Системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим применение матриц и определителей для исследования и решения системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными x, y, z .

(1)

Коэффициенты а₁, а₂, а₃, b₁, b₂ , b₃, c₁, c₂ c₃ и свободные члены h₁, h₂, h₃ считаются заданными.

Тройка чисел x₀, y₀, z₀ называется решением системы (1), если в результате подстановки этих чисел вместо x, y, z все три уравнения (1) обращаются в тождества.

Основную роль играют следующие четыре определителя:

, , , .

Определитель D называется определителем системы (1). Определители D_x, D_y, D_z получаются из определителя D заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Возможны следующие случаи.

Случай 1 (D¹0). В этом случае существует единственное решение системы, и оно может быть найдено по следующим формулам, которые называются формулами Крамера.

Случай 2 (D=). В этом случае решение системы может не существовать или система может иметь бесконечное число решений. Например, система

\не имеет решения, а система

имеет бесконечное число решений.

Также на лекции будут разобраны другие методы решения систем линейных уравнений, а именно методы Гаусса и обратной матрицы.

Векторы. Линейные операции над векторами.

Вектор. Длина вектора. Вектором называется направленный отрезок. Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением. Также вектор можно задать указав его начало и конец. Векторы обозначают следующим образом: AB,`a .

Вектор начало и конец, которого совпадают, называется нулевым. Векторы `а и `в называются коллинеарным, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы `а и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Если вектор задан началом А(х₁,у₁) и концом В(х₂;у₂), то координаты вектора АВ можно определить так АВ

Длина вектора АВ определяется как расстояние между двумя точками:

(1)

Пусть задана ось И и некоторый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось И называется величина А¢В¢на оси И. Проекция вектора АВ на ось И равна длине вектора АВ, умноженной на косинус угла между вектором АВ и осью И, т.е.

Пр_и (2)

Направляющими косинусами вектора `а называются косинусы углов между вектором `а и осями координат. Направляющие косинусы вектора `а можно определить по формулам

Векторы можно складывать, вычитать и умножать на число.

Определение 1. Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условий, что вектор приложен к концу вектора .

Определение 2. Разностью векторов и называется вектор, который в сумме с вектором дает вектор .

Определение 3. Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную и направление такое же, как и вектор , если >0 и противоположное, если <0.

Пусть даны векторы и . Тогда сумма векторов в координатной форме записывается

разность векторов

умножение вектора на число l

Дата добавления: 2018-05-31; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!