Указания по выполнению и оформлению

Задание на лабораторную работу

"Моделирование и статистическая обработка выборки"

 

1. Получение выборки объема n  нормально распределенной случайной величины.

Номер зачетной книжки: 130905508

N(a,

a=8,

n=108

№	Значения	№	Значения	№	Значения	№	Значения
1	6,498839	28	12,32836	55	11,78857	82	15,21877
2	1,611584	29	19,87827	56	10,33356	83	14,51952
3	9,221287	30	4,725467	57	12,37304	84	8,564802
4	14,38237	31	16,30728	58	10,97871	85	8,009754
5	13,99175	32	-0,06199	59	1,14075	86	10,26851
6	16,66567	33	10,69474	60	2,421307	87	7,872426
7	-2,91794	34	12,51096	61	11,46997	88	2,726625
8	6,829094	35	17,59458	62	9,613182	89	-0,87403
9	13,47511	36	7,577415	63	3,300811	90	12,14166
10	2,566497	37	5,381025	64	6,795261	91	10,22112
11	4,548979	38	11,37569	65	8,657678	92	11,08953
12	-0,45216	39	6,093381	66	10,78899	93	9,067366
13	-1,23455	40	11,78806	67	8,693575	94	2,865345
14	3,111853	41	0,779067	68	3,445194	95	14,19098
15	4,132465	42	3,763812	69	17,42423	96	6,443934
16	-2,58966	43	0,392145	70	10,43599	97	3,800391
17	5,160376	44	6,185615	71	8,361194	98	3,894359
18	5,979762	45	7,837604	72	12,14921	99	5,855036
19	8,674265	46	8,140585	73	12,31004	100	5,733192
20	6,172535	47	6,38642	74	4,817343	101	5,381025
21	6,365047	48	18,97251	75	3,384042	102	12,24715
22	6,148797	49	-0,71241	76	13,55594	103	10,56604
23	14,71321	50	4,317615	77	1,994106	104	4,958479
24	7,573578	51	-4,8879	78	0,205539	105	14,5249
25	7,069212	52	15,23835	79	11,55662	106	-0,80468
26	5,433963	53	1,601182	80	11,19203	107	10,75286
27	17,86106	54	4,7321	81	19,02844	108	7,41864

1. Нахождение числовых характеристик выборки:

1. выборочное среднее

844,8019=7,82224

2. выборочная дисперсия

 = *3086,436=28,57811

3. исправленная выборочная дисперсия

28,8452

4. среднеквадратичное отклонение

S=

5. исправленное среднеквадратичное отклонение

6. выборочные начальные моменты порядка 2, 3, 4

9694,68=89,76555

125064,8=1158,008

1786793=16544,38

7. выборочные центральные моменты порядка 3, 4

 

945,0299=8,750277

219776,2=2034,965

8. выборочный коэффициент асимметрии

 

9. выборочный коэффициент эксцесса

10. мода

 =4,4121+

11. медиана

= =7,67

12. выборочные квантили порядка 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9

= =7,67

 

 

1. Графическое представление выборки:

Вариационный ряд

№ п\п	Значения	№ п\п	Значения	№ п\п	Значения	№ п\п	Значения
1	-4,8879	28	4,132465	55	7,577415	82	11,78806
2	-2,91794	29	4,317615	56	7,837604	83	11,78857
3	-2,58966	30	4,548979	57	7,872426	84	12,14166
4	-1,23455	31	4,725467	58	8,009754	85	12,14921
5	-0,87403	32	4,7321	59	8,140585	86	12,24715
6	-0,80468	33	4,817343	60	8,361194	87	12,31004
7	-0,71241	34	4,958479	61	8,564802	88	12,32836
8	-0,45216	35	5,160376	62	8,657678	89	12,37304
9	-0,06199	36	5,381025	63	8,674265	90	12,51096
10	0,205539	37	5,381025	64	8,693575	91	13,47511
11	0,392145	38	5,433963	65	9,067366	92	13,55594
12	0,779067	39	5,733192	66	9,221287	93	13,99175
13	1,14075	40	5,855036	67	9,613182	94	14,19098
14	1,601182	41	5,979762	68	10,22112	95	14,38237
15	1,611584	42	6,093381	69	10,26851	96	14,51952
16	1,994106	43	6,148797	70	10,33356	97	14,5249
17	2,421307	44	6,172535	71	10,43599	98	14,71321
18	2,566497	45	6,185615	72	10,56604	99	15,21877
19	2,726625	46	6,365047	73	10,69474	100	15,23835
20	2,865345	47	6,38642	74	10,75286	101	16,30728
21	3,111853	48	6,443934	75	10,78899	102	16,66567
22	3,300811	49	6,498839	76	10,97871	103	17,42423
23	3,384042	50	6,795261	77	11,08953	104	17,59458
24	3,445194	51	6,829094	78	11,19203	105	17,86106
25	3,763812	52	7,069212	79	11,37569	106	18,97251
26	3,800391	53	7,41864	80	11,46997	107	19,02844
27	3,894359	54	7,573578	81	11,55662	108	19,87827

Статистический ряд

Значения	Частота	Значения	Частота	Значения	Частота	Значения	Частота
-4,8879	1	4,132465	1	7,837604	1	11,78857	1
-2,91794	1	4,317615	1	7,872426	1	12,14166	1
-2,58966	1	4,548979	1	8,009754	1	12,14921	1
-1,23455	1	4,725467	1	8,140585	1	12,24715	1
-0,87403	1	4,7321	1	8,361194	1	12,31004	1
-0,80468	1	4,817343	1	8,564802	1	12,32836	1
-0,71241	1	4,958479	1	8,657678	1	12,37304	1
-0,45216	1	5,160376	1	8,674265	1	12,51096	1
-0,06199	1	5,381025	2	8,693575	1	13,47511	1
0,205539	1	5,433963	1	9,067366	1	13,55594	1
0,392145	1	5,733192	1	9,221287	1	13,99175	1
0,779067	1	5,855036	1	9,613182	1	14,19098	1
1,14075	1	5,979762	1	10,22112	1	14,38237	1
1,601182	1	6,093381	1	10,26851	1	14,51952	1
1,611584	1	6,148797	1	10,33356	1	14,5249	1
1,994106	1	6,172535	1	10,43599	1	14,71321	1
2,421307	1	6,185615	1	10,56604	1	15,21877	1
2,566497	1	6,365047	1	10,69474	1	15,23835	1
2,726625	1	6,38642	1	10,75286	1	16,30728	1
2,865345	1	6,443934	1	10,78899	1	16,66567	1
3,111853	1	6,498839	1	10,97871	1	17,42423	1
3,300811	1	6,795261	1	11,08953	1	17,59458	1
3,384042	1	6,829094	1	11,19203	1	17,86106	1
3,445194	1	7,069212	1	11,37569	1	18,97251	1
3,763812	1	7,41864	1	11,46997	1	19,02844	1
3,800391	1	7,573578	1	11,55662	1	19,87827	1
3,894359	1	7,577415	1	11,78806	1

13. группировка данных

R= 19,87827-(-4,8879)=24,76617

≈n=> ≈108=>r≈8

h= =

Сгруппированный статистический ряд

Интервалы	Частоты
[-4,8879; -1,7879)	3
[-1,7879; 1,3121)	10
[1,3121; 4,4121)	16
[4,4121; 7,5121)	24
[7,5121; 10,6121)	19
[10,6121; 13,7121)	20
[13,7121; 16,8121)	10
[16,8121; 19,9121)	6

 

Таблица частот группировки выборки

i
1	-4,8879	-1,7879	3	-3,3379	3	0,086111	0,027778
2	-1,7879	1,3121	10	-0,2379	13	0,287037	0,12037
3	1,3121	4,4121	16	2,8621	29	0,459259	0,268519
4	4,4121	7,5121	24	5,9621	53	0,688889	0,490741
5	7,5121	10,6121	19	9,0621	72	0,54537	0,666667
6	10,6121	13,7121	20	12,1621	92	0,574074	0,851852
7	13,7121	16,8121	10	15,2621	102	0,287037	0,944444
8	16,8121	19,9121	6	18,3621	108	0,172222	1

 -накопленные частоты

14. гистограмма частот

 

15. полигон частот

16.  кумулята

 

17. эмпирическая функция распределения.

 

 

1. Статистическое оценивание параметров.

Получение оценок параметров:

18. метод моментов

Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные моменты приближенно равны теоретическим. Таким образом, приравнивая их, получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки

 

19. Метод максимального правдоподобия,

Оценка , обеспечивающая по параметру  максимум функции правдоподобия, называется оценкой максимального правдоподобия параметра .

Функция правдоподобия для исходной случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет следующий вид:

 

 

 

Логарифмическая функция правдоподобия:

 

.

 

Частные производные по  и  приравняем к нулю:

 

 

 

Докажем, что точка  - точка максимума.

 

Найдем вторые производные функции правдоподобия L в точке .

 

 

Матрица вторых производных примет вид

 

 

и имеет отрицательную определенность согласно критерию Сильвестра, так как

Значит полученные значения являются максимумом функции правдоподобия L

 

Исследование свойств полученных оценок:

20. несмещенность

Оценки  и  асимптотически не смещены, так как получены методом максимального правдоподобия.

Оценка  называется несмещенной оценкой параметра , если

Оценка  называется асимптотически несмещенной оценкой параметра , если

Проверка оценки параметра  на несмещенность

M =a

  оценка  не смещена.

Проверка оценки параметра  на несмещенность

Подставив в последнее выражение

,

Получим . Оценка смещена.

Очевидно, что при достаточно большой выборке,  и является несмещенной оценкой параметра .

21. Состоятельность

Оценки  и  состоятельны, так как получены методом максимального правдоподобия.

При достаточно большой выборке, т.е. при  и для .

Проверка оценки параметра   на состоятельность

Согласно неравенству Чебышева и , получим .

Очевидно, при оценка  состоятельна.

Проверка оценки параметра  на состоятельность

Согласно неравенству Чебышева

и ,     при . Получим   при . Оценка  состоятельна.

22. Эффективность

Оценки  и  асимптотически эффективны, так как получены методом максимального правдоподобия.

Несмещенная оценка   параметра   называется эффективной оценкой , если выполняется , где .

Проверка оценки параметра  на эффективность

, , .

 

 

 

По определению . Следовательно, оценка  асимптотически эффективна.

Проверка оценки параметра  на эффективность

, , оценка  смещена, неэффективна.

,

,

при .

 

С другой стороны,

 

 

при . Следовательно, оценка  асимптотически эффективна.

23. Оптимальность

Несмещенная оценка  называется оптимальной оценкой параметра , если она эффективна

Проверка оценки параметра а на оптимальность:

Оценка а оптимальна, т.к. она эффективна

Проверка оценки параметра на оптимальность

А) Оценка  не оптимальна тк она не эффективна

Б) Оценка   оптимальна тк она эффективна

24. Нормальность

Проверка оценки параметра а на нормальность

 оценка а нормальна.

Проверка оценки параметра на нормальность

Используем Центральную предельную теорему (ЦПТ):

Если случайные величины  независимы, одинаково распределены и имеют конечные математические ожидания и дисперсии то при n

 

 

где  - функция стандартного нормального распределения

 

1. Интервальное оценивание параметров:

25. Построение доверительных интервалов для каждого из параметров уровней значимости 0.05 и 0.01.

Доверительным интервалом с уровнем значимости α параметра θ называется интервал Ι = [ Ι₁ ; Ι₂], для которого выполняется условие:

Р(Ι₁   θ  Ι₂) = 1 – α

1) Доверительный интервал для параметра a

Выберем статистику , где  - распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы. Выбор этой статистики обусловлен тем, что она не зависит от σ.

Поскольку распределение Стьюдента симметрично относительно 0, то

Разрешим левую часть относительно a

Следовательно, доверительный интервал для a с уровнем значимости α

 

 

Доверительный интервал для параметра a с уровнем значимости α=0.01

 

Доверительный интервал для параметра a с уровнем значимости α=0.05

 

2) Доверительный интервал для параметра

Выберем статистику , где  - распределение Пирсона с n-1 степенью свободы. Тогда:

Разрешим левую часть относительно :

 

Следовательно, доверительный интервал для с уровнем значимости α

 

 

Доверительный интервал для  с уровнем значимости α=0.01

 

 

 

 

 

Доверительный интервал для  с уровнем значимости α=0.05

 

 

 

 

6. Проверка гипотез:

26. Проверка гипотезы о виде распределения

Проверку гипотезы о нормальности распределении генеральной совокупности можно произвести с помощью критерия согласия χ² – Пирсона. С этой целью рассчитывается следующая статистика:

 

где k – количество интервалов группировки признака, n_i – частота i-го интервала, p_i – теоретические вероятности попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами , S в i-ый интервал.

Если расчетное значение статистики ρ<  (r – число параметров распределения, ε – уровень значимости) то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается, иначе – отклоняется. Для проверки всех гипотез примем уровень значимости α=0.05

Рассчитаем статистику ρ для заданной выборки.

№	Начало интервала	Конец интервала
1	-4,8879	-1,7879	3	0,027400148	2,959216	0,040784	0,000562
2	-1,7879	1,3121	10	0,075537594	8,15806	1,84194	0,415876
3	1,3121	4,4121	16	0,150116755	16,21261	-0,21261	0,002788
4	4,4121	7,5121	24	0,21510027	23,23083	0,769171	0,025467
5	7,5121	10,6121	19	0,222252659	24,00329	-5,00329	1,042894
6	10,6121	13,7121	20	0,16559669	17,88444	2,115557	0,25025
7	13,7121	16,8121	10	0,088964191	9,608133	0,391867	0,015982
8	16,8121	19,9121	6	0,034455276	3,72117	2,27883	1,395547
Сумма	-	-	108	0,979423583	-	-	3,149367

 

Критическое значение  для уровня значимости α=0,05 равно 11,07. Таким образом, поскольку 3,149367  ρ< , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.

 

27. Проверка гипотез о каждом из параметров.

1. Гипотеза о среднем

Возьмем гипотезы:

8

       Тогда

Таким образом, , то есть  принимается.

ВЫВОД: Можно считать, что данная выборка имеет a=8

2. Гипотеза о дисперсии

2.1.Возьмем гипотезы:

       Тогда

Таким образом, , то есть .

ВЫВОД: Можно считать, что данная выборка имеет =5

Таким образом, поскольку ρ< , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.

 

7. Принятие статистического решения:

28. Теоретические числовые характеристики

Теоретическое среднее

 

Теоретическая дисперсия

28,57811

=S=5,34585

Теоретические центральные моменты порядка 3, 4

Теоретические начальные моменты порядка 2, 3, 4

28,57811,

  28,57811+6,1187=89,7655

 

 

 

 

Теоретический коэффициент асимметрии

 

Теоретический коэффициент аксцесса

 

Теоретическая мода

 

Теоретическая медиана

 ⇒

 ⇒

 ⇒ =0

Теоретические квантили порядков 0,1, 0,2 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9

 

 

Параллельную таблицу теоретических и выборочных числовых характеристик

Теоретические характеристики	Значения	Выборочные числовые характеристики	Значения
a             A E		S

 

29. построить на одном чертеже и в одном масштабе график плотности, гистограмму и полигон

 

 

 

30. Вывод о распределении генеральной совокупности

Анализ результатов проверки статистических гипотез позволяет сделать вывод о том, что гипотеза о нормальном распределении не отвергается с уровнем значимости a=0,05 (т.к. значение не попало в критическую область).

Значит, генеральную совокупность можно моделировать с помощью нормального закона распределения с параметрами:

a=

5,34585

 

31. в случае если гипотезы о выбранной статистической модели отвергаются, предложить другую модель.

 

Указания по выполнению и оформлению

Выборку надо представить в трех видах: первичном (в порядке получения), в виде вариационного ряда,  группированного ряда. Кроме результатов, должны быть приведены все расчетные формулы и определения, описаны методы. Для сортировки и вычисления характеристик можно использовать Excel или другие пакеты.

 Отчет о выполнении работы может быть написан от руки в тетради или на листах формата А4, или распечатан. Минимальные требования: он должен быть достаточно аккуратным, на обложке указывается название работы, фамилия и имя студента, номер группы, год.

Работа оценивается по 100-балльной шкале, вес – 15%.

Срок сдачи работы: до 1 июня.

Замечание

Выложены примеры выполнения лабораторных работ. Обратите внимание, что задания в них разные и ни одно полностью не совпадает с данным заданием. Поэтому их ни в коем случае не надо копировать. Однако они могут быть полезными.

 

 

           

 

Доверительный интервал для параметра a с уровнем значимости α=0.01

 

Доверительный интервал для параметра a с уровнем значимости α=0.05

 

2) Доверительный интервал для параметра

Выберем статистику , где  - распределение Пирсона с n-1 степенью свободы. Тогда:

Разрешим левую часть относительно :

 

Следовательно, доверительный интервал для с уровнем значимости α

 

 

Доверительный интервал для  с уровнем значимости α=0.01

 

---

Дата добавления: 2018-05-30; просмотров: 141; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!