Вычислим дисперсии некоторых случайных величин,

Часть 2

1. определение случайной вели­чины           для   дискретных вероятностных пространств. Пусть

теперь(£2, 9t,Р) — произвольное вероятностное простран­ство. Случайной величиной Б назовем действительную функцию Б = Б (со), со ЕЕ Q* такую, что при любом дей­ствительномх

{со:    Б (а>) <х)s 9С,          (1.1)

Если в%   включаются все подмножества   Q, то (1.1) оче­видно выполняется. Событие в (1.1) более коротко иногда будем записывать в виде (Б <х).Так как операции над событиями из 91 не выводят за пределы то из (1.1) следует, что

(£>*) = (Г<^) S 91,

(*!<!< **) = (Б < **) \ (S < *i) е 9t,_; (1.2)

(1 = х)=П(x<l<x+ -L)e9t*

71=1 ' '

Таким образом, вероятности этих событий определены* Для вычисления вероятностей событий вида (1.2) доста­точно при любомхзнать вероятность

F\ (х)= Р (Б <х).        (1.3)

Функция F|(х)действительной переменной —оо < <х<оо, называетсяфункцией распределенияслучайной величины Б* Так как

(S < *₂) = (*i <I<^хг)+ (I < *i)« то согласно аксиоме А4

Р(I<х_г)= Р(х,< Е < х₂) + Р (| < *0.

Отсюда и из (1.3) находим

Р (*i < 5 < *к) =      (*_s) - (*х)- (1 -4)

 

По формуле (1.3.6) Р (£ > я) = 1— Ft (,х). Из (1.3.11),

(1.4) и (1.2) получим

р(1=X)= lim[f_% [х+ -i-) —Ft(ж)) =

= ^(^ + 0)-П(х).

2. Закон распределения случайной величины £ называетсядискретным, если существует конечное или счетное множество чиселх_г,я₂, . .х_п. , . (без точек на­копления) таких, что

оо

Р (I =х_п) = р_п> 0, re = 1, 2, . .    23      ⁼

71=1

Дискретный закон распределения полностью определяется указанием значенийх_п, п=1,2, . . ., и вероятностейр_п, с которыми эти значения принимает случайная величина. Случайная величина, имеющая дискретный закон распре­деления, тоже называетсядискретной.Отметим также, что для любого конечного или счетного набора пар (#п> ^яп)>⁷¹ —1»2, . . ., гдех_п— попарно различные дей­ствительные числа и

оо

п„ >0,п=1,2, . .             2^ЯП=1>:

П=1

можно указать дискретную случайную величину £ такую, что РЦ=х_п)=л_п.

Действительно, пусть Q ={х_х, х₂, . .х_п, .. Для любого подмножества Л CZ Q положим Р(<4)=       2 ^яп*

п: х_пеЛ

Тогда для g = | (я_п) =х_пимеем Р (| =х_п)= зх_п.

Закон распределения случайной величины £ назы­ваетсяабсолютно непрерывным, если существует неотри­цательная функция р| (ж) такая, что при любомх

х

Fl (^х)= ^р (? О) = $Р\ (и) du.

—оо

Случайная величина, имеющая абсолютно непрерывное распределение, называетсяабсолютно непрерывной.

Ниже мы будем всегда предполагать, чтор% (х)непре­рывна всюду, за исключением конечного числа точек. Функцияpi(#) называетсяплотностью распределения ве­роятностей.Очевидно,

ь

^р (а <I< Ь) =5Рг (х) dx,

(3.1)

А-И/п

Р (£ =a)—lim Р (аg<а+ —) = lim Сp%(x)dx = Q.

П~оо \           ^п                  /                  П—оо        J

а

Отсюда следует, что для абсолютно непрерывных величинР (а < I < Ь) = Р (а < | < 6) = Р (а < g < 6) =

= Р(а<£<6).

Если х является точкой непрерывности р* (х), то при Дх-^О

Р (х < | < х + Дх) = (х)      Дх + о (Дх).

Эго равенство следует из (3.1). Плотность распределения, обладает следующими свойствами:

(1.5)  Pi(*) >0, — оо <х< оо;

оо

(1.6)§ Pi(x)dx = 1;

—оо

(1.7)  F{(ж) =pi {х)в точках непрерывностир^(х).

Плотность распределения полностью определяет рас­пределение случайной величины. Функция распределения абсолютно непрерывной величины, очевидно, непрерывна.

Пример 3 из §1показывает, что существуют распре­деления, не принадлежащие ни одному из указанных ти­пов.

Нетрудно проверить, что любая неотрицательная функ­цияр (х),интеграл от которой по всей числовой прямой равен1, является плотностью распределения некоторой случайной величины. Действительно, если в определении абсолютно непрерывного вероятностного пространства (см. § 4 гл. 2) положитьп —1, я(щ)=*р (щ),то плот­ность распределения случайной величины g = §(и^) ** щ совпадает ср (х).

Приведем несколько часто встречающихся законов распределения. Сначала перечислим некоторые дискрет­ные распределения.

1.  Вырожденное распределение.

Р (g = а) = 1,а— постоянная.

2.  Гипергеометрическое распределение (N, М_х п— нату­ральные числа,М N,      п<N):

Р (g =т)= CS«,т =0, 1, . . ., min (М,п).

3.  Биномиальное распределение (п— натуральное чис­ло,0<р<1):

Р (| =k)=(*р*(1 -р)^п-\ к =О, 1, . .            п.

4.  Распределение Пуассона с параметром %           0;

Р(1 ₌ к) = ^_Ге-\ к =0,1,2,...

5.  Геометрическое распределение(0 <р< 1):

Р (| =к) =(1 -р)*~¹ р, к= 1, 2, . . .

3.

Приведем полные формулировки определений.Математическим ожиданием случайной величины | = | (о)|с),заданной на дискретном вероятностном про­странстве       СQ = {(0_Х, С0₂, . .           ., G)_n, . . .},          Р ((Ofc) =рк_%

ft=1_А * * ,_Ап_%* * * (см. §2гл.         2),          называется число

М£= S (1.2)

1

если ряд абсолютно сходится. Если же ряд (1.2) не схо­дится абсолютно, то говорят, что математическое ожида­ние случайной величины £ не существует.

Приведем основные свойства математического ожида­ния.

Теорема2.1.

1°.Если С—постоянная,тоМС =С.

2°.Если С—постоянная, wo М (С|) = СМ£.

3°. Длялюбых величин|

| МЕ к м I g |.

4°.Для любых случайных величин иS₂

м (Ь + е₂) = м?_х + м?₂.

Еслииз участвующих в равенстве математических ожи­даний какие-нибудь два существуют,то существует третье.

5°.Если случайные величины и£₂независимы, то Язсуществования любых двух матема­тических ожиданий следует существование третьего.

4.

(1.8)Нормальное распределение. Подставляя в формулу

(1.8) плотность нормального распределения, получим

М| = \х■■е ²⁰² dx=

в

—сю —оо

_ J!i       1        _ Jil

Так как функцияуе²нечетная, а ■; е²является

у 2п

плотностью нормального распределения с параметрами (О,1), то первое слагаемое в правой части последнего ра­венства равно 0, а второеа.Таким образом, если случай­ная величина £ распределена нормально с параметрами (а₃а²), то М| = а.

(1.9)  Показательное распределение:

оо               оо

^xpt(х) dx—^ axe-***₌

—оо            О

(1.10)  Равномерное распределение:

Mg_¹

Найдем теперь по формуле (1.6) математические ожи­дания некоторых дискретных случайных величин*

(1.11)Биномиальное распределение.Из формулы

SшСпР^т(1— p)^n_m>

воспользовавшись равенствомтС™=пСп-\_%получиммц,=пр S C-iV"^1-1 (1 — р)^п~^т=пр (р + (1 — р))^п~¹.

т=1

Таким образом, М| =пр.

(1.12)Пуассоновское распределение.Так как

п                 ™               оо

-с—1     1^т           1            1WI—1

т=о    т=1

то М£ = X.

5.

ДисперсиейDg случайной величины £ называется число Dg = Ма- М£)% (3.1)

если математическое ожидание в правой части (8*1) су­ществует. Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания. Величину называют средним квадратическим отк­

Лонением.

Приведем свойства дисперсии.

Теорема 3.1.

1°.Для любой случайной величиныБимеемDg0. 2°.Если с—постоянная,то Ос= 0.

3°.Если с—постоянная,тоD (eg) =

4°.Если случайные величиныБхиg₂независимы,то

D(1г +6.) =   + D£₂.   

6.

Случайные величины £_1? Ег» • • •» Ег называютсянеза­висимыми,если для любых действительныхх_и х₂, . .х_г

1. F%_l...l_T (*1, • • ^хт) =          (*х) ■ ■ ■ ^Fir (*»•)•

Если случайные величины и£₂независимы, то Язсуществования любых двух матема­тических ожиданий следует существование третьего.

Свойство дисперсии:Если случайные величиныБхиg₂независимы,то

D(1г +6.) =           + D£₂.

7.

М [(£_х — М£_х) (g₂— Mg₂)]. Это число называ­етсяковариациейслучайных величин Б_1т g₂и обозначает­ся cov (£_1? £₂).

Если для случайных величин ii, £г. • • •. I„существуютcov (£_г,%_}) -- a_tj, i,/ =1, . . .

, . и,то при любых постоянных с_г, с₂,. . ., с_пимеем

^п

D (С1Б1+ С2Е2+ • • • +^сгЛп) — 2                    Gij^ci^ci'

i, j=1

Доказательство. Положим

Г)п ⁼⁼ ^lil “Ь             •                •                •                “Ь             ^nin‘

Нетрудно проверить, что

(Пп — Mrin = 2 <4 (Ii — M|i)

i=l

(ЛпМТ]_п)²=2(Si — MSi) (g_y — М£_у).

i. j=l

Вычисляя математическое ожидание от обеих частей по­следнего равенства, получим утверждение теоремы.

Правую часть (4.4) можно рассматривать как квадра­тичную форму от переменныхс_г, с₂,. .с_п.Так как при любыхс_1ч с₂,. . .,с_пдисперсия в левой части (4.4) неот­рицательна, то квадратичная форма в правой части (4.4) неотрицательно определена. Квадратичная форма неотри­цательно определена тогда и только тогда, когда неотри­цательны все главные миноры матрицы_г составленной из ее коэффициентов. Таким образом, из теоремы 4.1 получи­ли следующее утверждение: определитель |D [g] | матри- цы D [|] = D [(|_х, . . g_m)] = II cov (ii, |j)II при любомт=1,2, . . . для любых случайных величинЪчЕ» •. •

• • м%_тудовлетворяет неравенству

I D [(g_lt . . ., IJ] | > 0.   (4.5)

Прит= 2 неравенство (4.5) имеет вид D|i cov (li, Ы

>"ЬЫ вь

Отсюда

Icovdi.l^K/DliD^.      (4.6)

В доказательстве формулы (3.5) было попутно получе­но, что для независимых случайных величин S2 имеет место равенство

cov (Si, S.) =0. (4.7)

Таким образом, если cov (Si, S2)Ф0, то величины Si и£₂ зависимы.

8.

В качестве количественной характеристики сте­пени зависимости случайных величин Si и|₂использует­сякоэффициент корреляциир (Si, S2)» определяемый сле­дующим равенством:

1. ^р(Е;'^Е1)=^Щдг-⁽⁴'⁸>

9.

Вычислим дисперсии некоторых случайных величин,

(1.13)Нормальное распределение. По формуле (3.3) нахо­дим

оо               (х-а)²

^Dl=vbS

⁹                 —                ос

Отсюда* полагаях = ву + а,получим

ОО                                    00

' ^ое=<,!75ГS »•«-«■ <г»=-<4-^

— ОО —ОО

Применив формулу интегрирования по частям, находим DE = а².

В §6гл. 5 было показано, что линейная функцияг\= = Л Б +Вот нормально распределенной случайной ве­личины Б имеет нормальное распределение. В §2был ука­зан способ вычисления Мг)_г не связанный с доказательством нормальности г) (см. формулу (2.2)). Найдем теперь Drj. Нетрудно показать, что случайная величина, являющаяся постоянной, взаимно независима с любой случайной ве­личиной. Поэтому при вычислении Dr) = D (Л£ +В) можно воспользоваться формулой (3.5). Тогда

Djj = D(AI+В)= D(AI)+OB=A*D%=A²o²,

(1.14)  Равномерное распределение. По формуле (3.3)

D£ = jj

—оо           a

Отсюда D£ = ^~iy2^•

(1.15)  Пуассоновское распределение. Найдем сначала М [g (g — 1)]. По формуле (1.4) сг=1и #(#) = #(# —1) получим

М£ (| -1) = £ m (m -1) =        А.»

т=о   т=2

Так как Mg (g— 1)= Mg²— Mg и Mg= A,, to Mg*= = + Я. Подставляя это выражение в (3.2), получим

Dg =К.

(1.16)  Биномиальное распределение. Так же как в примере 2 из §2, воспользуемся тем, что число успехов\л_ппредста­вимо в виде суммы независимых индикаторов (5.5.13). Тогда Dn_n = Dg, + . . . + Dg_n и Dg, = Mtf ~ (Mg,)²= =р—р²=р(1 —р).Таким образом, D[x_n=пр(1 —р). Отметим, что в формулировку теоремы Муавра — Лапласа (теорема 3.3 гл. 4) входила случайная величина (ti_n —np)/Y npq.Теперь мы можем эту же величину за­писать в виде (fx_n — MfxJ/^Dfi^. Такое линейное пре­образование случайной величины используется доврЛьно часто. Если g — произвольная случайная величина_Лто для случайной величины rj = (g — MgJ/j/'Dg имеем

Mrj = 0, Drj = 1.

В приложениях для оценки вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания часто используют «правило трех сигм>>, согласно которому событие | g — Mg | > S^Dg практически невозможно,; т, е, его вероятность очень мала. Это действительно ?ак_л

 

если | распределена нормально. В этом случае P{||-M||>3/D|} =

“^p{lwH⁼w$^A<,M)03-

Однако если распределение £ отлично от нормального, то возможны большие значения вероятности такого отклоне­ния (см. задачу 19).

Часто изучаемую случайную величину удается пред­ставить в виде суммы более простых, возможно зависи­мых, случайных величин. Пусть, например,;

Лп =h+ £2 + « • * + (3*7)

где случайные величины £_2f * , ., g_n зависимы и каж­дая из них принимает значения 0 и 1. В этом случае можно воспользоваться формулой

МЛп = Mg, + М£₂ + . . . + Mg_n*

ОднакоDr\_nуже не равна сумме дисперсий Для вы­числения Dr]_n можно использовать формулу (3.2). Так как (со) = £* (со), со Е й (действительно, (со) = 1 или £* (со) =0)* то

я²»=2 Й+ 2£»Ь=2 £* + 2&*Si = ?in+ 2 5*6».

lc=*T   к=1            К?Ь1

(3.8)

Таким образом,

^Dn« = ^Мт1 п — (Мт1„)^г= 2  +     Mri„ —    (Мг)„)².

If#i

5,Гипергеометрическое распределение.Воспользуемся формулой (3.8) для вычисления дисперсии величины £, имеющей гипергеометрическое распределение. Для инди­каторов в сумме (2.2) имеем (см. задачу22гл.2)

мUi =Ргё* =h =1} =VvtZi) ■

Отсюда и из (3.8) находим

МЕ²= М£ + У,М+п(п—1) •

Af(Af-l) . М ₂ М*

D£ —п(п1)jy ^+п ^•п^у₂.

---

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 215; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!