Градиент. Производная по направлению.
Найдите частные производные первого порядка следующих функций:
2.1. 
.
2.2. 
.
2.3. 
.
2.4. 
.
2.5. 
.
2.6. 
.
2.7. 
.
2.8. 
.
2.9. 
.
2.10. 
.
2.11. 
.
2.12. 
.
2.13. 
.
2.14. 
.
2.15. 
.
2.16. 
.
2.17. 
.
2.18. 
.
2.19. 
.
2.20. 
2.21.Проверьте, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
2.22.Проверьте, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
2.23.Проверьте, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
2.24.Проверьте, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
2.25. Проверьте, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
2.26.Проверьте, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
2.27.Найдите 
и 
, если 
и 
.
2.28.Найдите и , если и 
.
2.29.Найдите , и 
, если и 
.
2.30.Найдите , и , если и 
.
2.31.Найдите 
, если 
, 
и 
.
2.32.Найдите , если 
, 
и 
.
2.33.Найдите , если 
, 
и 
.
2.34.Найдите , если 
, 
и 
.
2.35.Найдите , если 
, 
и 
.
2.36.Найдите , если 
, 
и 
.
2.37. Найдите 
и , если 
и 
, 
.
2.38.Найдите и , если 
и 
, .
2.39.Найдите и , если 
и 
, 
.
2.40.Найдите и , если 
и 
, 
.
2.41.Найдите 
и 
, если 
и 
.
2.42.Найдите и , если и 
.
2.43.Найдите и , если 
и 
.
Найдите производные 
и 
функции 
, где 
и 
:
2.44. 
, 
, 
.
2.45. 
, 
, 
.
2.46. 
, 
, 
.
2.47. 
, 
, 
.
2.48. 
, 
, 
.
2.49.Дана функция 
. Записав 
, где 
, 
, найдите 
как производную сложной функции. В ответе укажите 
.
Найдите в указанной точке производную функции 
, заданной неявно:
2.50. 
, 
.
2.51. 
, 
.
2.52. 
, 
.
Найдите в указанной точке первые частные производные функции , заданной неявно:
|
|
|
2.53. 
,(0; 1).
2.54. 
,(1; 0).
2.55. 
, 
.
2.56. 
,(1; 1;-2).
2.57. 
, 
.
2.58.Найдите производную функции 
, по направлению 
в точке 
.
2.59.Найдите производную функции 
, по направлению 
в точке 
.
2.60.Найдите производную функции 
, по направлению 
в точке .
2.61.Найдите производную функции 
в точке 
по направлению 
, где 
.
2.62.Найдите производную функции 
в точке 
по направлению , где 
.
2.63.Найдите производную функции 
в точке 
по направлению , где 
.
2.64.Найдите производную функции 
в точке 
по направлению луча, образующего с осью x угол 
.
2.65.Найдите производную функции 
в точке 
по направлению луча, образующего одинаковые углы со всеми координатными осями.
2.66. Найдите производную функции 
, по направлению 
в точке 
, если 
.
2.67. Найдите производную функции 
, по направлению 
в точке 
, если 
.
2.68.Найдите единичный вектор 
, по направлению которого производная функции 
в точке 
достигает наибольшего значения.
2.69.Найдите единичный вектор , по направлению которого производная функции 
в точке 
достигает наибольшего значения.
2.70.Найдите единичный вектор , по направлению которого производная функции 
в точке 
достигает наибольшего значения.
|
|
|
2.71.Дана функция 
, точка 
и вектор 
. При каком значении параметра 
производная функции в точке 
по направлению 
будет максимальна?
2.72.Дана функция 
, точка 
и вектор 
. При каком значении параметра производная функции в точке по направлению будет минимальна?
2.73.Найдите приближенно производную функции f(P) в точке A по направлению вектора , если f(A) = 5, f(B) = 5.06 и длина AB равна 0.03.
2.74.Найдите приближенно значение f(B), если f(A) = 6, длина отрезка AB равна 0.02, 
, а косинус угла между вектором 
и вектором равен .
Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.
3.1.Найдите приращение 
и дифференциал 
функции 
в точке (1; 1).
3.2.Найдите приращение и дифференциал функции 
в точке (1; 1).
3.3.Найдите первый дифференциал функции f в данной точке
а) 
, (1; 1)
б) 
, (2; 1)
в) 
, (1; 0; 1)
г) 
, (3; 2; 1)
г) 
, (1; 1; 1)
3.4.Найдите первый дифференциал функции
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
3.5.Найдите все частные производные второго порядка
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.6.Покажите, что если 
, то 
.
3.7.Покажите, что если , то 
.
|
|
|
3.8.Найдите все производные третьего порядка
а)
б)
в) 
г)
3.9.Найдите вторые дифференциалы
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
3.10.Найдите точки, в которых 
если
а) 
б) 
в) 
3.11.Найдите точки, в которых первый дифференциал функции 
равен нулю
а) 
б) 
3.12. Дана дифференцируемая функция двух переменных 
. Известно, что 
, 
, 
, где А(2; 6), B(2; 6,01), C(2,02; 6). Найдите приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора 
.
3.13. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что 
, 
, 
, где А(3; 7), B(3; 7,01), C(3,02; 7). Найдите приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .
3.14.Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что 
, 
, 
, при этом А(3; 6), B(3; 6,01), C(3,02; 6). Найдите приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .
3.15.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке (2;-1; 1).
3.16.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке (1; 1; 1).
|
|
|
3.17.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (1; 0; 0).
3.18.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке (2; 1; 3).
3.19.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке (3; 2; 2).
3.20.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке (1; 1; 2).
3.21.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке (2; 1; 0).
3.22.Напишите уравнение плоскости, касательной к поверхности 
, параллельной плоскости 
.
3.23.Напишите уравнение плоскости, касательной к поверхности 
, параллельной плоскости 
.
3.24.Напишите уравнение плоскости, касательной к сфере 
, перпендикулярной плоскостям 
и 
.
3.25Дана дифференцируемая функция двух переменных f(P) = f(x; y), у которой известны значения f(A) = –7, f(B) = –7.02, f(С) = –7.04 в точках А(6; 4), B(6.01; 4), C(6; 3,98). Найдите приближенно:
а) Частные производные и первый дифференциал в точке A.
б) Значение функции в точке D(5.95; 4.02).
в) Касательную плоскость к поверхности z = f(P) в точке А.
г) Нормаль к поверхности графика z = f(P) в точке А.
д) Градиент в точке А.
е) Производную в точке A по направлению, составляющему угол 
с градиентом.
ж) Производную в точке A по направлению к точке D (с помощью градиента и по определению).
з) Линию уровня, равного f(A), в окрестности точки A (при дополнительном предположении, что в этой окрестности функция f(P) имеет непрерывные частные производные).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 693; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!