Использование возможностей 3D-графики при вычислении двойных интегралов

Лабораторная работа №7(3 MT)

Построение трехмерных поверхностей

Цели:

Построение трехмерных поверхностей с помощью системы Mathematica;
Использовать возможности ЗD-графики при вычислении двойных интегралов.

Построение графиков трехмерных поверхностей

Функция двух переменных z=f(x,y) в пространстве образует некоторую трехмерную (3D) поверхность или фигуру. Для их построения приходится использовать координатную систему с тремя осями координат: x,y,z. Возможно три основных способа задания трехмерных поверхностей:

- заданием двумерного массива высот z некоторой поверхности при дискретном изменении х и у в заданных диапазонах изменения;

- задание аналитической функции z(x,y) для трехмерной поверхности;

- параметрическое задание трех массивов х,у и z, данные которых являются значениями функции переменной (угла) t, меняющейся в заданных пределах.

Вместо построения всех точек фигуры обычно строится ее каркасная модель, содержащая линии разреза фигуры по взаимно перпендикулярным плоскостям. В результате фигура представляется в виде совокупности множества криволинейных четырехугольников или многоугольников. Для придания виду фигуры большей естественности используются алгоритм удаления невидимых линий каркаса и функциональная закраска многоугольников по правилу бокового освещения фигуры.

Для построения графиков трехмерных поверхностей используются следующие основные графические функции:

Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] - строит трехмерный график для аналитически заданной функции f(x,y) переменных х и у, изменяющихся в заданных пределах.

В качестве первого примера рассмотрим отдельные кадры документа, демонстрирующего влияние опций на вид ЗD-математической поверхности. На рис.1 показана исходная поверхность, построенная с применением опции PlotPoint->40. Это означает, что поверхность по каждой оси делится на 40 частей. Масштаб по вертикали задается автоматически, с тем чтобы высоты поверхности не ограничивались. На рис.2 показана та же поверхность, но построенная с применением опции PlotRange, срезающей верхнюю часть поверхности. При этом график существенно изменяется. Сверху в нем отчетливо видно плоское плато.

рис.1

рис.2

Опция Boxed->False удаляет ограничительные рамки, образующие ящик, в который вписывается строящаяся трехмерная поверхность, однако координатные оси с оцифрованными делениями остаются. Опция ViewPoint позволяет включить при построении отображения перспективу и изменять углы, под которыми рассматривается фигура (рис.3).

рис.3

Нередко при ее применении представление трехмерных поверхностей и фигур бывает очень наглядным, естественным для глаза человека. Рис.4 показывает построение при использовании алгоритма удаления невидимых линий. В этом случае поверхность выглядит достаточно эстетично даже без функциональной закраски.

рис.4

Задание: Изобразите графики поверхностей (любые пять на выбор):

Использование возможностей 3D-графики при вычислении двойных интегралов

Графические возможности ЗD-графики можно использовать при вычислении двойных интегралов, используя геометрическое истолкование двойного интеграла. Пусть функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл

численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z=f(x,y).

Например, для интеграла

область D - квадрат: x=0, x=1, y=2, y=3. Двойной интеграл равен объему призматического тела, ограниченного функцией z=6xy² - 12x²y, изображенного на рис.5.

рис.5

Графические возможности пакета Mathematica можно использовать для построения области интегрирования (проекции поверхности z=f(x,y) на плоскость хoу) . На рис.6 показана область интегрирования для интеграла от функции z=y³ / x², если область интегрирования ограничена линиями: y=x/3, y=√x; x<=1. Область интегрирования представляет собой проекцию функции z=y³/x² на плоскость xoy (z=0) и составлена из направляющих, по которым движется образующая, описывающая вертикальное цилиндрическое тело, объем которого равен:

Область интегрирования строится с помощью команды Plot[{x/3,Sqrt[x],{x,0,1}}], которая позволяет строить на одном чертеже графики нескольких функций и заменить двойной интеграл на повторный.

рис.6

На рис.7 построено циллиндрическое тело с помощью команды Plot3D[y³ / x², {x,0.1,1}, {y,0,1}].

рис.7

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 246; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!