Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
Пусть (Ω, S, Р) – вероятностное пространство. Случайной величиной ξ будем называть функцию, действующую из пространства элементарных событий Ω в R1, то есть ξ: Ω→R1, удовлетворяющую следующему условию:
Для любых чисел 
, 
случайное событие
Так как вероятность Р определена на σ – алгебре S, то это требование означает, что для случайной величины всегда можно подсчитать вероятность ее попадания в любой интервал.
Функцией распределениявероятности случайной величины 
называется функция 
, 
.
Отметим, что знание функции распределения случайной величины 
достаточно для того, чтобы найти вероятности любых событий: 
, 
, 
.
Различают два основных типа случайных величин: дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. В приложениях встречаются случайные величины смешанного типа.
Случайные величины, принимающие дискретное множество значений, называются дискретнымислучайными величинами. Непрерывной называется случайная величина , функцию распределения которой 
, можно представить в виде
.
Функция 
называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .
Свойства функции распределения вероятности случайной величины
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция; 
, 
, 
, 
.
Для дискретных случайных величин функция распределения кусочно-постоянная, непрерывная слева, имеет разрывы 1 рода в точках 
, и величина скачка равна 
. Здесь 
все возможные значения, которые может принимать дискретная случайная величина, 
Достаточно часто для дискретных случайных величин используют удобный описательный термин 
закон распределения. Это перечень возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблицей (рядом распределения), графически (многоугольник распределения), аналитически.
Свойства плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины
1) 
.
2) 
.
3) 
в любой точке непрерывности .
4) 
.
Замечание.Для функции распределения дискретной случайной величины справедлива формула
,
где 
функция Хэвисайда. Дифференцируя последнее равенство, видим, что и для дискретной случайной величины можно ввести плотность распределения вероятности по формуле
.
Для случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием случайной величины называется число
(1)
Говорят, что математическое ожидание у случайной величины существует, если ряд (интеграл) (1) сходится абсолютно.
Дисперсией случайной величины 
называется число
.
Дисперсия вычисляется по формулам:
для дискретной случайной величины.
для непрерывной случайной величины, где 
.
Рассеивание возможных значений случайной величины от её математического ожидания часто характеризуют средним квадратическим отклонением 
.
Существует достаточно большое число законов распределения дискретных и непрерывных величин, которые встречаются в приложениях. Параметры этих законов являются числовыми характеристиками случайных величин или же числовые характеристики выражаются через параметры законов распределения.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 236; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!