μsinα/4πQv/r2, (3.3.17)
С другой стороны, магнитное поле оказывает силовое воздействие не только на проводники с током, но и на отдельные движущиеся заряды. Сила, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В, называется силой Лоренца и выражается формулой
F = Q[vB]. (3.3.18)
Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки: если вектор В входит в ладонь, а четыре вытянутых пальца направлены вдоль вектора скорости, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный электрический заряд. На отрицательный заряд сила Лоренца действует в противоположном направлении.
Модуль силы Лоренца
F = QvBsinα, (3.3.19)
где α – угол между v и B. Из этого выражения ясно видно, что на неподвижные электрические заряды магнитное поле не действует.
Сила Лоренца не совершает работы по перемещению электрического заряда, поскольку она всегда перпендикулярна вектору скорости его движения, поэтому не изменяется и кинетическая энергия заряженной частицы, движущейся в постоянном магнитном поле.
Если на заряд, помимо магнитного поля, действует и электростатическое,, то результирующая сила F, приложенная к заряду, будет равна векторной сумме двух сил – силы, которая действует на заряд со стороны электростатического поля, и силы Лоренца
F = QE +Q[vB]. (3.3.20)
Эта формула в литературе называется формулой Лоренца.
Если частица движется в магнитном поле вдоль линий магнитной индукции, сила Лоренца равна нулю, поскольку угол между векторами v и B равен нулю (см. формулу 3.3.19). Если векторы v и B перпендикулярны друг другу, то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы, частица движется по окружности, радиус r которой можно найти из условия равенства силы Лоренца и центростремительной силы QvB = mv2/r, откуда для радиуса получаем выражение
r = mv/QB. (3.3.21)
Зная радиус окружности, по которой движется частица, и ее скорость, мы можем определить период ее обращения
T = 2πr/v = 2π(mv/QB)/v = 2πm/BQ. (3.3.22)
Получается, что период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду (Q/m), а также магнитной индукцией поля, но не зависит от скорости движения частицы. Именно на этом основано действие циклических ускорителей заряженных частиц.
Если, наконец, частица влетает в магнитное поле под некоторым углом к вектору магнитной индукции, то ее движение складывается из равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитной индукции со скоростью vпр = vcosα и равномерного движения по окружности со скоростью vокр = vsinα. В результате возникает движение частицы по спирали с шагом h = 2πmvcosα/(BQ). Направление вращения определяется знаком заряда.
На совместном действии магнитного и электростатического полей основан такой ускоритель заряженных частиц, как циклотрон. На нем обычно ускоряют протоны и более тяжелые ионы. Между полюсами сильного магнита помещают два полукруглых электрода, называемых дуантами, к которым прикладывается переменное электрическое поле. Дуанты отделены друг от друга зазором, магнитное поле однородно и перпендикулярно плоскости дуантов. Если заряженная частица влетает в в центр зазора между дуантами, то она ускоряется электрическим полем и, отклоняемая магнитным полем, описывает полуокружность в первом дуанте. Если к моменту ее выхода их первого дуанте полярность дуантов изменится на противоположный, то частица снова ускорится в электрическом поле и, войдя во второй дуант, опишет полуокружность большего радиуса. Обязательным условием нормальной работы циклотрона является синхронизация периода вращения частицы в магнитном поле и периода колебаний электрического поля. Если это условие соблюдается, частица будет двигаться по раскручивающейся спирали, пока на последнем витке она с помощью отклоняющего электрического поля не будет выведена из ускорителя. Протоны можно ускорять на циклотронах до энергий в 20 МэВ, дальнейшее их ускорение осложняется релятивистским возрастанием массы частицы, что приводит к увеличению периода обращения, так как он пропорционален массе. В итоге условие синхронизма нарушается. Электроны на циклотронах не ускоряются вовсе, поскольку уже при их энергии, равной 0.5 МэВ, масса в 2 раза превосходит массу покоя, а при Е = 10 МэВ она в 28 раз больше массы покоя. Для ускорения электронов применяют синхротроны – циклические резонансные ускорители, в которых изменяется во времени магнитное поле, а частота электрического поля остается постоянной. Электроны могут ускоряться в синхротронах до энергий в 5 – 10 ГэВ.
Если магнитное поле остается постоянным, а частота электрического поля медленно растет, такой ускоритель называется синхроциклотроном или фазотрономНа нем ускоряют тяжелые частицы (протоны, ионы, α-частицы) до энергий до 1 ГэВ.
Циклический резонансный ускоритель тяжелых заряженных частиц (протонов, ионов), сочетающий особенности синхротрона и фазотрона, называется синхрофазотроном. В нем со временем меняются и магнитное поле, и частота электрического поля. Протоны могут быть ускорены на синхрофазотроне до 500 ГэВ.
Контрольные вопросы
1. Как обнаружить наличие магнитного поля в пространстве?
2. Как действует магнитное поле на рамку с током?
3. Действует ли магнитное поле на электрические заряды? Если да, на какие?
4. Как определить направление нормали n к плоскости рамки с током?
5. Когда направление магнитного поля считается положительным?
6. Как определить направление магнитного поля, действующего на магнитную стрелку?
7. Какая физическая величина является силовой характеристикой магнитного поля? Что является ее аналогом в электростатическом поле?
8. Что понимают под линиями магнитной индукции и как определяется их направление?
9. Замкнуты они или разомкнуты линии магнитной индукции?
10. Как связаны друг с другом индукция и напряженность магнитного поля?
11. В чем смысл закона Био – Савара – Лапласа?
12. Как вычислить индукцию магнитного поля в центре кругового проводника с током?
13. Как вычислить индукцию магнитного поля прямого проводника с током?
14. В чем смысл закона Ампера?
15. Как вычислить силу Ампера?
16. Как взаимодействуют друг с другом параллельные проводники с током?
17. В чем измеряются магнитная индукция и напряженность магнитного поля?
18. Что такое сила Лоренца и от чего она зависит?
19. Что описывает формула Лоренца?
20. Какие типы ускорителей заряженных частиц бывают?
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 380; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!