Итоговое задание к лабораторной работе №6.

Лабораторная работа №5."Циклоида" Название кривой дал Галилео Галилей (1564-1642) и оно означало "напоминающая о круге"( от греч. κυκλοειδής — круглый). Немного позже этой кривой занялись французы (Б. Паскаль, М.Мерсен), которые называли её "руллетой" или "трохоидой" (от греч. τροχοειδής - колёсообразный). Циклоида обладает рядом замечательных свойств (например, она является кривой скорейшего спуска (брахистохроной)). Другие интересные свойства этой кривой можно найти здесь http://www.etudes.ru/ru/etudes/cycloid/. Циклоида параметрическими уравнениями: При этом при различных значениях параметра получаем различные виды циклоид. При =1 - это просто циклоида, при - укороченная циклоида, при - удлинённая циклоида. Различия в получаемых кривых связаны с их характеристическим свойством. Замечание: 1.Укороченную и удлинённую циклоиды называют трохоидами (т.к. вычерчивающая такие кривые точка не лежит на окружности (как в случае с обычной циклоидой), а лежит как бы на спице колеса, по греч. τροχοειδής - колёсообразный). 2. Если прямую (по которой катится производящая окружность) заменить неподвижной окружностью радиуса , то вычерчивающая точка опишет кривую, называемую "циклоидальной". Если производящая окружность катится по внутренней стороне неподвижной окружности, то получаем гипоциклоиду (от греч "гипо" - под, см. Лабораторную работу №3), если по внешней - эпициклоиду (от греч. "эпи" - над чем-либо, см Лабораторную работу №4.). Характеристическое свойство циклоид: циклоида есть траектория точки, лежащей на расстоянии от центра производящей окружности радиуса , которая без скольжения катится по прямой. При различных значениях параметра мы получаем различные виды циклоид -см. Рис.41. Задание (выполняется при некотором выбранном значении ( )): 1. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/wiatgmemyo (Рис. 42) и изучите график циклоиды, изменяя параметр в уравнениях: 2. Зафиксировать три значения параметра ( =1 , , ) и для каждого из них: 2.1. Проведите поэтапное построение графика циклоиды, разбив часть области определения кривой на несколько отрезков, например: пусть , тогда на 1-ом этапе строим кривую при , на 2-м - при , на 3-ем - при , на 4-м - при . Все получаемые отрезки кривой строить различными цветами. Включить полученные графики в отчёт. 2.2. Построить одну арку циклоиды. а) б) в) Рис.41. Укороченная циклоида (а), циклоида (б), удлинённая циклоида (в).

Итоговое задание к лабораторной работе №6.

На основании выполненной лабораторной работы сделать вывод об особенностях графика циклоиды, выработать алгоритм её построения на бумаге.

Рис.42. График циклоиды (при при произвольно выбранных значениях параметров R, a).

Лабораторная работа №6. "Эвольвента окружности. "

Название "эвольвента" происходит от лат. evolvens - разворачивающийся и связано со способом построения эвольвенты: чтобы построить эвольвенту какой-либо кривой, нужно изготовить шаблон заданной кривой, закрепить в некоторой его точке конец нерастяжимой нити и обмотать его вокруг шаблона кривой. На другом конце нити закрепить чертящее устройство (например, карандаш). Если начать развёртывать нить, оставляя её всё время в натянутом состоянии, то карандаш начертит эвольвенту. Например, эвольвенту окружности можно построить, намотав (или размотав) нить на катушку радиуса .

Эвольвента (обобщённая) окружности задаётся параметрическими уравнениями:

При различных значениях параметра получают различные виды эвольвент окружности: - эвольвента окружности, - удлинённая эвольвента окружности, - укороченная эвольвента окружности. Различия в получаемых кривых связаны с их характеристическим свойством.

Характеристическое свойство эвольвенты: эвольвента есть траектория точки , лежащей на прямой, которая без скольжения катится по неподвижной окружности радиуса , укороченная и удлинённая эвольвенты есть траектории точки , лежащей не на производящей прямой, а на расстоянии от неё - см. Рис. 42. Эвольвента имеет две ветви: положительная ветвь ( ) получается при перекатывании производящей прямой против хода часовой стрелки (линия чёрного цвета, Рис.42.) и отрицательная ветвь ( ) - при перекатывании по ходу часовой стрелки (линия синего цвета, Рис.42)

Также можно дать математическое определение: эвольвента - это кривая, геометрическим местом центров кривизны которой является другая кривая - эволюта. Касательные к эволюте являются нормалями к эвольвенте. Эвольвента может быть построена "обкатыванием" по эволюте без скольжения прямой, касательной к эволюте.

а) б) в)

Рис. 42. Укороченная эвольвента (а), эвольвента (б), удлинённая эвольвента (в) окружности радиуса .

Задание (выполняется при некотором выбранном значении ( )):

1. Пройдите по ссылке https://www.desmos.com/calculator/asv0lhs7j7 (Рис. 43) и изучите график эвольвенты, изменяя параметр в уравнениях:

2. Зафиксировать значение параметра =0 и нарисовать график эвольвенты окружности. На графике отметить производящую окружность. Включить полученный график в отчёт.

3. Зафиксировать значение параметра и нарисовать график укороченной эвольвенты окружности. На графике отметить производящую окружность. Нарисовать три графика укороченной эвольвенты при . Включить полученные графики в отчёт. Сделать вывод о зависимости графика укороченной эвольвенты окружности от выбранных значений параметров и .

4. Зафиксировать значение параметра и нарисовать график удлинённой эвольвенты окружности. На графике отметить производящую окружность. Нарисовать три графика удлинённой эвольвенты окружности при . Включить полученные графики в отчёт. Сделать вывод о зависимости графика удлинённой эвольвенты окружности от выбранных значений параметров и .

Итоговое задание к лабораторной работе №6.

На основании выполненной лабораторной работы сделать вывод об особенностях графика обобщённой эвольвенты окружности, выработать алгоритм её построения на бумаге.

Рис.43. График эвольвенты окружности (при при произвольно выбранных значениях параметров R, h).

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 913; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!