ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где  — массаi-го элемента тела;r_i — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела            

Если тело однородно, т. е. его плотность  одинакова по всему объему, то

dm= dV и

гдеV — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

•Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J₀+ma²,

где J₀ — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=J .

• Закон сохранения момента импульса

где L_i — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где — начальный и конечный моменты инерции;  —• начальная и конечная угловые скорости тела.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Mdt=d(J ), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;

J — момент инерции тела; — угловая скорость; J — момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

М t=J .

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

M=J , где  — угловое ускорение.

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mj,

где j — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=M .

• Кинетическая энергия вращающегося тела

T=1/2J .

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T==¹/₂mv²+^l/₂J ,

где^l/₂mv² — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; ^l/₂J ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

.

• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

Поступательное движение                             Вращательное движение

Основной закон динамики

F t=mv₂—mv₁;                                                     M t=J —J ;

F = та                                                                  М = .J

Закон сохранения

импульса                                                        момента импульса

Работа и мощность

A=Fs;                                                             А=М ,

N=FvN=M

Кинетическая энергия

Т =1/2mv²T=1/2J

СИЛЫ В МЕХАНИКЕ

• Закон всемирного тяготения

где F — сила взаимного притяжения двух материальных точек; m₁ и m₂ — их массы; r — расстояние между точками; G — гравита­ционная постоянная.

В написанной форме закон всемирного тяготения можно приме­нять и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сфери­чески-симметрично. В этом случае r есть расстояние между центра­ми масс шаров.

• Напряженность гравитационного поля

где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массы m, помещенную в некоторую точку поля.

• Напряженность гравитационного поля, создаваемого плане­той, массу М которой можно считать распределенной сферически-симметрично,

где r — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

• Ускорение свободного падения на высоте h над поверхно­стью Земли

где R — радиус Земли; g — ускорение свободного падения на по­верхности Земли. Если , то

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m₁ и m₂ (шаров с массой, распре­деленной сферически симметрично), находящихся на расстоянии r друг от друга,

(Потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга ма­териальных точек принята равной нулю.)

• Потенциал гравитационного поля

где П — потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

• Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М которой можно считать распределенной сферически-сим­метрично,

где r — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.

• Законы Кеплера.

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает одинако­вые площади.

3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планеты.

• Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела

где ε — относительное удлинение (сжатие); x — абсолютное удли­нение (рис. 4.1); l — начальная длина тела.

Рис. 4.1                                               Рис. 4.2

где — относительный сдвиг; Δs — абсолютный сдвиг параллель­ных слоев тела относительно друг друга (рис. 4.2); h — расстояние между- слоями; — угол сдвига. (Для малых углов )

• Напряжение нормальное

где Fynp — упругая сила, перпендикулярная поперечному сечению тела; S — площадь этого сечения.

Напряжение тангенциальное

где Fynp — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; S — площадь этого слоя.

• Закон Гука для продольного растяжения или сжатия

 или ,где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Е — модуль Юнга.

Закон Гука для сдвига

 , или ,где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига).

• Момент, закручивающий на угол φ однородный круглый стер­жень,

,

где С — постоянная кручения.

• Работа, совершаемая при деформации тела,

• Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня

 , или , или ,где V — объем тела.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.

Основные формулы

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость υ₀ системы ко­ординат К' относительно системы К нап­равлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).

• Релятивистское (лоренцево) сок­ращение длины стержня

где l₀ — длина стержня в системе коор­динат К' ,относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х';l—

длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

• Релятивистское замедление хода часов

где Δt₀ — интервал времени между двумя событиями, происходя­щими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

• Релятивистское сложение скоростей

 ,

где υ' — относительная скорость (скорость тела относительно си­стемы K'); υ₀ — переносная скорость (скорость системы K' относи­тельно К), υ0 — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод­вижную.

• Релятивистская масса

 , ИЛИ ,где т₀ — масса покоя; β — скорость частицы, выраженная в долях скорости света

• Релятивистский импульс

 , или

• Полная энергия релятивистской частицы

где Т — кинетическая энергия частицы; — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

• Уравнение гармонических колебаний

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний;    — фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота колебаний

 , или ,где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

• Ускорение при гармоническом колебании

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a₁и А₂— амплитуды составляющих колебаний; φ₁ и φ₂— их начальные фазы.

• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν₁ и ν₂,

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A₁ и A₂ и начальны­ми фазами φ₁ и φ₂,

Если начальные фазы φ₁и φ₂ составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение
принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

 , или ,
где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k=тω²).

• Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m — масса тела; k — жесткость пружины.    Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

 — приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
 , или ,

где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания:  ; ω₀— собственная угловая частота колебаний *

• Уравнение затухающих колебаний

где A (t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.

• Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

I

где А₀ — амплитуда колебаний в момент t=0.

• Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

, или

 ,

где — внешняя периодическая сила, действующая на
колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания; F₀ — ее амплитудное значение;

• Амплитуда вынужденных колебаний

• Резонансная частота и резонансная амплитуда  и

Мы поможем в написании ваших работ!