Аналогия между поступательным и вращательным движениями
Момент импульса и закон его сохранения
Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:
(1.5.1)
где 
– радиус-вектор, проведённый из точкиОвточкуА; 
– импульс материальной точки (рис. 1.5.1). 
– псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от 
к 
.
Рис. 1.5.1
Модуль вектора момента импульса
,
где 
– угол между векторами и , 
– плечо вектора относительно точкиО.
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина 
, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точкиО данной оси.Значение момента импульса не зависит от положения точкиОнаосиz.
При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса 
с некоторой скоростью 
. Скорость и импульс 
перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора 
. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.
Момент импульса твёрдого телаотносительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:
.
Используя формулу 
, получим
, т.е. 
. (1.5.2)
Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
|
|
|
Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:
, т.е. 
. (1.5.3)
Это выражение – ещё одна форма основного уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная по времени от момента импульса механической системы (твёрдого тела) относительно оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси.
Можно показать, что имеет место векторное равенство 
.
В замкнутой системе момент внешних сил 
и 
, откуда
. (1.5.4)
Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).
Таблица 1.5.1
| Поступательное движение | Вращательное движение | Функциональная зависимость | |||||
| Линейное перемещение | S | Угловое перемещение | 
| 
| |||
| Линейная скорость | 
| Угловая скорость | 
| 
| |||
| Линейное ускорение | 
| Угловое ускорение
| 
| 
| |||
| Масса | m | Момент инерции | I | 
(для материальной точки)
| |||
| Сила | 
| Момент силы | 
| 
| |||
| Импульс | 
| Момент импульса
| 
| 
| |||
| Основное уравнение динамики | |||||||
|
|
| ||||||
| Работа | Работа вращения
| ||||||
| Кинетическая энергия
| Кинетическая энергия вращения
| ||||||
| Закон сохранения импульса
| Закон сохранения момента импульса
| ||||||
Аналогия между поступательным и вращательным движениями
Между поступательным и вращательным движениями существует аналогия, которая позволяет легко запоминать формулы, относящиеся к вращательному движению.
Основные характеристики поступательного движения: путь S, скорость v, ускорение а и время t. При вращении им соответствуют: угол поворота φ, угловая скорость со, угловое ускорение ε и время t.
Пусть нам нужно написать уравнение равномерного вращательного движения. Вспоминаем формулу S=vt, справедливую для равномерного поступательного движения, и по аналогии пишем уравнение равномерного вращательного движения: φ=ωt. Для равномерного ускоренного (или замедленного) вращения справедливы формулы: угол поворота φ= ω0t±at2/2 и угловая скорость ω=ω0±εt (по аналогии с S=v0t±at2/2 и v=v0±at). В этих формулах знак "плюс" относится к случаю равномерно ускоренного движения, знак "минус" - равномерно замедленного.
|
|
|
Эта аналогия справедлива не только в кинематике, но распространяется и на динамику. Роль массы т при вращении играет момент инерции I, а роль силы F - момент силы L. Основное уравнение динамики вращательного движения Iε=L записывается по аналогии с ma=F, кинетическая энергия вращения Iω2/2 по аналогии с mv2/2 и т. д.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 2068; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!