Научившись строить «основные» геометрические фигуры, можно будет строить и более сложные, после анализа сложных и сведения их к «основным» геометрическим фигурам.

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Геометрия.

Планиметрия

Подготовили

студентки 401 группы:

Тальковская Людмила

Шестиловская Мария

Шестиловская Ольга

Момотюк Ольга

Минск,2011

Геометрия

Геоме́трия (от греч. γη — Земля и μετρέω — «меряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.

Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.

Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.

Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях. Инварианты в этой геометрии — это свойства, сохраняющиеся при замене фигур на подобные им, но другого размера.

Аффинная геометрия, использующая очень общие аффинные преобразования. В ней длины и величины углов не имеют существенного значения, но прямые переходят в прямые.

Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы:

1. Многомерная геометрия.

2. Неевклидовы геометрии.

3. Сферическая геометрия.

4. Геометрия Лобачевского.

5. Риманова геометрия.

6. Геометрия многообразий.

Топология — наука о непрерывных преобразованиях самого общего вида, то есть свойства объектов, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. В топологии не рассматриваются никакие метрические свойства объектов.

По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.

Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. В ней геометрические объекты описываются алгебраическими уравнениями в декартовых (иногда аффинных) координатах и затем исследуются методами алгебры и анализа.

Дифференциальная геометрия— изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, с помощью дифференциальных уравнений.

Планиметрия

Планиметрия— разделгеометрии, изучающийдвумерные (одноплоскостные) фигуры, тоестьфигуры, которыеможнорасположитьвпределаходнойплоскости.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Пожалуй, самыми интересными и сложными среди олимпиадных задач являются задачи по геометрии. Мы не будем разбирать сложные задачи, ограничившись только отдельными подходами к решению геометрических задач. Даже их классификация представляет затруднения. Некоторые из задач можно назвать задачами геометрическими условно, ведь они сводятся к элементарным вычислениям. В таких задачах важнее всего идея решения.

Согласно одной из классификаций, все геометрические задачи делятся на три группы:

1) Задачи на построение;

2) Задачи на вычисление;

3) Задачи на доказательство;

I. Построение

Геометрическиезадачинапостроение, возможно, самыедревниематематическиезадачи. В задачах на построение речь идет о построении геометрических фигур (отрезок, угол, пара параллельных прямых и т. д.) с помощью чертежных инструментов. Обычно такими инструментами являются линейка, циркуль и карандаш.

Решить задачу на построение – это значит найти способ построения фигуры, осуществить это построение и доказать, что построенная фигура – фигура, обладающая требуемыми свойствами.

С помощью линейки, как инструмента геометрических построений можно:

ü провести произвольную прямую;

ü провести произвольную прямую, проходящую через данную точку;

ü провести прямую, проходящую через две данные точки.

С помощью циркуля можно:

Ø построить произвольную окружность;

Ø построить окружность с заданным центром и радиусом;

Ø отложить данный отрезок на прямой от данной точки.

Научившись строить «основные» геометрические фигуры, можно будет строить и более сложные, после анализа сложных и сведения их к «основным» геометрическим фигурам.

Геометрическиепреобразованияобычноразделяютсянапостроениянаплоскостиивпространстве. Отдельныезадачинагеометрических построений наплоскостирассматривалисьещёвдревности (например, знаменитыезадачиотрисекцииугла, удвоениикуба, квадратурекруга). Лишьв 19 в. былвыясненкругзадач, разрешимыхспомощьюуказанныхинструментов. Вчастности, отмеченныевышезнаменитыезадачидревностинеразрешимыспомощьюциркуляилинейки.

В IV в. дон. э. древнегреческиегеометрыразработалиобщуюсхемурешениязадачнапостроение, котороймыпользуемсяитеперь. Процессрешениязадачиразбиваютна 4 этапа: анализ, построение, доказательствоиисследование.

Косновнымметодамрешениязадачнапостроение, относятся:

1) Методгеометрическихмест;

2) Методыгеометрическихпреобразований:

а) методцентральнойсимметрии;

б) методосевойсимметрии;

в) методпараллельногопереноса;

г) методповорота;

д) методподобия;

3) Алгебраическийметод.

Существует ряд основных (простейших) задач на построение, решение которых используется при решении более сложных задач к ним относятся следующие задачи:

1. Построить отрезок, равный данному.

2. Построить угол, равный данному.

3. Разделить данный отрезок пополам.

4. Построить биссектрису данного угла.

5. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

6. Из данной точки, не принадлежащей данной прямой, опустить перпендикуляр на эту прямую.

7. Из данной точки, лежащей на прямой, восстановить перпендикуляр к этой прямой.

8. Построить треугольник по трем сторонам.

9. Построить треугольник по двум сторонам и заключенному между ними углу.

10. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

11. Разделить данный отрезок в данном соотношении.

12. Даны отрезки a, b, c. Построить четвертый отрезок, пропорциональный трем данным.