Теорема о математическом ожидании и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

10.Вероятность появления хотя бы одного события.

Формула полной вероятности (вывод)

12. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

13.  Повторные независимые испытания. Формула Бернулли .Наивероятнейшее число наступлений события в схеме Бернулли.

14. Локальная теорема Лапласа (формулировка).

15.  Формула Пуассона.

16. Интегральная теорема Лапласа (формулировка). Свойства функции Лапласа.

17. Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

Случайная величина – переменная величина, которая может принимать те или иные числовые значения в зависимости от случая. СВ могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретная СВ, которая может принимать только отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. Число всех ее возможных значений может быть конечным или счётным.

Закон распределения – называется соответствие между возможными значениями возможными величинами и их вероятностями. Это взаимодействие можно задать таблицей, графиком или формулой.

Для наглядности закон ДСВ можно изобразить графиком. Для этого на ХОУ отмечают точки(Xi;Yi).Соединив получаем ломаную линию – многоугольник распределения.

18.  Биномиальное распределение дискретной случайной величины.

Биномиальным законом распределения называется закон распределения ДСВ Х числа появления события А в nиспытаниях, вероятности которых определяются по формуле Бернули.

P={х=К}=Pn=C^k_n*p^k*q^n-k формула записи закона распределения.

19.Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

Пусть проведено n независимых испытаний в каждом из которых появление события А постоянно и равно p. При этом число испытаний n-велико, а p-мала (np<=10) и сохраняет постоянное значение. Рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в n испытаниях. Случайные величины Х принимаем:0,1,2…n. Вероятности которых рассчитываются по формуле Пуассона P(X=x_k)=P_n(k)=λ^k/k*e^λ Формула Пуассона представляет собой аналитический закон распределения вероятностей массовых, но редких событий. Этот закон называют законом Пуассона или законом распределения простейшего потока событий.

Поток событий – последовательность однородных событий, которые наступают в случайный момент времени. Поток событий называется простейшим(пуассоновским) если он обладает свойствами стационарности, отсутствия последствия и одинарности. Формула Пуассона для простейшего потока событий

P_t(k)=(λt)^k/k!*e^-λt

20.Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание и его свойства.

Для того, чтобы получить более полное представление о СВ вводят её числовые характеристики, которые получают на основании её закона распределения.

МО случайной величины Х называется сумма произведений вероятности и Х.

М(Х)=х1*р1+х2*з2+…+хn*pn=∑хk*pk

Свойства МО:

1. Если Х=с, то М(с)=с

2. М(сХ)=с*М(Х)

3. М(Х+У)=М(Х)+М(У) если Х и У независимые СВ

4. М(Х*У)=М(Х)*М(У) если Х и У независимые СВ

5. М(Х-У)=М(Х)-М(У) если Х и У независимые СВ

21.  Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия характеризует степень раздробленности значений СВ около её среднего значения. СВ Х имеет больший разброс значений, чем СВ У, поэтому МО не дает полной характеристики СВ. Дисперсией СВ Х называется МО квадрата отклонения СВ от её МО, т.е. Д(Х)=М(Х-а)²=(х1-а)²*р1+(х2-а)²*р+…+(хn-a)²*pn=∑(хк-а)²*рк

Свойства дисперсии

1.Д(с)=∑(с-М(С))²*рк=0

2.Д(сХ)=∑(сХк-са)²*рк= с²∑(хк-а)²*рк

3.Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У)

4.Д(Х-У)=Д(Х)+Д(У)

5.Д(Х)=М(Х-а)²=М(Х²)-а² – упрощенный способ вычисления дисперсии

Среднеквадратичное отклонение СВ Х называется арифметический квадратный корень из дисперсии.

σ(Х)=  (Д(Х)>0)

Теорема о математическом ожидании и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

Если ДСВ Х распределена по биномиальному закону, то её М(Х)=np, а Д(Х)=npq

Действительно. Х:1,2,…,n Представим Х=Х1+Х2+…+Хn, где Хк-число появлений события А в к-ом импытании. Закон распределения для Хк

М(Хк)=0*(1-р)+1*р=р

М(Х)=М(Х1+Х2+…+Хn)=рn

Д(Х)=Д(Х1)+Д(Х2)+…+Д(Хn)

Д(Хк)=М(Хк²)-[М(Хк)]²=p-p²=p*(1-p)=pq Д(Х)=npq

Если СВ Х распределены по закону Пуассона, то её М(Х)=Д(Х)=λ.

Действительно.

Pn(k)=λ^k/k!*e^-λ, где λ=np

М(Х)=Д(Х)=λ

24.  Функция распределения вероятности дискретной случайной величины. Ее свойства и график.

25.  Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства.

26.  Плотность вероятности непрерывной случайной величины и ее свойства.

27.  Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

28.  Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.

29.  Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток.

30.  Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания.

31. Случайная величина с показательным законом распределения (плотность вероятности и функция распределения вероятности) и её числовые характеристики..

Мы поможем в написании ваших работ!