Итоговое задание к лабораторной работе №7.
Лабораторная работа №7. "Спирали: логарифмическая, гиперболическая, Архимеда"
Спираль Архимеда
Своё название эта спираль получила в честь древнегреческого физика, математика и философа Архимеда (287 -212 гг. до н.э). По одной из версий, его привлекла форма спирально завитой раковины, при изучении которой Архимед и вывел уравнение кривой. По другой версии, он проводил опыты с компасом и его стрелкой. Полученную спираль Архимед описывал кинематически, как траекторию равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу.
Спираль Архимеда задаётся в полярных координатах уравнением
.
Характеристическое свойство: Спираль Архимеда есть траектория точки 
, равномерно движущейся по лучу 
в направлении от т. 
к т. 
. Сам луч при этом равномерно вращается вокруг т. по часовой или против часовой стрелки (см. Рис.44). Поэтому спираль Архимеда состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси 
- одна ветвь получается при 
, вторая - при 
(см. Рис. 45., кривая чёрного и синего цвета соответственно). Расстояние между двумя соседними точками, лежащими на одном полярном луче, постоянно и равно 
( 
).
Рис.44. Спираль Архимеда (положительная ветвь)
Рис.45. Спираль Архимеда (положительная и отрицательная ветви)
Задание (выполняется при некотором выбранном значении 
( 
)):
1. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/qkketvoanb (Рис. 46) и изучите график спирали Архимеда (положительной ветви[1]) , изменяя параметр в уравнении
|
|
|
.
2. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/bl6xjpnfhg (Рис.47) и изучите построение спирали Архимеда по точкам.
3. Составьте некоторое множество точек спирали Архимеда (отличное, от приведённого в примере), по которому можно составить алгоритм построения данной кривой на бумаге. Сформулируйте этот алгоритм.
Рис. 46. График спирали Архимеда (положительной ветви) при значении параметра =1.
Рис.47. Построение спирали Архимеда по точкам.
Логарифмическая спираль
Название кривая получила из-за своего уравнения 
которое можно записать в виде 
. С тех пор, как корабли стали бороздить просторы мирового океана, мореплаватели искали кратчайший путь между портами. Они знали, что на поверхности Земли таким расстоянием является дуга окружности, но, чтобы двигаться по такой кривой, необходимо непрерывно менять направление движения. Поэтому такой кратчайший путь заменяли другим - при котором угол, под которым корабль пересекает все меридианы, был постоянным. Траектории, обладающие таким свойством, называются локсодромами . Проекция этой кривой на плоскости - логарифмическая спираль (см. -см. Рис.48). Впервые эта кривая была описана Р.Декартом (1596 -1650) - он искал кривую, касательная к которой в каждой точке образовывала постоянный угол со своим радиусом-вектором. Он доказал, что это свойство равносильно тому, что полярные углы для точек пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Поэтому логарифмическую спираль называют ещё равноугольной.
|
|
|
Рис. 48. График локсодромы на поверхности Земли и её проекция на плоскость.
Особое внимание этой спирали уделил швейцарский математик Я. Бернулли (1655-1705) – он назвал её spira mirabilis («дивная спираль») и открыл её свойство оставаться неизменной при различных преобразованиях. Это свойство настолько его поразило, что на своей могильной плите он приказал нарисовать spira mirabilis с надписью Eadem mutata resurgo - «Изменённая, воскресаю прежней» - см. Рис.49.
В природе также можно найти много примеров роста органического вещества по логарифмической спирали – раковины, расположение семян подсолнечника, листья растений, спирали циклонов и галактик и многое др.:
· раковины моллюсков:
· семена в подсолнухе (одни ряды закручены в положительном направлении, другие - в отрицательном):
· сосновые шишки:
· колючки кактусов:
|
|
|
· галактика:
Рис.49. Надгробие на могиле Я. Бернулли
Логарифмическая спираль задаётся в полярных координатах уравнением
.
Характеристическое свойство: логарифмическая спираль - это кривая, пересекающая все лучи, выходящие из полюса т.О под некоторым постоянным углом 
- см. Рис.50. Радиус-векторы последовательных точек спирали, находящихся на одном и том же полярном луче 
, образуют геометрическую прогрессию.
Рис. 50. Логарифмическая спираль.
Задание (выполняется при некотором выбранном значении ( )):
1. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/wdb4t8irny (Рис. 51) и изучите график логарифмической спирали (положительной ветви[2]) , изменяя параметр в уравнении
.
Рис. 51. График логарифмической спирали (положительной ветви) при значении параметра =0.9.
2. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/4xkwxzeorh (Рис.52) и изучите построение логарифмической спирали по точкам.
3. Составьте некоторое множество точек логарифмической спирали (отличное, от приведённого в примере), по которому можно составить алгоритм построения данной кривой на бумаге. Сформулируйте этот алгоритм.
4. Нарисовать график логарифмической спирали, соответствующий конкретному биологическому или физическому объекту (для сравнения в отчёте представить фото соответствующего объекта).
|
|
|
5. Найти ошибку при изображении логарифмической спирали на надгробии Я. Бернулли – см. Рис.49.
Гиперболическая спираль
Возможно, что название кривая получила из-за своего уравнения 
которое можно аналогично уравнению гиперболы в декартовых координатах. Характеристическое свойство: гиперболическая спираль - это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью 
к полюсу т.О по лучу, вращающемуся вокруг полюса с постоянной угловой скоростью 
( 
). Кривая состоит из 2-х ветвей, симметричных относительно оси - одна ветвь получается при , вторая - при (см. Рис.53. сплошная и пунктирная линии соответственно). Гиперболическая спираль имеет асимптоту 
и асимптотическую точку – полюс.
Рис.52. Построение логарифмической спирали по точкам.
Рис. 53. Гиперболическая спираль.
Задание (выполняется при некотором выбранном значении ( )):
1. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/dqwsooneit (Рис. 54) и изучите график гиперболической спирали (положительной ветви[3]), изменяя параметр в уравнении
.
Рис. 54. График гиперболической спирали (положительной ветви) при значении параметра =0.9.
2. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/dwutsctmh9 (Рис.55) и изучите построение гиперболической спирали по точкам.
3. Составьте некоторое множество точек гиперболической спирали (отличное, от приведённого в примере), по которому можно составить алгоритм построения данной кривой на бумаге. Сформулируйте этот алгоритм.
Рис.55. Построение гиперболической спирали по точкам.
Итоговое задание к лабораторной работе №7.
1. На основании выполненной лабораторной работы сделать вывод об особенностях графиков различных видов спиралей.
2. Вывести параметрические уравнения рассмотренных спиралей.
[1] На данный момент графический редактор DESMOS строит графики кривых, заданных полярными координатами, только при изменении угла в положительном направлении (против часовой стрелки).
[2] На данный момент графический редактор DESMOS строит графики кривых, заданных полярными координатами, только при изменении угла в положительном направлении (против часовой стрелки).
[3] На данный момент графический редактор DESMOS строит графики кривых, заданных полярными координатами, только при изменении угла в положительном направлении (против часовой стрелки).
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 1462; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!