Угол между прямой и плоскостью
Определение: Если прямая АВ пересекает плоскость 
и не перпендикулярна , то угломмежду прямой АВ и плоскостью называется угол между прямой АВ и её проекцией на плоскость .
| В |
АВ 
=0, АВ 
| А |
|
Где 
= 
|
|
| О |
|
|
|
| А |
|
|
= 
| А |
| В |
| В |
|
|
= 
Алгоритм векторно-координатного метода:
1).Используя особенности заданной фигуры ввести в пространстве прямоугольную систему координат
2).Ввести направляющий вектор прямой 
и найти его координаты
3).Ввести нормальный вектор плоскости 
и найти его координаты
4).Найти 
1 случай:
| B |
|
| A |
|
|
|
|
|
|
|
| B |
|
|
| A |
|
|
|
|
|
|
Объединив результаты и учтя, что
|
|
|
Определение: Ненулевой вектор коллинеарный прямой АВ называется направляющим вектором прямой АВ.
Определение: Ненулевой вектор называется нормальным вектором плоскости, если вектор перпендикулярен к данной плоскости
|
|
| . |
| . |
|
|
|
|
|
, 
 , так как
|
и , то
Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами  , с заданным нормальным вектором 
|
Уравнение плоскости, нормальный вектор которой 
|
Замечание: Если координаты нормального вектора найти трудно в задаче, то можно поступить следующим образом:
|
|
|
Алгоритм нахождения координат вектора 
:
1. Предположим 
, а 
или 
, 
или 
, 
и 
должны лежать на пересекающихся прямых.
2. Так как 
, 
, то есть 
3. Найти одно из решений данной системы, то есть найти одну из троек чисел, удовлетворяющих данной системе.
Задача 2.
В прямоугольном параллелепипеде АВСD 
точки Е и F середины рёбер 
и 
соответственно. Ребра АВ и 
равны 4. Ребро ВС равно 6. Найти тангенс угла между прямой ЕF и плоскостью основания.
|
|
| z |
| y |
| x |
| F |
| E |
|
| B |
| C |
|
| D |
| A |
–
прямоугольный параллелепипед
АВ = 4, = 4
ВС = 6
|
|
|
Е – середина
F – середина
Найти: 
Решение:
1) Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке
2) Найдём координаты нужных точек:
B(0;0;0)
(0;0;4)
E (4;0;2)
F(2;6;4)
3) Введём направляющий вектор прямой ЕF и найдём его координаты:
(-2;6;2)
4) Введём нормальный вектор плоскости (ABC) и надём его координаты:
(0;0;4)
5) Воспользуемся формулой нахождения синуса угла между прямой и плоскостью
6) Так как 
– острый, то
7) Таким образом, 
Ответ: 
Угол между плоскостями
Определение: углом между пересекающимися плоскостями называется угол, не превосходящий остальных трёх, который образуется при пересечении плоскостей.
Пусть  и  - данные плоскости, пересекающиеся по прямой АВ. Через некоторую точку Fпрямой АВ проведём в плоскости прямую FC⊥AB , а в плоскости - прямую FD⊥AB.Угол  между прямыми FC и FD - угол между плоскостями и .
 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| C |
| D |
| B |
| F |
| A |
|
|
|
|
|
|
| (2) |
| (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 
 - как углы с попарноперпендикулярными сторонами.
(1) 
(2) 
Объединив результаты, получаем:
Формула нахождения угла между плоскостями
|
Алгоритм векторно-координатного метода:
1). Ввести прямоугольную систему координат
2.) Ввести нормальные векторы 
заданных плоскостей 
и найти их координаты.
3.) Вычислить косинус угла между векторами
4.) Найти по формуле 
Задача 3.
В прямоугольном параллелепипеде АВСD ребра АВ и BC равны 6. Ребро равно 4. Найти тангенс угла между плоскостями ( 
) и 
.
| x |
| z |
| y |
|
|
|
|
| D |
| B |
|
|
| A |
|
|
| C |
Дано: 
–
прямоугольный параллелепипед
АВ = 6
ВС = 6
= 4
Найти: 
Решение:
1) Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке
2) Найдём координаты нужных точек:
В(0;0;0)
(0;0;4)
A(6;0;0)
(6;6;4)
C(0;6;0)
3) Введём нормальный вектор плоскости и надём его координаты:
(0;0;4)
Введём нормальный вектор плоскости 
–
(0;6;4)
(-6;6;0), то 
, 
, т.е.
(1)
Найдём одно из решений системы (1)
Если 
4) Для нахождения косинуса угла между прямыми воспользуемся формулой:
Так как 
– острый, то
Ответ: 
Угол между скрещивающимися прямыми
| b |
| a |
|
|
|
|
|
AOB
Алгоритм векторно-координатного метода:
1). Введём прямоугольную систему координат и единицу измерения
2). Найдём координаты нужных точек
3).Найдём координаты направляющих векторов скрещивающихся прямых
4). Найдём угол между векторами
Задача.
В кубе АВСD точки E и F середины рёбер соответственно 
и 
. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВF
Векторно-координатный метод
|
|
| C |
| A |
| F |
| K |
– куб
|
|
| E |
| D |
| B |
| A |
Найти: 
| x |
| z |
| y |
Решение:
1) Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке
2) Общность задачи не нарушится, если ребро куба обозначить за 2
3) Найдём координаты нужных точек
А(2;0;0)
Е(2;1;2)
F(1;2;2)
B(2;2;0)
4) Введём направляющие векторы прямых АЕ и BF, и найдём их координаты:
(0;1;2)
(-1;0;2)
5) Для нахождения косинуса угла между прямыми воспользуемся формулой:
Ответ: 
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 372; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!