Спектральная трактовка дискретизации

Процесс дискретизации сводится к образованию произведения дискретизируемой функции S(t) на последовательность импульсов дискретизации S_д(t). Произведению функций во временной области соответствует свертка их спектров в спектральной области. Пусть функция S(t) (рис.2) имеет финитный спектр S(f) (рис.3), где f_в – верхняя (граничная) частота.

 

                            

                              Рис.2                                                                    Рис.3

 

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов S_д(t) (рис.4) дискретизации является линейчатым (рис.5), а частота дискретизации определяется интервалом дискретизации:

.

 

                                            

                       

 

                             

                             Рис.4                                                                   Рис.5                                       

 

Спектр отсчетов представляет собой периодическую функцию спектра исходного сигнала, повторяющуюся с периодом, равным частоте дискретизации. Величина τ влияет на пологость sinx/x. Если τ→0, то амплитуду можно считать постоянной. Реально очень трудно сделать импульс нулевой ширины.

Спектры дискретизированного сигнала представлены для случаев, когда f_д = 2f_в (рис.6),

f_д > 2f_в (рис.7), когда f_д < 2f_в (рис.8).

  

Рис.6

 

 

Рис.7

 

Рис.8

 

Восстановления непрерывной функции по отсчётам

Для неискаженного воспроизведения функции по последовательности отсчетов посредством идеального ФНЧ, необходимо выбирать частоту дискретизации так, чтобы спектральные компоненты свёртки S(f) с каждой из дискретных составляющих периодической функции S_р(f) располагались в непересекающихся областях (рис.6, 7). Этому соответствуют значения f_д ≥ 2f_в. При f_д < 2f_в спектральные области перекрываются, в полосу частот (-f_в, f_в) дискретизируемого сигнала попадут спектральные компоненты смежных областей и возникнут искажения при восстановлении функции по отсчетам.

Процесс восстановления непрерывной функции S(t) по отсчетам её мгновенных значений S(kТ) вытекает непосредственно из ряда Котельникова:

необходимо перемножить значения отсчетов S(kТ) на соответствующие отсчетные функции sinx/x и просуммировать полученные произведения.

Эти операции иллюстрирует рис. 9-11.

Спектральная трактовка процесса восстановления следует из рис.6-8.

 

Рис.9

 

        

Рис.10

 

 

  Рис.11

 

Таким образом, для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное число членов ряда (2). Однако если функции с ограниченным спектром рассматривать на конечном интервале Т, то точное разложение можно заменить следующим приближенным разложением:

                                                                                           (4)

Конечное число отсчетов n, определяющих равно ( при ∆t = )

                                                                                                               (5)

Параметр  называют базой сигнала.

Погрешность представления сигнала при ограничении числа его отсчётов будет тем больше, чем меньшее число слагаемых учитывается при суммировании.

---

Дата добавления: 2018-05-30; просмотров: 569; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!